Номер 272, страница 312 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Глава 5. Задачи на повторение. Параграф 5. Производная, первообразная, интеграл и их применения - номер 272, страница 312.

Условие.

272. Материальная точка движется по координатной прямой со скоростью $v(t) = \sin t \cos t$. Найдите уравнение движения точки, если при $t = \frac{\pi}{4}$ ее координата равна 3.

Решение 1.

Решение 5.

Уравнение движения точки, обозначаемое как $s(t)$, является первообразной для функции ее скорости $v(t)$. Следовательно, чтобы найти закон движения, необходимо найти интеграл от функции скорости.

$s(t) = \int v(t) dt = \int \sin t \cos t \, dt$

Для вычисления этого интеграла удобно использовать тригонометрическую формулу синуса двойного угла: $\sin(2\alpha) = 2 \sin \alpha \cos \alpha$. Из этой формулы следует, что $\sin t \cos t = \frac{1}{2} \sin(2t)$.

Подставим это выражение в интеграл:

$s(t) = \int \frac{1}{2} \sin(2t) \, dt = \frac{1}{2} \int \sin(2t) \, dt$

Вычисляем полученный интеграл:

$s(t) = \frac{1}{2} \left( -\frac{1}{2} \cos(2t) \right) + C = -\frac{1}{4} \cos(2t) + C$

Здесь $C$ — произвольная постоянная (константа интегрирования). Для ее нахождения воспользуемся данным в условии начальным значением: при $t = \frac{\pi}{4}$ координата точки $s(t)$ равна 3. То есть, $s(\frac{\pi}{4}) = 3$.

Подставим эти значения в общее уравнение движения:

$3 = -\frac{1}{4} \cos\left(2 \cdot \frac{\pi}{4}\right) + C$

$3 = -\frac{1}{4} \cos\left(\frac{\pi}{2}\right) + C$

Поскольку значение косинуса $\cos\left(\frac{\pi}{2}\right) = 0$, уравнение упрощается:

$3 = -\frac{1}{4} \cdot 0 + C$

$C = 3$

Теперь, зная значение константы $C$, мы можем записать итоговое уравнение движения точки:

$s(t) = -\frac{1}{4} \cos(2t) + 3$

Ответ: $s(t) = -\frac{1}{4} \cos(2t) + 3$