Номер 234, страница 309 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Глава 5. Задачи на повторение. Параграф 5. Производная, первообразная, интеграл и их применения - номер 234, страница 309.

Условие.

234. а) $f(x) = \sqrt{x} \ln x;$

б) $f(x) = \frac{e^x}{x};$

в) $f(x) = 2^{x^2-4x};$

г) $f(x) = x - \ln x.$

Решение 1.

Решение 5.

а)

Для нахождения производной функции $f(x) = \sqrt{x} \ln x$, которая является произведением двух функций $u(x) = \sqrt{x}$ и $v(x) = \ln x$, используем правило дифференцирования произведения (правило Лейбница):

$(u \cdot v)' = u'v + uv'$

Сначала найдем производные каждой из функций:

$u'(x) = (\sqrt{x})' = (x^{1/2})' = \frac{1}{2}x^{-1/2} = \frac{1}{2\sqrt{x}}$

$v'(x) = (\ln x)' = \frac{1}{x}$

Теперь подставим найденные производные в формулу правила произведения:

$f'(x) = (\sqrt{x})' \ln x + \sqrt{x} (\ln x)' = \frac{1}{2\sqrt{x}} \cdot \ln x + \sqrt{x} \cdot \frac{1}{x}$

Упростим полученное выражение. Заметим, что $\frac{\sqrt{x}}{x} = \frac{\sqrt{x}}{(\sqrt{x})^2} = \frac{1}{\sqrt{x}}$.

$f'(x) = \frac{\ln x}{2\sqrt{x}} + \frac{1}{\sqrt{x}} = \frac{\ln x}{2\sqrt{x}} + \frac{2}{2\sqrt{x}} = \frac{\ln x + 2}{2\sqrt{x}}$

Ответ: $f'(x) = \frac{\ln x + 2}{2\sqrt{x}}$

б)

Для нахождения производной функции $f(x) = \frac{e^x}{x}$, которая является частным двух функций $u(x) = e^x$ и $v(x) = x$, используем правило дифференцирования частного:

$(\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$

Находим производные числителя и знаменателя:

$u'(x) = (e^x)' = e^x$

$v'(x) = (x)' = 1$

Подставляем эти производные в формулу:

$f'(x) = \frac{(e^x)' \cdot x - e^x \cdot (x)'}{x^2} = \frac{e^x \cdot x - e^x \cdot 1}{x^2}$

Вынесем общий множитель $e^x$ в числителе за скобки для упрощения:

$f'(x) = \frac{e^x(x - 1)}{x^2}$

Ответ: $f'(x) = \frac{e^x(x - 1)}{x^2}$

в)

Функция $f(x) = 2^{x^2-4x}$ является сложной показательной функцией вида $a^{u(x)}$, где основание $a=2$ и показатель степени $u(x) = x^2-4x$. Для ее дифференцирования используем формулу производной показательной функции и цепное правило (правило дифференцирования сложной функции):

$(a^{u(x)})' = a^{u(x)} \ln a \cdot u'(x)$

Найдем производную показателя степени $u(x)$:

$u'(x) = (x^2-4x)' = (x^2)' - (4x)' = 2x - 4$

Теперь подставляем все в формулу производной сложной функции:

$f'(x) = 2^{x^2-4x} \cdot \ln 2 \cdot (2x-4)$

Для удобства записи можно переставить множители:

$f'(x) = (2x - 4) \cdot 2^{x^2-4x} \ln 2$

Ответ: $f'(x) = (2x - 4) \cdot 2^{x^2-4x} \ln 2$

г)

Для нахождения производной функции $f(x) = x - \ln x$, которая является разностью двух функций, используем правило дифференцирования разности, согласно которому производная разности равна разности производных:

$(u - v)' = u' - v'$

Находим производные каждой из функций-слагаемых:

$(x)' = 1$

$(\ln x)' = \frac{1}{x}$

Применяем правило разности:

$f'(x) = (x)' - (\ln x)' = 1 - \frac{1}{x}$

Можно привести выражение к общему знаменателю:

$f'(x) = \frac{x}{x} - \frac{1}{x} = \frac{x - 1}{x}$

Ответ: $f'(x) = \frac{x-1}{x}$