Номер 242, страница 309 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Глава 5. Задачи на повторение. Параграф 5. Производная, первообразная, интеграл и их применения - номер 242, страница 309.

Условие.

242. Из всех цилиндров, имеющих объем $16\pi \text{ м}^3$, найдите цилиндр с наименьшей площадью полной поверхности.

Решение 1.

Решение 3.

Решение 5.

Пусть $r$ — радиус основания цилиндра, а $h$ — его высота. Задача состоит в том, чтобы найти размеры $r$ и $h$, при которых площадь полной поверхности $S$ будет минимальной при заданном объеме $V = 16\pi$ м³.

Формула объема цилиндра: $V = \pi r^2 h$.

Формула площади полной поверхности цилиндра: $S = 2\pi r^2 + 2\pi r h$.

Из условия, что объем равен $16\pi$ м³, получаем уравнение:
$\pi r^2 h = 16\pi$
Разделив обе части уравнения на $\pi$, получим связь между $r$ и $h$:
$r^2 h = 16$
Отсюда можно выразить высоту $h$ через радиус $r$:
$h = \frac{16}{r^2}$

Теперь подставим полученное выражение для $h$ в формулу площади полной поверхности. Это позволит нам представить $S$ как функцию одной переменной $r$:
$S(r) = 2\pi r^2 + 2\pi r \left(\frac{16}{r^2}\right) = 2\pi r^2 + \frac{32\pi}{r}$

Для нахождения минимума функции $S(r)$ необходимо найти ее производную по $r$ и приравнять ее к нулю.
$S'(r) = \frac{d}{dr} \left(2\pi r^2 + 32\pi r^{-1}\right) = 4\pi r - \frac{32\pi}{r^2}$

Найдем критические точки, решив уравнение $S'(r) = 0$:
$4\pi r - \frac{32\pi}{r^2} = 0$
$4\pi r = \frac{32\pi}{r^2}$
Умножим обе части на $r^2$ (поскольку $r > 0$):
$4\pi r^3 = 32\pi$
$r^3 = \frac{32\pi}{4\pi}$
$r^3 = 8$
$r = \sqrt[3]{8} = 2$ м

Чтобы убедиться, что найденное значение $r=2$ соответствует точке минимума, воспользуемся тестом второй производной. Найдем вторую производную $S''(r)$:
$S''(r) = \frac{d}{dr} \left(4\pi r - 32\pi r^{-2}\right) = 4\pi - 32\pi(-2)r^{-3} = 4\pi + \frac{64\pi}{r^3}$
Вычислим значение $S''(r)$ в точке $r=2$:
$S''(2) = 4\pi + \frac{64\pi}{2^3} = 4\pi + \frac{64\pi}{8} = 4\pi + 8\pi = 12\pi$
Поскольку $S''(2) > 0$, точка $r=2$ является точкой минимума для функции $S(r)$.

Теперь, зная оптимальный радиус, найдем соответствующую высоту $h$:
$h = \frac{16}{r^2} = \frac{16}{2^2} = \frac{16}{4} = 4$ м.

Таким образом, цилиндр с наименьшей площадью полной поверхности при объеме $16\pi$ м³ имеет радиус основания 2 м и высоту 4 м. Примечательно, что для такого цилиндра высота равна диаметру основания ($h=2r$).

Ответ: Цилиндр с наименьшей площадью полной поверхности имеет радиус основания 2 м и высоту 4 м.