Номер 278, страница 313 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Глава 5. Задачи на повторение. Параграф 5. Производная, первообразная, интеграл и их применения - номер 278, страница 313.

Условие.

278. Найдите площадь фигуры, ограниченной параболой $y = x^2 - 4x + 5$ и касательными к ней, проведенными через ее точки с абсциссами $x = 1$ и $x = 3$.

Решение 1.

Решение 3.

Решение 5.

Для нахождения площади фигуры, ограниченной параболой $y = x^2 - 4x + 5$ и касательными к ней, проведенными через ее точки с абсциссами $x = 1$ и $x = 3$, необходимо сначала найти уравнения этих касательных.

Уравнение касательной к графику функции $f(x)$ в точке с абсциссой $x_0$ задается формулой: $y = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0)$.

Для данной параболы $f(x) = x^2 - 4x + 5$ найдем ее производную:
$f'(x) = (x^2 - 4x + 5)' = 2x - 4$.

Найдем уравнение первой касательной в точке, где $x_0 = 1$.
Сначала найдем ординату точки касания: $f(1) = 1^2 - 4(1) + 5 = 2$.
Затем найдем угловой коэффициент касательной (значение производной в этой точке): $f'(1) = 2(1) - 4 = -2$.
Подставим найденные значения в формулу уравнения касательной ($y_1$):
$y_1 = f(1) + f'(1)(x - 1) = 2 + (-2)(x - 1) = 2 - 2x + 2 = 4 - 2x$.

Теперь найдем уравнение второй касательной в точке, где $x_0 = 3$.
Ордината точки касания: $f(3) = 3^2 - 4(3) + 5 = 9 - 12 + 5 = 2$.
Угловой коэффициент: $f'(3) = 2(3) - 4 = 2$.
Уравнение второй касательной ($y_2$):
$y_2 = f(3) + f'(3)(x - 3) = 2 + 2(x - 3) = 2 + 2x - 6 = 2x - 4$.

Далее найдем точку пересечения касательных, приравняв их уравнения:
$y_1 = y_2$
$4 - 2x = 2x - 4$
$8 = 4x$
$x = 2$.
Абсцисса точки пересечения касательных равна 2. Эта точка делит искомую фигуру на две части.

Площадь искомой фигуры вычисляется как интеграл от разности функции параболы (которая является верхней границей фигуры) и функций касательных (которые являются нижней границей). Поскольку нижняя граница описывается разными уравнениями на отрезках $[1, 2]$ и $[2, 3]$, площадь нужно считать как сумму двух интегралов.

$S = \int_1^2 ( (x^2 - 4x + 5) - (4 - 2x) ) dx + \int_2^3 ( (x^2 - 4x + 5) - (2x - 4) ) dx$

Упростим подынтегральные выражения:
Для первого интеграла: $(x^2 - 4x + 5) - (4 - 2x) = x^2 - 2x + 1 = (x-1)^2$.
Для второго интеграла: $(x^2 - 4x + 5) - (2x - 4) = x^2 - 6x + 9 = (x-3)^2$.

Теперь вычислим каждый определенный интеграл:
$\int_1^2 (x-1)^2 dx = \left[ \frac{(x-1)^3}{3} \right]_1^2 = \frac{(2-1)^3}{3} - \frac{(1-1)^3}{3} = \frac{1^3}{3} - \frac{0^3}{3} = \frac{1}{3}$.
$\int_2^3 (x-3)^2 dx = \left[ \frac{(x-3)^3}{3} \right]_2^3 = \frac{(3-3)^3}{3} - \frac{(2-3)^3}{3} = \frac{0^3}{3} - \frac{(-1)^3}{3} = 0 - (-\frac{1}{3}) = \frac{1}{3}$.

Общая площадь фигуры равна сумме площадей двух частей:
$S = \frac{1}{3} + \frac{1}{3} = \frac{2}{3}$.

Ответ: $\frac{2}{3}$.