Номер 268, страница 312 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Параграф 5. Производная, первообразная, интеграл и их применения. Глава 5. Задачи на повторение - номер 268, страница 312.

Условие.

268. Найдите общий вид первообразных для функции:

а) $f(x) = 4 \sin x + \cos 3x;$

б) $f(x) = x^2 + x^{-5} + x^2 + \sqrt{3};$

в) $f(x) = 2 + \frac{3}{x-1};$

г) $f(x) = \frac{2}{\cos^2 2x} + \frac{3}{\sin^2 3x}.$

Решение 1.

Решение 3.

Решение 5.

а) Для нахождения общего вида первообразных для функции $f(x) = 4 \sin x + \cos 3x$ необходимо вычислить неопределенный интеграл от этой функции. Общий вид первообразных $F(x)$ находится по формуле $F(x) = \int f(x) dx$.
$F(x) = \int (4 \sin x + \cos 3x) dx = \int 4 \sin x dx + \int \cos 3x dx$.
Используем известные правила интегрирования:
1. Первообразная для $\sin x$ есть $-\cos x$.
2. Первообразная для $\cos(kx)$ есть $\frac{1}{k} \sin(kx)$.
Применяя эти правила, получаем:
$\int 4 \sin x dx = 4 \int \sin x dx = 4(-\cos x) = -4 \cos x$.
Для второго слагаемого, где $k=3$:
$\int \cos 3x dx = \frac{1}{3} \sin 3x$.
Складываем результаты и добавляем произвольную постоянную $C$, так как первообразная определяется с точностью до константы:
$F(x) = -4 \cos x + \frac{1}{3} \sin 3x + C$.
Ответ: $F(x) = -4 \cos x + \frac{1}{3} \sin 3x + C$.

б) Для функции $f(x) = x^2 + x^{-5} + x^{2+\sqrt{3}}$ общий вид первообразных $F(x)$ находится интегрированием каждого слагаемого по отдельности.
$F(x) = \int (x^2 + x^{-5} + x^{2+\sqrt{3}}) dx = \int x^2 dx + \int x^{-5} dx + \int x^{2+\sqrt{3}} dx$.
Используем правило интегрирования для степенной функции $\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$ (при $n \neq -1$).
1. Для $x^2$, где $n=2$: $\int x^2 dx = \frac{x^{2+1}}{2+1} = \frac{x^3}{3}$.
2. Для $x^{-5}$, где $n=-5$: $\int x^{-5} dx = \frac{x^{-5+1}}{-5+1} = \frac{x^{-4}}{-4} = -\frac{1}{4}x^{-4}$.
3. Для $x^{2+\sqrt{3}}$, где $n=2+\sqrt{3}$: $\int x^{2+\sqrt{3}} dx = \frac{x^{(2+\sqrt{3})+1}}{(2+\sqrt{3})+1} = \frac{x^{3+\sqrt{3}}}{3+\sqrt{3}}$.
Объединяя результаты и добавляя постоянную интегрирования $C$, получаем:
$F(x) = \frac{x^3}{3} - \frac{1}{4}x^{-4} + \frac{x^{3+\sqrt{3}}}{3+\sqrt{3}} + C$.
Ответ: $F(x) = \frac{x^3}{3} - \frac{1}{4x^4} + \frac{x^{3+\sqrt{3}}}{3+\sqrt{3}} + C$.

в) Для функции $f(x) = 2 + \frac{3}{x-1}$ общий вид первообразных $F(x)$ ищется как интеграл:
$F(x) = \int (2 + \frac{3}{x-1}) dx = \int 2 dx + \int \frac{3}{x-1} dx$.
Используем табличные интегралы:
1. Первообразная для константы $k$ есть $kx$.
2. Первообразная для $\frac{1}{x-a}$ есть $\ln|x-a|$.
Применяем их:
$\int 2 dx = 2x$.
$\int \frac{3}{x-1} dx = 3 \int \frac{1}{x-1} dx = 3 \ln|x-1|$.
Складывая части и добавляя константу $C$, получаем:
$F(x) = 2x + 3 \ln|x-1| + C$.
Ответ: $F(x) = 2x + 3 \ln|x-1| + C$.

г) Для функции $f(x) = \frac{2}{\cos^2 2x} + \frac{3}{\sin^2 3x}$ находим общий вид первообразных $F(x)$:
$F(x) = \int (\frac{2}{\cos^2 2x} + \frac{3}{\sin^2 3x}) dx = 2 \int \frac{1}{\cos^2 2x} dx + 3 \int \frac{1}{\sin^2 3x} dx$.
Используем табличные интегралы:
1. $\int \frac{1}{\cos^2(kx)} dx = \frac{1}{k} \tan(kx) + C$.
2. $\int \frac{1}{\sin^2(kx)} dx = -\frac{1}{k} \cot(kx) + C$.
Вычисляем каждый интеграл:
$2 \int \frac{1}{\cos^2 2x} dx = 2 \cdot (\frac{1}{2} \tan(2x)) = \tan(2x)$.
$3 \int \frac{1}{\sin^2 3x} dx = 3 \cdot (-\frac{1}{3} \cot(3x)) = -\cot(3x)$.
Суммируя результаты и добавляя константу $C$:
$F(x) = \tan(2x) - \cot(3x) + C$.
Ответ: $F(x) = \tan(2x) - \cot(3x) + C$.