Номер 249, страница 310 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Глава 5. Задачи на повторение. Параграф 5. Производная, первообразная, интеграл и их применения - номер 249, страница 310.

Условие.

249. Окно имеет форму прямоугольника, завершенного полукругом. Как определить размеры окна, имеющего наибольшую площадь при заданном периметре?

Решение 1.

Решение 3.

Решение 5.

Для решения этой задачи необходимо выразить площадь окна как функцию одной переменной (например, одного из его размеров), а затем найти максимум этой функции.

Пусть $P$ — заданный периметр окна, а $S$ — его площадь, которую мы хотим максимизировать. Обозначим размеры окна:

• Пусть ширина прямоугольной части окна будет $2r$. Тогда радиус полукруга, завершающего прямоугольник, равен $r$.
• Пусть высота прямоугольной части будет $h$.

Периметр окна складывается из длины трех сторон прямоугольника (двух боковых и одной нижней) и длины дуги полукруга. Длина дуги полукруга с радиусом $r$ равна половине длины окружности: $L = \frac{1}{2} \cdot 2\pi r = \pi r$. Тогда периметр $P$ равен: $P = 2h + 2r + \pi r = 2h + r(2+\pi)$

Площадь окна $S$ складывается из площади прямоугольника и площади полукруга: $S = (2r) \cdot h + \frac{1}{2}\pi r^2 = 2rh + \frac{1}{2}\pi r^2$

Наша задача — найти максимум функции $S(r, h)$ при заданном значении $P$. Для этого выразим одну переменную через другую, используя формулу периметра. Выразим $h$ из формулы для $P$: $2h = P - r(2+\pi) \Rightarrow h = \frac{P - r(2+\pi)}{2}$

Теперь подставим это выражение для $h$ в формулу площади $S$, чтобы получить функцию, зависящую только от переменной $r$: $S(r) = 2r \left( \frac{P - r(2+\pi)}{2} \right) + \frac{1}{2}\pi r^2$ $S(r) = r(P - r(2+\pi)) + \frac{1}{2}\pi r^2$ $S(r) = Pr - 2r^2 - \pi r^2 + \frac{1}{2}\pi r^2$ $S(r) = Pr - 2r^2 - \frac{1}{2}\pi r^2$ $S(r) = Pr - r^2 \left( 2 + \frac{\pi}{2} \right)$

Полученная функция $S(r)$ является квадратичной параболой с ветвями, направленными вниз (поскольку коэффициент при $r^2$ отрицателен: $-(2 + \frac{\pi}{2}) < 0$). Ее максимум достигается в вершине параболы. Чтобы найти значение $r$, при котором достигается максимум, найдем производную функции $S(r)$ и приравняем ее к нулю. $S'(r) = \frac{dS}{dr} = P - 2r \left( 2 + \frac{\pi}{2} \right) = P - r(4+\pi)$

Приравниваем производную к нулю: $P - r(4+\pi) = 0$ $r(4+\pi) = P \Rightarrow r = \frac{P}{4+\pi}$

Это значение $r$ обеспечивает максимальную площадь. Теперь найдем соответствующее значение высоты $h$: $h = \frac{P - r(2+\pi)}{2} = \frac{P - \frac{P}{4+\pi}(2+\pi)}{2} = \frac{P}{2} \left( 1 - \frac{2+\pi}{4+\pi} \right)$ $h = \frac{P}{2} \left( \frac{(4+\pi) - (2+\pi)}{4+\pi} \right) = \frac{P}{2} \left( \frac{4+\pi - 2 - \pi}{4+\pi} \right) = \frac{P}{2} \left( \frac{2}{4+\pi} \right)$ $h = \frac{P}{4+\pi}$

Таким образом, мы получили, что $h = r$. Это означает, что для получения максимальной площади при заданном периметре, высота прямоугольной части окна должна быть равна радиусу полукруга.

При этом размеры окна будут следующими:

• Ширина окна: $2r = \frac{2P}{4+\pi}$
• Высота прямоугольной части: $h = \frac{P}{4+\pi}$

Интересно отметить, что общая высота окна (от нижнего края до верхушки полукруга) составляет $h+r = r+r = 2r$. То есть, общая высота окна равна его ширине.

Ответ: Для того чтобы окно имело наибольшую площадь при заданном периметре $P$, его размеры должны быть такими, чтобы высота прямоугольной части была равна радиусу полукруга. Если ширина окна $w$, а высота его прямоугольной части $h$, то должно выполняться соотношение $h = w/2$. Размеры окна, выраженные через периметр $P$: ширина $w = \frac{2P}{4+\pi}$ и высота прямоугольной части $h = \frac{P}{4+\pi}$.