Номер 271, страница 312 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Параграф 5. Производная, первообразная, интеграл и их применения. Глава 5. Задачи на повторение - номер 271, страница 312.

Условие.

271. Найдите уравнение кривой, проходящей через точку А (2; 3), если угловой коэффициент касательной в точке с абсциссой x равен $3x^2$.

Решение 1.

Решение 3.

Решение 5.

Пусть искомое уравнение кривой имеет вид $y = f(x)$.

Угловой коэффициент касательной к графику функции в точке с абсциссой $x$ равен значению производной этой функции в данной точке, то есть $f'(x)$. По условию задачи, угловой коэффициент равен $3x^2$. Следовательно, мы имеем дифференциальное уравнение:

$f'(x) = 3x^2$

Чтобы найти саму функцию $f(x)$, нам необходимо найти ее первообразную, то есть выполнить операцию интегрирования:

$f(x) = \int f'(x) dx = \int 3x^2 dx$

Вычисляем интеграл:

$f(x) = 3 \cdot \frac{x^{2+1}}{2+1} + C = 3 \cdot \frac{x^3}{3} + C = x^3 + C$

Здесь $C$ — произвольная постоянная (константа интегрирования). Мы получили общее уравнение для семейства кривых, удовлетворяющих заданному условию.

Для нахождения конкретной кривой из этого семейства воспользуемся тем, что она проходит через точку A(2; 3). Это означает, что при подстановке координат точки в уравнение кривой мы получим верное равенство. Подставим $x=2$ и $y=3$ в уравнение $y = x^3 + C$:

$3 = (2)^3 + C$

$3 = 8 + C$

Отсюда находим значение константы $C$:

$C = 3 - 8 = -5$

Подставив найденное значение $C = -5$ в общее уравнение, получаем искомое уравнение кривой:

$y = x^3 - 5$

Ответ: $y = x^3 - 5$