Номер 264, страница 311 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Параграф 5. Производная, первообразная, интеграл и их применения. Глава 5. Задачи на повторение - номер 264, страница 311.

Условие.

264. Найдите абсциссы точек графика функции $f(x) = x^3 + \frac{1}{2}x^2 - x - 3$, касательные в которых наклонены к оси абсцисс под углом 135°.

Решение 1.

Решение 5.

Для нахождения абсцисс точек, в которых касательные к графику функции наклонены под определенным углом, необходимо использовать геометрический смысл производной. Угловой коэффициент касательной к графику функции $f(x)$ в точке с абсциссой $x_0$ равен значению производной $f'(x_0)$. В свою очередь, угловой коэффициент $k$ связан с углом наклона $\alpha$ к положительному направлению оси абсцисс соотношением $k = \tan(\alpha)$.

1. Найдем угловой коэффициент касательной.

По условию, угол наклона касательной составляет $135^\circ$. Найдем его тангенс:

$k = \tan(135^\circ) = \tan(180^\circ - 45^\circ) = -\tan(45^\circ) = -1$

Таким образом, угловой коэффициент касательных в искомых точках равен $-1$.

2. Найдем производную функции.

Дана функция $f(x) = x^3 + \frac{1}{2}x^2 - x - 3$.

Найдем ее производную, используя правила дифференцирования:

$f'(x) = (x^3 + \frac{1}{2}x^2 - x - 3)' = (x^3)' + (\frac{1}{2}x^2)' - (x)' - (3)'$

$f'(x) = 3x^2 + \frac{1}{2} \cdot 2x - 1 - 0 = 3x^2 + x - 1$

3. Найдем абсциссы точек.

Приравняем значение производной к найденному угловому коэффициенту $k = -1$:

$f'(x) = -1$

$3x^2 + x - 1 = -1$

Решим полученное уравнение:

$3x^2 + x = 0$

Вынесем общий множитель $x$ за скобки:

$x(3x + 1) = 0$

Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю. Отсюда получаем два решения:

$x_1 = 0$

или

$3x + 1 = 0 \implies 3x = -1 \implies x_2 = -\frac{1}{3}$

Следовательно, искомые абсциссы точек равны $0$ и $-\frac{1}{3}$.

Ответ: $0$; $-\frac{1}{3}$.