Номер 246, страница 310 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Алгебра, 10-11 класс Учебник, авторы: Колмогоров Андрей Николаевич, Абрамов Александр Михайлович, Дудницын Юрий Павлович, издательство Просвещение, Москва, 2008, зелёного цвета

Авторы: Колмогоров А. Н., Абрамов А. М., Дудницын Ю. П.

Тип: Учебник

Издательство: Просвещение

Год издания: 2008 - 2025

Цвет обложки: зелёный, чёрный

ISBN: 978-5-09-019513-3

Рекомендовано Министерством образования и науки Российской Федерации

Алгебра и начала математического анализа

Популярные ГДЗ в 10 классе

Параграф 5. Производная, первообразная, интеграл и их применения. Глава 5. Задачи на повторение - номер 246, страница 310.

№246 (с. 310)
Условие. №246 (с. 310)
скриншот условия
Алгебра, 10-11 класс Учебник, авторы: Колмогоров Андрей Николаевич, Абрамов Александр Михайлович, Дудницын Юрий Павлович, издательство Просвещение, Москва, 2008, зелёного цвета, страница 310, номер 246, Условие

246. Найдите высоту конуса наименьшего объема, описанного около шара радиусом R.

Решение 1. №246 (с. 310)
Алгебра, 10-11 класс Учебник, авторы: Колмогоров Андрей Николаевич, Абрамов Александр Михайлович, Дудницын Юрий Павлович, издательство Просвещение, Москва, 2008, зелёного цвета, страница 310, номер 246, Решение 1
Решение 5. №246 (с. 310)

Обозначим высоту конуса как $h$, а радиус его основания как $r$. Радиус вписанного в конус шара по условию равен $R$.

Наша задача — найти такое значение $h$, при котором объем конуса $V$ будет наименьшим. Для этого нужно выразить объем конуса как функцию одной переменной, например, высоты $h$.

Установление связи между переменными

Рассмотрим осевое сечение конуса и вписанного в него шара. Сечением конуса является равнобедренный треугольник с высотой $h$ и основанием $2r$. Сечением шара является круг радиуса $R$, вписанный в этот треугольник.

Пусть $\alpha$ — это угол между высотой конуса и его образующей (половина угла при вершине конуса).

Из прямоугольного треугольника, образованного высотой $h$, радиусом основания $r$ и образующей, следует: $ \tan(\alpha) = \frac{r}{h} $

Центр вписанного шара лежит на высоте конуса. Расстояние от центра шара до основания конуса равно $R$, следовательно, расстояние от вершины конуса до центра шара составляет $h-R$. Если провести радиус шара к точке касания на образующей, он будет перпендикулярен ей. Таким образом, образуется еще один прямоугольный треугольник, в котором гипотенуза равна $h-R$, а катет, противолежащий углу $\alpha$, равен $R$. Из этого треугольника получаем: $ \sin(\alpha) = \frac{R}{h - R} $

Теперь воспользуемся тригонометрическим тождеством, связывающим тангенс и синус угла: $ \tan^2(\alpha) = \frac{\sin^2(\alpha)}{1 - \sin^2(\alpha)} $.

Подставим в него найденные выражения: $ \left(\frac{r}{h}\right)^2 = \frac{\left(\frac{R}{h-R}\right)^2}{1 - \left(\frac{R}{h-R}\right)^2} $

Упростим это выражение: $ \frac{r^2}{h^2} = \frac{\frac{R^2}{(h-R)^2}}{\frac{(h-R)^2 - R^2}{(h-R)^2}} = \frac{R^2}{(h-R)^2 - R^2} $ $ \frac{r^2}{h^2} = \frac{R^2}{h^2 - 2hR + R^2 - R^2} = \frac{R^2}{h^2 - 2hR} $

Отсюда выразим $r^2$ через $h$ и $R$: $ r^2 = \frac{h^2 R^2}{h(h - 2R)} = \frac{h R^2}{h - 2R} $

Заметим, что для существования конуса необходимо, чтобы $r^2 > 0$, а значит $h - 2R > 0$, то есть $h > 2R$.

Нахождение объема конуса как функции высоты

Объем конуса $V$ вычисляется по формуле: $ V = \frac{1}{3} \pi r^2 h $

Подставим в эту формулу полученное выражение для $r^2$: $ V(h) = \frac{1}{3} \pi \left( \frac{h R^2}{h - 2R} \right) h = \frac{\pi R^2}{3} \frac{h^2}{h - 2R} $

Минимизация объема

Чтобы найти высоту конуса с наименьшим объемом, нужно найти значение $h$, при котором функция $V(h)$ достигает своего минимума. Так как множитель $\frac{\pi R^2}{3}$ является константой, задача сводится к минимизации функции $f(h) = \frac{h^2}{h - 2R}$ на интервале $h > 2R$.

Для этого найдем производную функции $f(h)$ по $h$, используя правило дифференцирования частного $\left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$: $ f'(h) = \frac{(h^2)'(h - 2R) - h^2(h - 2R)'}{(h - 2R)^2} $ $ f'(h) = \frac{2h(h - 2R) - h^2(1)}{(h - 2R)^2} $ $ f'(h) = \frac{2h^2 - 4hR - h^2}{(h - 2R)^2} $ $ f'(h) = \frac{h^2 - 4hR}{(h - 2R)^2} = \frac{h(h - 4R)}{(h - 2R)^2} $

Приравняем производную к нулю для нахождения критических точек: $ \frac{h(h - 4R)}{(h - 2R)^2} = 0 $

Учитывая, что $h > 2R$, знаменатель не равен нулю, и $h \ne 0$. Следовательно, единственное решение — это когда числитель равен нулю: $ h - 4R = 0 \implies h = 4R $

Проверка на минимум

Чтобы убедиться, что при $h = 4R$ объем действительно минимален, исследуем знак производной $f'(h)$ в окрестности этой точки. Знак производной определяется знаком числителя $h(h - 4R)$, так как знаменатель $(h - 2R)^2$ всегда положителен.

  • При $2R < h < 4R$, множитель $(h - 4R)$ отрицателен, значит $f'(h) < 0$. Функция $V(h)$ на этом интервале убывает.
  • При $h > 4R$, множитель $(h - 4R)$ положителен, значит $f'(h) > 0$. Функция $V(h)$ на этом интервале возрастает.

Поскольку в точке $h = 4R$ производная меняет свой знак с минуса на плюс, эта точка является точкой минимума для функции объема.

Таким образом, наименьший объем конуса, описанного около шара радиусом $R$, достигается при высоте $h=4R$.

Ответ: $4R$.

Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.

Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz

Присоединиться

Мы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 10-11 класс, для упражнения номер 246 расположенного на странице 310 к учебнику 2008 года издания для учащихся школ и гимназий.

Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №246 (с. 310), авторов: Колмогоров (Андрей Николаевич), Абрамов (Александр Михайлович), Дудницын (Юрий Павлович), учебного пособия издательства Просвещение.