Номер 272, страница 312 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Авторы: Колмогоров А. Н., Абрамов А. М., Дудницын Ю. П.
Тип: Учебник
Издательство: Просвещение
Год издания: 2008 - 2025
Цвет обложки: зелёный, чёрный
ISBN: 978-5-09-019513-3
Рекомендовано Министерством образования и науки Российской Федерации
Алгебра и начала математического анализа
Популярные ГДЗ в 10 классе
Параграф 5. Производная, первообразная, интеграл и их применения. Глава 5. Задачи на повторение - номер 272, страница 312.
№272 (с. 312)
Условие. №272 (с. 312)
скриншот условия

272. Материальная точка движется по координатной прямой со скоростью $v(t) = \sin t \cos t$. Найдите уравнение движения точки, если при $t = \frac{\pi}{4}$ ее координата равна 3.
Решение 1. №272 (с. 312)

Решение 5. №272 (с. 312)
Уравнение движения точки, обозначаемое как $s(t)$, является первообразной для функции ее скорости $v(t)$. Следовательно, чтобы найти закон движения, необходимо найти интеграл от функции скорости.
$s(t) = \int v(t) dt = \int \sin t \cos t \, dt$
Для вычисления этого интеграла удобно использовать тригонометрическую формулу синуса двойного угла: $\sin(2\alpha) = 2 \sin \alpha \cos \alpha$. Из этой формулы следует, что $\sin t \cos t = \frac{1}{2} \sin(2t)$.
Подставим это выражение в интеграл:
$s(t) = \int \frac{1}{2} \sin(2t) \, dt = \frac{1}{2} \int \sin(2t) \, dt$
Вычисляем полученный интеграл:
$s(t) = \frac{1}{2} \left( -\frac{1}{2} \cos(2t) \right) + C = -\frac{1}{4} \cos(2t) + C$
Здесь $C$ — произвольная постоянная (константа интегрирования). Для ее нахождения воспользуемся данным в условии начальным значением: при $t = \frac{\pi}{4}$ координата точки $s(t)$ равна 3. То есть, $s(\frac{\pi}{4}) = 3$.
Подставим эти значения в общее уравнение движения:
$3 = -\frac{1}{4} \cos\left(2 \cdot \frac{\pi}{4}\right) + C$
$3 = -\frac{1}{4} \cos\left(\frac{\pi}{2}\right) + C$
Поскольку значение косинуса $\cos\left(\frac{\pi}{2}\right) = 0$, уравнение упрощается:
$3 = -\frac{1}{4} \cdot 0 + C$
$C = 3$
Теперь, зная значение константы $C$, мы можем записать итоговое уравнение движения точки:
$s(t) = -\frac{1}{4} \cos(2t) + 3$
Ответ: $s(t) = -\frac{1}{4} \cos(2t) + 3$
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz
ПрисоединитьсяМы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 10-11 класс, для упражнения номер 272 расположенного на странице 312 к учебнику 2008 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №272 (с. 312), авторов: Колмогоров (Андрей Николаевич), Абрамов (Александр Михайлович), Дудницын (Юрий Павлович), учебного пособия издательства Просвещение.