Номер 274, страница 312 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Параграф 5. Производная, первообразная, интеграл и их применения. Глава 5. Задачи на повторение - номер 274, страница 312.

Условие.

274. Найдите наибольшее и наименьшее значения интеграла:

a) $\int_{0}^{a} \cos \frac{x}{2} dx, a \in R;$

б) $\int_{0}^{a + \frac{\pi}{2}} \cos 2x dx, a \in R.$

Решение 1.

Решение 3.

Решение 5.

а)

Пусть $I(a) = \int_{0}^{a} \cos\frac{x}{2} dx$. Чтобы найти наибольшее и наименьшее значения данного интеграла, который является функцией от $a$, сначала вычислим его, используя формулу Ньютона-Лейбница.

Найдём первообразную для подынтегральной функции $f(x) = \cos\frac{x}{2}$.
$F(x) = \int \cos\frac{x}{2} dx = \frac{\sin\frac{x}{2}}{1/2} + C = 2\sin\frac{x}{2} + C$.

Теперь вычислим определенный интеграл:
$I(a) = \left[ 2\sin\frac{x}{2} \right]_{0}^{a} = 2\sin\frac{a}{2} - 2\sin\frac{0}{2} = 2\sin\frac{a}{2} - 0 = 2\sin\frac{a}{2}$.

Таким образом, значение интеграла - это функция $I(a) = 2\sin\frac{a}{2}$. Поскольку по условию $a \in \mathbb{R}$, то аргумент синуса $\frac{a}{2}$ также может принимать любое действительное значение. Область значений функции $y = \sin(t)$ есть отрезок $[-1, 1]$.
Следовательно:
$-1 \le \sin\frac{a}{2} \le 1$.

Умножим все части этого двойного неравенства на 2:
$2 \cdot (-1) \le 2\sin\frac{a}{2} \le 2 \cdot 1$
$-2 \le I(a) \le 2$.

Наибольшее значение интеграла достигается, когда $\sin\frac{a}{2} = 1$, и равно 2. Наименьшее значение достигается, когда $\sin\frac{a}{2} = -1$, и равно -2.

Ответ: наибольшее значение равно 2, наименьшее значение равно -2.

б)

Пусть $J(a) = \int_{0}^{a+\frac{\pi}{2}} \cos 2x dx$. Как и в предыдущем пункте, сначала вычислим интеграл.

Первообразная для функции $f(x) = \cos 2x$ равна $F(x) = \frac{\sin 2x}{2}$.

Применим формулу Ньютона-Лейбница:
$J(a) = \left[ \frac{\sin 2x}{2} \right]_{0}^{a+\frac{\pi}{2}} = \frac{\sin\left(2\left(a+\frac{\pi}{2}\right)\right)}{2} - \frac{\sin(2 \cdot 0)}{2}$.

$J(a) = \frac{\sin(2a+\pi)}{2} - \frac{\sin 0}{2} = \frac{\sin(2a+\pi)}{2}$.

Воспользуемся формулой приведения $\sin(\alpha + \pi) = -\sin\alpha$.
$J(a) = -\frac{\sin 2a}{2}$.

Теперь необходимо найти наибольшее и наименьшее значения функции $J(a) = -\frac{\sin 2a}{2}$. Поскольку $a \in \mathbb{R}$, аргумент $2a$ пробегает все действительные числа. Область значений функции синус:
$-1 \le \sin 2a \le 1$.

Умножим все части неравенства на $-\frac{1}{2}$. При умножении на отрицательное число знаки неравенства меняются на противоположные:
$(-1) \cdot \left(-\frac{1}{2}\right) \ge -\frac{\sin 2a}{2} \ge 1 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right)$
$\frac{1}{2} \ge J(a) \ge -\frac{1}{2}$.

Это означает, что $-\frac{1}{2} \le J(a) \le \frac{1}{2}$.

Наибольшее значение интеграла равно $\frac{1}{2}$, а наименьшее — $-\frac{1}{2}$.

Ответ: наибольшее значение равно $\frac{1}{2}$, наименьшее значение равно $-\frac{1}{2}$.