Номер 248, страница 310 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Глава 5. Задачи на повторение. Параграф 5. Производная, первообразная, интеграл и их применения - номер 248, страница 310.

Условие.

248. Из круглого бревна диаметром 40 см требуется вырезать балку прямоугольного сечения с основанием $b$ и высотой $h$. Прочность балки пропорциональна $bh^2$. При каких значениях $b$ и $h$ прочность будет наибольшей?

Решение 1.

Решение 5.

Пусть $b$ — основание и $h$ — высота прямоугольного сечения балки. Поскольку балка вырезается из круглого бревна диаметром $d = 40$ см, прямоугольное сечение балки вписано в круг, соответствующий поперечному сечению бревна.

Диагональ вписанного прямоугольника равна диаметру круга. По теореме Пифагора, для прямоугольного треугольника, образованного сторонами $b$, $h$ и диагональю $d$, справедливо соотношение: $b^2 + h^2 = d^2$

Подставляем известное значение диаметра $d = 40$ см: $b^2 + h^2 = 40^2$ $b^2 + h^2 = 1600$

Прочность балки, обозначим ее как $P$, пропорциональна величине $bh^2$. Это можно записать в виде формулы $P = k \cdot bh^2$, где $k$ — это постоянный положительный коэффициент пропорциональности. Чтобы найти наибольшую прочность, необходимо найти максимум функции $f(b, h) = bh^2$.

Для того чтобы исследовать эту функцию на экстремум, выразим одну переменную через другую. Удобнее выразить $h^2$ через $b$ из геометрического соотношения: $h^2 = 1600 - b^2$

Теперь подставим это выражение в функцию, которую мы хотим максимизировать. Это позволит нам получить функцию одной переменной $b$: $P(b) = k \cdot b(1600 - b^2) = k(1600b - b^3)$

Для нахождения максимального значения функции найдем ее производную по переменной $b$. $P'(b) = \frac{dP}{db} = k(1600 - 3b^2)$

Приравняем производную к нулю, чтобы найти критические точки: $k(1600 - 3b^2) = 0$

Поскольку $k > 0$, получаем: $1600 - 3b^2 = 0$ $3b^2 = 1600$ $b^2 = \frac{1600}{3}$

Так как $b$ представляет собой физическую величину (ширину балки), она должна быть положительной. Следовательно, выбираем положительное значение корня: $b = \sqrt{\frac{1600}{3}} = \frac{40}{\sqrt{3}} = \frac{40\sqrt{3}}{3}$ см.

Чтобы проверить, является ли найденная точка точкой максимума, используем вторую производную: $P''(b) = \frac{d^2P}{db^2} = k(-6b)$

Для нашего значения $b = \frac{40\sqrt{3}}{3}$ вторая производная будет отрицательной: $P''\left(\frac{40\sqrt{3}}{3}\right) = -6k \cdot \frac{40\sqrt{3}}{3} = -80k\sqrt{3} < 0$ Это подтверждает, что данное значение $b$ обеспечивает максимальную прочность балки.

Теперь найдем соответствующее значение высоты $h$: $h^2 = 1600 - b^2 = 1600 - \frac{1600}{3} = \frac{3 \cdot 1600 - 1600}{3} = \frac{2 \cdot 1600}{3} = \frac{3200}{3}$

$h = \sqrt{\frac{3200}{3}} = \sqrt{\frac{1600 \cdot 2}{3}} = \frac{40\sqrt{2}}{\sqrt{3}} = \frac{40\sqrt{6}}{3}$ см.

Таким образом, прочность балки будет наибольшей при основании $b = \frac{40\sqrt{3}}{3}$ см (приблизительно 23,1 см) и высоте $h = \frac{40\sqrt{6}}{3}$ см (приблизительно 32,7 см).

Ответ: Прочность балки будет наибольшей при основании $b = \frac{40\sqrt{3}}{3}$ см и высоте $h = \frac{40\sqrt{6}}{3}$ см.