Номер 246, страница 310 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Глава 5. Задачи на повторение. Параграф 5. Производная, первообразная, интеграл и их применения - номер 246, страница 310.

Условие.

246. Найдите высоту конуса наименьшего объема, описанного около шара радиусом R.

Решение 1.

Решение 5.

Обозначим высоту конуса как $h$, а радиус его основания как $r$. Радиус вписанного в конус шара по условию равен $R$.

Наша задача — найти такое значение $h$, при котором объем конуса $V$ будет наименьшим. Для этого нужно выразить объем конуса как функцию одной переменной, например, высоты $h$.

Установление связи между переменными

Рассмотрим осевое сечение конуса и вписанного в него шара. Сечением конуса является равнобедренный треугольник с высотой $h$ и основанием $2r$. Сечением шара является круг радиуса $R$, вписанный в этот треугольник.

Пусть $\alpha$ — это угол между высотой конуса и его образующей (половина угла при вершине конуса).

Из прямоугольного треугольника, образованного высотой $h$, радиусом основания $r$ и образующей, следует: $ \tan(\alpha) = \frac{r}{h} $

Центр вписанного шара лежит на высоте конуса. Расстояние от центра шара до основания конуса равно $R$, следовательно, расстояние от вершины конуса до центра шара составляет $h-R$. Если провести радиус шара к точке касания на образующей, он будет перпендикулярен ей. Таким образом, образуется еще один прямоугольный треугольник, в котором гипотенуза равна $h-R$, а катет, противолежащий углу $\alpha$, равен $R$. Из этого треугольника получаем: $ \sin(\alpha) = \frac{R}{h - R} $

Теперь воспользуемся тригонометрическим тождеством, связывающим тангенс и синус угла: $ \tan^2(\alpha) = \frac{\sin^2(\alpha)}{1 - \sin^2(\alpha)} $.

Подставим в него найденные выражения: $ \left(\frac{r}{h}\right)^2 = \frac{\left(\frac{R}{h-R}\right)^2}{1 - \left(\frac{R}{h-R}\right)^2} $

Упростим это выражение: $ \frac{r^2}{h^2} = \frac{\frac{R^2}{(h-R)^2}}{\frac{(h-R)^2 - R^2}{(h-R)^2}} = \frac{R^2}{(h-R)^2 - R^2} $ $ \frac{r^2}{h^2} = \frac{R^2}{h^2 - 2hR + R^2 - R^2} = \frac{R^2}{h^2 - 2hR} $

Отсюда выразим $r^2$ через $h$ и $R$: $ r^2 = \frac{h^2 R^2}{h(h - 2R)} = \frac{h R^2}{h - 2R} $

Заметим, что для существования конуса необходимо, чтобы $r^2 > 0$, а значит $h - 2R > 0$, то есть $h > 2R$.

Нахождение объема конуса как функции высоты

Объем конуса $V$ вычисляется по формуле: $ V = \frac{1}{3} \pi r^2 h $

Подставим в эту формулу полученное выражение для $r^2$: $ V(h) = \frac{1}{3} \pi \left( \frac{h R^2}{h - 2R} \right) h = \frac{\pi R^2}{3} \frac{h^2}{h - 2R} $

Минимизация объема

Чтобы найти высоту конуса с наименьшим объемом, нужно найти значение $h$, при котором функция $V(h)$ достигает своего минимума. Так как множитель $\frac{\pi R^2}{3}$ является константой, задача сводится к минимизации функции $f(h) = \frac{h^2}{h - 2R}$ на интервале $h > 2R$.

Для этого найдем производную функции $f(h)$ по $h$, используя правило дифференцирования частного $\left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$: $ f'(h) = \frac{(h^2)'(h - 2R) - h^2(h - 2R)'}{(h - 2R)^2} $ $ f'(h) = \frac{2h(h - 2R) - h^2(1)}{(h - 2R)^2} $ $ f'(h) = \frac{2h^2 - 4hR - h^2}{(h - 2R)^2} $ $ f'(h) = \frac{h^2 - 4hR}{(h - 2R)^2} = \frac{h(h - 4R)}{(h - 2R)^2} $

Приравняем производную к нулю для нахождения критических точек: $ \frac{h(h - 4R)}{(h - 2R)^2} = 0 $

Учитывая, что $h > 2R$, знаменатель не равен нулю, и $h \ne 0$. Следовательно, единственное решение — это когда числитель равен нулю: $ h - 4R = 0 \implies h = 4R $

Проверка на минимум

Чтобы убедиться, что при $h = 4R$ объем действительно минимален, исследуем знак производной $f'(h)$ в окрестности этой точки. Знак производной определяется знаком числителя $h(h - 4R)$, так как знаменатель $(h - 2R)^2$ всегда положителен.

• При $2R < h < 4R$, множитель $(h - 4R)$ отрицателен, значит $f'(h) < 0$. Функция $V(h)$ на этом интервале убывает.
• При $h > 4R$, множитель $(h - 4R)$ положителен, значит $f'(h) > 0$. Функция $V(h)$ на этом интервале возрастает.

Поскольку в точке $h = 4R$ производная меняет свой знак с минуса на плюс, эта точка является точкой минимума для функции объема.

Таким образом, наименьший объем конуса, описанного около шара радиусом $R$, достигается при высоте $h=4R$.

Ответ: $4R$.