Номер 248, страница 310 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Алгебра, 10-11 класс Учебник, авторы: Колмогоров Андрей Николаевич, Абрамов Александр Михайлович, Дудницын Юрий Павлович, издательство Просвещение, Москва, 2008, зелёного цвета

Авторы: Колмогоров А. Н., Абрамов А. М., Дудницын Ю. П.

Тип: Учебник

Издательство: Просвещение

Год издания: 2008 - 2025

Цвет обложки: зелёный, чёрный

ISBN: 978-5-09-019513-3

Рекомендовано Министерством образования и науки Российской Федерации

Алгебра и начала математического анализа

Популярные ГДЗ в 10 классе

Параграф 5. Производная, первообразная, интеграл и их применения. Глава 5. Задачи на повторение - номер 248, страница 310.

№248 (с. 310)
Условие. №248 (с. 310)
скриншот условия
Алгебра, 10-11 класс Учебник, авторы: Колмогоров Андрей Николаевич, Абрамов Александр Михайлович, Дудницын Юрий Павлович, издательство Просвещение, Москва, 2008, зелёного цвета, страница 310, номер 248, Условие

248. Из круглого бревна диаметром 40 см требуется вырезать балку прямоугольного сечения с основанием $b$ и высотой $h$. Прочность балки пропорциональна $bh^2$. При каких значениях $b$ и $h$ прочность будет наибольшей?

Решение 1. №248 (с. 310)
Алгебра, 10-11 класс Учебник, авторы: Колмогоров Андрей Николаевич, Абрамов Александр Михайлович, Дудницын Юрий Павлович, издательство Просвещение, Москва, 2008, зелёного цвета, страница 310, номер 248, Решение 1
Решение 5. №248 (с. 310)

Пусть $b$ — основание и $h$ — высота прямоугольного сечения балки. Поскольку балка вырезается из круглого бревна диаметром $d = 40$ см, прямоугольное сечение балки вписано в круг, соответствующий поперечному сечению бревна.

Диагональ вписанного прямоугольника равна диаметру круга. По теореме Пифагора, для прямоугольного треугольника, образованного сторонами $b$, $h$ и диагональю $d$, справедливо соотношение: $b^2 + h^2 = d^2$

Подставляем известное значение диаметра $d = 40$ см: $b^2 + h^2 = 40^2$ $b^2 + h^2 = 1600$

Прочность балки, обозначим ее как $P$, пропорциональна величине $bh^2$. Это можно записать в виде формулы $P = k \cdot bh^2$, где $k$ — это постоянный положительный коэффициент пропорциональности. Чтобы найти наибольшую прочность, необходимо найти максимум функции $f(b, h) = bh^2$.

Для того чтобы исследовать эту функцию на экстремум, выразим одну переменную через другую. Удобнее выразить $h^2$ через $b$ из геометрического соотношения: $h^2 = 1600 - b^2$

Теперь подставим это выражение в функцию, которую мы хотим максимизировать. Это позволит нам получить функцию одной переменной $b$: $P(b) = k \cdot b(1600 - b^2) = k(1600b - b^3)$

Для нахождения максимального значения функции найдем ее производную по переменной $b$. $P'(b) = \frac{dP}{db} = k(1600 - 3b^2)$

Приравняем производную к нулю, чтобы найти критические точки: $k(1600 - 3b^2) = 0$

Поскольку $k > 0$, получаем: $1600 - 3b^2 = 0$ $3b^2 = 1600$ $b^2 = \frac{1600}{3}$

Так как $b$ представляет собой физическую величину (ширину балки), она должна быть положительной. Следовательно, выбираем положительное значение корня: $b = \sqrt{\frac{1600}{3}} = \frac{40}{\sqrt{3}} = \frac{40\sqrt{3}}{3}$ см.

Чтобы проверить, является ли найденная точка точкой максимума, используем вторую производную: $P''(b) = \frac{d^2P}{db^2} = k(-6b)$

Для нашего значения $b = \frac{40\sqrt{3}}{3}$ вторая производная будет отрицательной: $P''\left(\frac{40\sqrt{3}}{3}\right) = -6k \cdot \frac{40\sqrt{3}}{3} = -80k\sqrt{3} < 0$ Это подтверждает, что данное значение $b$ обеспечивает максимальную прочность балки.

Теперь найдем соответствующее значение высоты $h$: $h^2 = 1600 - b^2 = 1600 - \frac{1600}{3} = \frac{3 \cdot 1600 - 1600}{3} = \frac{2 \cdot 1600}{3} = \frac{3200}{3}$

$h = \sqrt{\frac{3200}{3}} = \sqrt{\frac{1600 \cdot 2}{3}} = \frac{40\sqrt{2}}{\sqrt{3}} = \frac{40\sqrt{6}}{3}$ см.

Таким образом, прочность балки будет наибольшей при основании $b = \frac{40\sqrt{3}}{3}$ см (приблизительно 23,1 см) и высоте $h = \frac{40\sqrt{6}}{3}$ см (приблизительно 32,7 см).

Ответ: Прочность балки будет наибольшей при основании $b = \frac{40\sqrt{3}}{3}$ см и высоте $h = \frac{40\sqrt{6}}{3}$ см.

Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.

Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz

Присоединиться

Мы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 10-11 класс, для упражнения номер 248 расположенного на странице 310 к учебнику 2008 года издания для учащихся школ и гимназий.

Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №248 (с. 310), авторов: Колмогоров (Андрей Николаевич), Абрамов (Александр Михайлович), Дудницын (Юрий Павлович), учебного пособия издательства Просвещение.