Номер 248, страница 310 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Авторы: Колмогоров А. Н., Абрамов А. М., Дудницын Ю. П.
Тип: Учебник
Издательство: Просвещение
Год издания: 2008 - 2025
Цвет обложки: зелёный, чёрный
ISBN: 978-5-09-019513-3
Рекомендовано Министерством образования и науки Российской Федерации
Алгебра и начала математического анализа
Популярные ГДЗ в 10 классе
Параграф 5. Производная, первообразная, интеграл и их применения. Глава 5. Задачи на повторение - номер 248, страница 310.
№248 (с. 310)
Условие. №248 (с. 310)
скриншот условия

248. Из круглого бревна диаметром 40 см требуется вырезать балку прямоугольного сечения с основанием $b$ и высотой $h$. Прочность балки пропорциональна $bh^2$. При каких значениях $b$ и $h$ прочность будет наибольшей?
Решение 1. №248 (с. 310)

Решение 5. №248 (с. 310)
Пусть $b$ — основание и $h$ — высота прямоугольного сечения балки. Поскольку балка вырезается из круглого бревна диаметром $d = 40$ см, прямоугольное сечение балки вписано в круг, соответствующий поперечному сечению бревна.
Диагональ вписанного прямоугольника равна диаметру круга. По теореме Пифагора, для прямоугольного треугольника, образованного сторонами $b$, $h$ и диагональю $d$, справедливо соотношение: $b^2 + h^2 = d^2$
Подставляем известное значение диаметра $d = 40$ см: $b^2 + h^2 = 40^2$ $b^2 + h^2 = 1600$
Прочность балки, обозначим ее как $P$, пропорциональна величине $bh^2$. Это можно записать в виде формулы $P = k \cdot bh^2$, где $k$ — это постоянный положительный коэффициент пропорциональности. Чтобы найти наибольшую прочность, необходимо найти максимум функции $f(b, h) = bh^2$.
Для того чтобы исследовать эту функцию на экстремум, выразим одну переменную через другую. Удобнее выразить $h^2$ через $b$ из геометрического соотношения: $h^2 = 1600 - b^2$
Теперь подставим это выражение в функцию, которую мы хотим максимизировать. Это позволит нам получить функцию одной переменной $b$: $P(b) = k \cdot b(1600 - b^2) = k(1600b - b^3)$
Для нахождения максимального значения функции найдем ее производную по переменной $b$. $P'(b) = \frac{dP}{db} = k(1600 - 3b^2)$
Приравняем производную к нулю, чтобы найти критические точки: $k(1600 - 3b^2) = 0$
Поскольку $k > 0$, получаем: $1600 - 3b^2 = 0$ $3b^2 = 1600$ $b^2 = \frac{1600}{3}$
Так как $b$ представляет собой физическую величину (ширину балки), она должна быть положительной. Следовательно, выбираем положительное значение корня: $b = \sqrt{\frac{1600}{3}} = \frac{40}{\sqrt{3}} = \frac{40\sqrt{3}}{3}$ см.
Чтобы проверить, является ли найденная точка точкой максимума, используем вторую производную: $P''(b) = \frac{d^2P}{db^2} = k(-6b)$
Для нашего значения $b = \frac{40\sqrt{3}}{3}$ вторая производная будет отрицательной: $P''\left(\frac{40\sqrt{3}}{3}\right) = -6k \cdot \frac{40\sqrt{3}}{3} = -80k\sqrt{3} < 0$ Это подтверждает, что данное значение $b$ обеспечивает максимальную прочность балки.
Теперь найдем соответствующее значение высоты $h$: $h^2 = 1600 - b^2 = 1600 - \frac{1600}{3} = \frac{3 \cdot 1600 - 1600}{3} = \frac{2 \cdot 1600}{3} = \frac{3200}{3}$
$h = \sqrt{\frac{3200}{3}} = \sqrt{\frac{1600 \cdot 2}{3}} = \frac{40\sqrt{2}}{\sqrt{3}} = \frac{40\sqrt{6}}{3}$ см.
Таким образом, прочность балки будет наибольшей при основании $b = \frac{40\sqrt{3}}{3}$ см (приблизительно 23,1 см) и высоте $h = \frac{40\sqrt{6}}{3}$ см (приблизительно 32,7 см).
Ответ: Прочность балки будет наибольшей при основании $b = \frac{40\sqrt{3}}{3}$ см и высоте $h = \frac{40\sqrt{6}}{3}$ см.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz
ПрисоединитьсяМы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 10-11 класс, для упражнения номер 248 расположенного на странице 310 к учебнику 2008 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №248 (с. 310), авторов: Колмогоров (Андрей Николаевич), Абрамов (Александр Михайлович), Дудницын (Юрий Павлович), учебного пособия издательства Просвещение.