Номер 266, страница 311 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Параграф 5. Производная, первообразная, интеграл и их применения. Глава 5. Задачи на повторение - номер 266, страница 311.

Условие.

266. Докажите, что любая касательная к графику функции $f(x) = x^5 + 2x - 7$ составляет с осью абсцисс острый угол.

Решение 1.

Решение 3.

Решение 5.

Угол, который касательная к графику функции образует с положительным направлением оси абсцисс, определяется ее угловым коэффициентом. Угловой коэффициент $k$ касательной к графику функции $f(x)$ в точке с абсциссой $x_0$ равен значению производной функции в этой точке, то есть $k = f'(x_0)$.

Угол $\alpha$ является острым, если он находится в диапазоне $0 < \alpha < 90^\circ$. Это условие выполняется, когда тангенс угла наклона, равный угловому коэффициенту, положителен: $\tan(\alpha) = k > 0$.

Следовательно, для доказательства утверждения задачи необходимо показать, что производная данной функции $f(x)$ положительна при любом действительном значении $x$.

Дана функция: $f(x) = x^5 + 2x - 7$.

Найдем ее производную, используя правила дифференцирования: $f'(x) = (x^5 + 2x - 7)' = (x^5)' + (2x)' - (7)' = 5x^4 + 2 - 0$.

Таким образом, производная функции равна: $f'(x) = 5x^4 + 2$.

Теперь проанализируем знак полученной производной. Выражение $x^4$, как четная степень переменной $x$, всегда принимает неотрицательные значения для любого действительного $x$, то есть $x^4 \ge 0$.

Умножив это неравенство на 5, получим: $5x^4 \ge 0$.

Прибавив 2 к обеим частям неравенства, получим: $5x^4 + 2 \ge 2$.

Это означает, что $f'(x) \ge 2$ для всех $x \in \mathbb{R}$. Следовательно, производная функции всегда строго положительна.

Поскольку угловой коэффициент касательной $k = f'(x)$ всегда положителен, тангенс угла наклона $\alpha$ касательной к оси абсцисс также всегда положителен. Это означает, что угол $\alpha$ удовлетворяет условию $0 < \alpha < 90^\circ$, то есть является острым. Таким образом, любая касательная к графику функции $f(x) = x^5 + 2x - 7$ составляет с осью абсцисс острый угол, что и требовалось доказать.

Ответ: Так как производная функции $f'(x) = 5x^4 + 2$ всегда положительна ($f'(x) \ge 2$ для всех $x$), угловой коэффициент любой касательной к графику функции положителен, следовательно, любая касательная образует с осью абсцисс острый угол.