Номер 249, страница 310 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Авторы: Колмогоров А. Н., Абрамов А. М., Дудницын Ю. П.
Тип: Учебник
Издательство: Просвещение
Год издания: 2008 - 2025
Цвет обложки: зелёный, чёрный
ISBN: 978-5-09-019513-3
Рекомендовано Министерством образования и науки Российской Федерации
Алгебра и начала математического анализа
Популярные ГДЗ в 10 классе
Параграф 5. Производная, первообразная, интеграл и их применения. Глава 5. Задачи на повторение - номер 249, страница 310.
№249 (с. 310)
Условие. №249 (с. 310)
скриншот условия

249. Окно имеет форму прямоугольника, завершенного полукругом. Как определить размеры окна, имеющего наибольшую площадь при заданном периметре?
Решение 1. №249 (с. 310)

Решение 3. №249 (с. 310)


Решение 5. №249 (с. 310)
Для решения этой задачи необходимо выразить площадь окна как функцию одной переменной (например, одного из его размеров), а затем найти максимум этой функции.
Пусть $P$ — заданный периметр окна, а $S$ — его площадь, которую мы хотим максимизировать. Обозначим размеры окна:
- Пусть ширина прямоугольной части окна будет $2r$. Тогда радиус полукруга, завершающего прямоугольник, равен $r$.
- Пусть высота прямоугольной части будет $h$.
Периметр окна складывается из длины трех сторон прямоугольника (двух боковых и одной нижней) и длины дуги полукруга. Длина дуги полукруга с радиусом $r$ равна половине длины окружности: $L = \frac{1}{2} \cdot 2\pi r = \pi r$. Тогда периметр $P$ равен: $P = 2h + 2r + \pi r = 2h + r(2+\pi)$
Площадь окна $S$ складывается из площади прямоугольника и площади полукруга: $S = (2r) \cdot h + \frac{1}{2}\pi r^2 = 2rh + \frac{1}{2}\pi r^2$
Наша задача — найти максимум функции $S(r, h)$ при заданном значении $P$. Для этого выразим одну переменную через другую, используя формулу периметра. Выразим $h$ из формулы для $P$: $2h = P - r(2+\pi) \Rightarrow h = \frac{P - r(2+\pi)}{2}$
Теперь подставим это выражение для $h$ в формулу площади $S$, чтобы получить функцию, зависящую только от переменной $r$: $S(r) = 2r \left( \frac{P - r(2+\pi)}{2} \right) + \frac{1}{2}\pi r^2$ $S(r) = r(P - r(2+\pi)) + \frac{1}{2}\pi r^2$ $S(r) = Pr - 2r^2 - \pi r^2 + \frac{1}{2}\pi r^2$ $S(r) = Pr - 2r^2 - \frac{1}{2}\pi r^2$ $S(r) = Pr - r^2 \left( 2 + \frac{\pi}{2} \right)$
Полученная функция $S(r)$ является квадратичной параболой с ветвями, направленными вниз (поскольку коэффициент при $r^2$ отрицателен: $-(2 + \frac{\pi}{2}) < 0$). Ее максимум достигается в вершине параболы. Чтобы найти значение $r$, при котором достигается максимум, найдем производную функции $S(r)$ и приравняем ее к нулю. $S'(r) = \frac{dS}{dr} = P - 2r \left( 2 + \frac{\pi}{2} \right) = P - r(4+\pi)$
Приравниваем производную к нулю: $P - r(4+\pi) = 0$ $r(4+\pi) = P \Rightarrow r = \frac{P}{4+\pi}$
Это значение $r$ обеспечивает максимальную площадь. Теперь найдем соответствующее значение высоты $h$: $h = \frac{P - r(2+\pi)}{2} = \frac{P - \frac{P}{4+\pi}(2+\pi)}{2} = \frac{P}{2} \left( 1 - \frac{2+\pi}{4+\pi} \right)$ $h = \frac{P}{2} \left( \frac{(4+\pi) - (2+\pi)}{4+\pi} \right) = \frac{P}{2} \left( \frac{4+\pi - 2 - \pi}{4+\pi} \right) = \frac{P}{2} \left( \frac{2}{4+\pi} \right)$ $h = \frac{P}{4+\pi}$
Таким образом, мы получили, что $h = r$. Это означает, что для получения максимальной площади при заданном периметре, высота прямоугольной части окна должна быть равна радиусу полукруга.
При этом размеры окна будут следующими:
- Ширина окна: $2r = \frac{2P}{4+\pi}$
- Высота прямоугольной части: $h = \frac{P}{4+\pi}$
Интересно отметить, что общая высота окна (от нижнего края до верхушки полукруга) составляет $h+r = r+r = 2r$. То есть, общая высота окна равна его ширине.
Ответ: Для того чтобы окно имело наибольшую площадь при заданном периметре $P$, его размеры должны быть такими, чтобы высота прямоугольной части была равна радиусу полукруга. Если ширина окна $w$, а высота его прямоугольной части $h$, то должно выполняться соотношение $h = w/2$. Размеры окна, выраженные через периметр $P$: ширина $w = \frac{2P}{4+\pi}$ и высота прямоугольной части $h = \frac{P}{4+\pi}$.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz
ПрисоединитьсяМы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 10-11 класс, для упражнения номер 249 расположенного на странице 310 к учебнику 2008 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №249 (с. 310), авторов: Колмогоров (Андрей Николаевич), Абрамов (Александр Михайлович), Дудницын (Юрий Павлович), учебного пособия издательства Просвещение.