Номер 281, страница 313 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Глава 5. Задачи на повторение. Параграф 5. Производная, первообразная, интеграл и их применения - номер 281, страница 313.

Условие.

281. Найдите пары чисел $a$ и $b$, при которых функция $f(x) = a \sin \pi x + b$ удовлетворяет условиям: $f'(2) = 2$, $\int_0^2 f(x) dx = 4$.

Решение 1.

Решение 3.

Решение 5.

Для нахождения пары чисел $a$ и $b$ необходимо последовательно использовать оба условия, представленные в задаче. Это позволит составить систему уравнений и найти искомые параметры.

1. Использование условия $f'(2) = 2$

Сначала найдем производную функции $f(x) = a \sin(\pi x) + b$. Производная суммы равна сумме производных, а производная константы $b$ равна нулю.

$f'(x) = (a \sin(\pi x) + b)' = a \cdot (\sin(\pi x))' + (b)'$

Используя правило дифференцирования сложной функции, получаем:

$f'(x) = a \cdot \cos(\pi x) \cdot (\pi x)' + 0 = a\pi \cos(\pi x)$

Теперь подставим значение $x = 2$ в выражение для производной:

$f'(2) = a\pi \cos(2\pi)$

Зная, что $\cos(2\pi) = 1$, получаем:

$f'(2) = a\pi \cdot 1 = a\pi$

Согласно условию задачи, $f'(2) = 2$. Приравниваем полученное выражение к этому значению:

$a\pi = 2$

Из этого уравнения выражаем $a$:

$a = \frac{2}{\pi}$

2. Использование условия $\int_{0}^{2} f(x) dx = 4$

Теперь вычислим определенный интеграл от функции $f(x)$ в пределах от 0 до 2.

$\int_{0}^{2} (a \sin(\pi x) + b) dx = \int_{0}^{2} a \sin(\pi x) dx + \int_{0}^{2} b dx$

Вычислим каждый интеграл по отдельности. Для первого интеграла:

$\int a \sin(\pi x) dx = a \left( -\frac{1}{\pi} \cos(\pi x) \right) = -\frac{a}{\pi} \cos(\pi x)$

Применяя формулу Ньютона-Лейбница:

$\int_{0}^{2} a \sin(\pi x) dx = \left[ -\frac{a}{\pi} \cos(\pi x) \right]_{0}^{2} = -\frac{a}{\pi} (\cos(2\pi) - \cos(0)) = -\frac{a}{\pi} (1 - 1) = 0$

Для второго интеграла:

$\int_{0}^{2} b dx = [bx]_{0}^{2} = b \cdot 2 - b \cdot 0 = 2b$

Суммируя результаты, получаем значение всего интеграла:

$\int_{0}^{2} f(x) dx = 0 + 2b = 2b$

Согласно условию, этот интеграл равен 4. Составляем уравнение:

$2b = 4$

Отсюда находим $b$:

$b = \frac{4}{2} = 2$

Таким образом, мы нашли значения для $a$ и $b$. Искомая пара чисел - это $a = \frac{2}{\pi}$ и $b=2$.

Ответ: $a = \frac{2}{\pi}$, $b=2$.