Номер 265, страница 311 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Глава 5. Задачи на повторение. Параграф 5. Производная, первообразная, интеграл и их применения - номер 265, страница 311.

Условие.

265. Докажите, что любая касательная к графику функции $f(x) = x^3 + \frac{1}{2}x^2 + x - 3$ пересекает ось абсцисс.

Решение 1.

Решение 5.

Для того чтобы доказать, что любая касательная к графику функции пересекает ось абсцисс, необходимо показать, что угловой коэффициент касательной в любой точке не равен нулю. Если угловой коэффициент не равен нулю, то прямая не параллельна оси абсцисс и, следовательно, пересекает ее.

Уравнение касательной к графику функции $y = f(x)$ в точке с абсциссой $x_0$ имеет вид:

$y = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0)$

Здесь $k = f'(x_0)$ — это угловой коэффициент касательной.

Дана функция $f(x) = x^3 + \frac{1}{2}x^2 + x - 3$.

1. Найдем ее производную:

$f'(x) = (x^3 + \frac{1}{2}x^2 + x - 3)' = 3x^2 + 2 \cdot \frac{1}{2}x + 1 - 0 = 3x^2 + x + 1$

2. Угловой коэффициент $k$ касательной в произвольной точке $x_0$ равен значению производной в этой точке:

$k = f'(x_0) = 3x_0^2 + x_0 + 1$

3. Касательная будет пересекать ось абсцисс, если она не параллельна ей, то есть если ее угловой коэффициент $k \neq 0$. Проверим, может ли $k$ быть равным нулю. Для этого приравняем выражение для углового коэффициента к нулю и проанализируем полученное уравнение:

$3x_0^2 + x_0 + 1 = 0$

Это квадратное уравнение относительно $x_0$. Найдем его дискриминант $D$ по формуле $D = b^2 - 4ac$:

$D = 1^2 - 4 \cdot 3 \cdot 1 = 1 - 12 = -11$

4. Поскольку дискриминант $D = -11 < 0$, данное квадратное уравнение не имеет действительных корней. Это означает, что не существует такого значения $x_0$, при котором производная $f'(x_0)$ обращается в ноль.

Кроме того, так как старший коэффициент квадратного трехчлена $3x_0^2 + x_0 + 1$ положителен ($a = 3 > 0$) и дискриминант отрицателен, то этот трехчлен принимает только положительные значения при любом действительном $x_0$. То есть, $k = f'(x_0) > 0$ для всех $x_0 \in \mathbb{R}$.

Таким образом, угловой коэффициент любой касательной к графику данной функции всегда положителен и не равен нулю. Следовательно, любая касательная не параллельна оси абсцисс и обязательно ее пересекает, что и требовалось доказать.

Ответ: Угловой коэффициент касательной к графику функции в точке $x$ равен $k = f'(x) = 3x^2 + x + 1$. Дискриминант квадратного трехчлена $3x^2 + x + 1$ отрицателен ($D = -11$), а старший коэффициент положителен, поэтому $f'(x) > 0$ при всех действительных значениях $x$. Так как угловой коэффициент касательной никогда не равен нулю, касательная не может быть параллельна оси абсцисс и, следовательно, всегда ее пересекает.