Номер 281, страница 313 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Авторы: Колмогоров А. Н., Абрамов А. М., Дудницын Ю. П.
Тип: Учебник
Издательство: Просвещение
Год издания: 2008 - 2025
Цвет обложки: зелёный, чёрный
ISBN: 978-5-09-019513-3
Рекомендовано Министерством образования и науки Российской Федерации
Алгебра и начала математического анализа
Популярные ГДЗ в 10 классе
Параграф 5. Производная, первообразная, интеграл и их применения. Глава 5. Задачи на повторение - номер 281, страница 313.
№281 (с. 313)
Условие. №281 (с. 313)
скриншот условия

281. Найдите пары чисел $a$ и $b$, при которых функция $f(x) = a \sin \pi x + b$ удовлетворяет условиям: $f'(2) = 2$, $\int_0^2 f(x) dx = 4$.
Решение 1. №281 (с. 313)

Решение 3. №281 (с. 313)


Решение 5. №281 (с. 313)
Для нахождения пары чисел $a$ и $b$ необходимо последовательно использовать оба условия, представленные в задаче. Это позволит составить систему уравнений и найти искомые параметры.
1. Использование условия $f'(2) = 2$
Сначала найдем производную функции $f(x) = a \sin(\pi x) + b$. Производная суммы равна сумме производных, а производная константы $b$ равна нулю.
$f'(x) = (a \sin(\pi x) + b)' = a \cdot (\sin(\pi x))' + (b)'$
Используя правило дифференцирования сложной функции, получаем:
$f'(x) = a \cdot \cos(\pi x) \cdot (\pi x)' + 0 = a\pi \cos(\pi x)$
Теперь подставим значение $x = 2$ в выражение для производной:
$f'(2) = a\pi \cos(2\pi)$
Зная, что $\cos(2\pi) = 1$, получаем:
$f'(2) = a\pi \cdot 1 = a\pi$
Согласно условию задачи, $f'(2) = 2$. Приравниваем полученное выражение к этому значению:
$a\pi = 2$
Из этого уравнения выражаем $a$:
$a = \frac{2}{\pi}$
2. Использование условия $\int_{0}^{2} f(x) dx = 4$
Теперь вычислим определенный интеграл от функции $f(x)$ в пределах от 0 до 2.
$\int_{0}^{2} (a \sin(\pi x) + b) dx = \int_{0}^{2} a \sin(\pi x) dx + \int_{0}^{2} b dx$
Вычислим каждый интеграл по отдельности. Для первого интеграла:
$\int a \sin(\pi x) dx = a \left( -\frac{1}{\pi} \cos(\pi x) \right) = -\frac{a}{\pi} \cos(\pi x)$
Применяя формулу Ньютона-Лейбница:
$\int_{0}^{2} a \sin(\pi x) dx = \left[ -\frac{a}{\pi} \cos(\pi x) \right]_{0}^{2} = -\frac{a}{\pi} (\cos(2\pi) - \cos(0)) = -\frac{a}{\pi} (1 - 1) = 0$
Для второго интеграла:
$\int_{0}^{2} b dx = [bx]_{0}^{2} = b \cdot 2 - b \cdot 0 = 2b$
Суммируя результаты, получаем значение всего интеграла:
$\int_{0}^{2} f(x) dx = 0 + 2b = 2b$
Согласно условию, этот интеграл равен 4. Составляем уравнение:
$2b = 4$
Отсюда находим $b$:
$b = \frac{4}{2} = 2$
Таким образом, мы нашли значения для $a$ и $b$. Искомая пара чисел - это $a = \frac{2}{\pi}$ и $b=2$.
Ответ: $a = \frac{2}{\pi}$, $b=2$.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz
ПрисоединитьсяМы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 10-11 класс, для упражнения номер 281 расположенного на странице 313 к учебнику 2008 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №281 (с. 313), авторов: Колмогоров (Андрей Николаевич), Абрамов (Александр Михайлович), Дудницын (Юрий Павлович), учебного пособия издательства Просвещение.