Номер 265, страница 311 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Авторы: Колмогоров А. Н., Абрамов А. М., Дудницын Ю. П.
Тип: Учебник
Издательство: Просвещение
Год издания: 2008 - 2025
Цвет обложки: зелёный, чёрный
ISBN: 978-5-09-019513-3
Рекомендовано Министерством образования и науки Российской Федерации
Алгебра и начала математического анализа
Популярные ГДЗ в 10 классе
Параграф 5. Производная, первообразная, интеграл и их применения. Глава 5. Задачи на повторение - номер 265, страница 311.
№265 (с. 311)
Условие. №265 (с. 311)
скриншот условия

265. Докажите, что любая касательная к графику функции $f(x) = x^3 + \frac{1}{2}x^2 + x - 3$ пересекает ось абсцисс.
Решение 1. №265 (с. 311)

Решение 5. №265 (с. 311)
Для того чтобы доказать, что любая касательная к графику функции пересекает ось абсцисс, необходимо показать, что угловой коэффициент касательной в любой точке не равен нулю. Если угловой коэффициент не равен нулю, то прямая не параллельна оси абсцисс и, следовательно, пересекает ее.
Уравнение касательной к графику функции $y = f(x)$ в точке с абсциссой $x_0$ имеет вид:
$y = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0)$
Здесь $k = f'(x_0)$ — это угловой коэффициент касательной.
Дана функция $f(x) = x^3 + \frac{1}{2}x^2 + x - 3$.
1. Найдем ее производную:
$f'(x) = (x^3 + \frac{1}{2}x^2 + x - 3)' = 3x^2 + 2 \cdot \frac{1}{2}x + 1 - 0 = 3x^2 + x + 1$
2. Угловой коэффициент $k$ касательной в произвольной точке $x_0$ равен значению производной в этой точке:
$k = f'(x_0) = 3x_0^2 + x_0 + 1$
3. Касательная будет пересекать ось абсцисс, если она не параллельна ей, то есть если ее угловой коэффициент $k \neq 0$. Проверим, может ли $k$ быть равным нулю. Для этого приравняем выражение для углового коэффициента к нулю и проанализируем полученное уравнение:
$3x_0^2 + x_0 + 1 = 0$
Это квадратное уравнение относительно $x_0$. Найдем его дискриминант $D$ по формуле $D = b^2 - 4ac$:
$D = 1^2 - 4 \cdot 3 \cdot 1 = 1 - 12 = -11$
4. Поскольку дискриминант $D = -11 < 0$, данное квадратное уравнение не имеет действительных корней. Это означает, что не существует такого значения $x_0$, при котором производная $f'(x_0)$ обращается в ноль.
Кроме того, так как старший коэффициент квадратного трехчлена $3x_0^2 + x_0 + 1$ положителен ($a = 3 > 0$) и дискриминант отрицателен, то этот трехчлен принимает только положительные значения при любом действительном $x_0$. То есть, $k = f'(x_0) > 0$ для всех $x_0 \in \mathbb{R}$.
Таким образом, угловой коэффициент любой касательной к графику данной функции всегда положителен и не равен нулю. Следовательно, любая касательная не параллельна оси абсцисс и обязательно ее пересекает, что и требовалось доказать.
Ответ: Угловой коэффициент касательной к графику функции в точке $x$ равен $k = f'(x) = 3x^2 + x + 1$. Дискриминант квадратного трехчлена $3x^2 + x + 1$ отрицателен ($D = -11$), а старший коэффициент положителен, поэтому $f'(x) > 0$ при всех действительных значениях $x$. Так как угловой коэффициент касательной никогда не равен нулю, касательная не может быть параллельна оси абсцисс и, следовательно, всегда ее пересекает.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz
ПрисоединитьсяМы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 10-11 класс, для упражнения номер 265 расположенного на странице 311 к учебнику 2008 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №265 (с. 311), авторов: Колмогоров (Андрей Николаевич), Абрамов (Александр Михайлович), Дудницын (Юрий Павлович), учебного пособия издательства Просвещение.