Номер 8, страница 315 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Глава 6. Задачи повышенной трудности. Параграф 1. Числа и преобразования выражений - номер 8, страница 315.

Условие.

8. a) $3^x = 1 + y^2;$

б) $2^x - 1 = y^2;$

в) $x^2 - y^2 = 91;$

г) $2^x + 1 = y^2.$

Решение 3.

Решение 5.

а) Решим уравнение $3^x = 1 + y^2$ в целых числах.

Перепишем уравнение в виде $3^x - 1 = y^2$. Поскольку $y^2$ не может быть отрицательным, $3^x$ должно быть не меньше 1, следовательно, $x \ge 0$. Мы ищем целочисленные решения $(x, y)$.

Рассмотрим случай $x = 0$. Уравнение принимает вид $3^0 - 1 = y^2$, то есть $1 - 1 = y^2$, откуда $y^2 = 0$ и $y = 0$. Таким образом, пара $(0, 0)$ является решением.

Теперь рассмотрим случаи, когда $x > 0$.

Проанализируем уравнение по модулю 4. Остаток от деления квадрата целого числа на 4 может быть только 0 или 1 ($y^2 \equiv 0 \pmod 4$ для четных $y$, и $y^2 \equiv 1 \pmod 4$ для нечетных $y$).

Рассмотрим левую часть $3^x - 1$. Так как $3 \equiv -1 \pmod 4$, то $3^x \equiv (-1)^x \pmod 4$.

• Если $x$ — нечетное число, то $3^x \equiv -1 \equiv 3 \pmod 4$. Тогда $y^2 = 3^x - 1 \equiv 3 - 1 = 2 \pmod 4$. Это невозможно, так как квадрат целого числа не может давать остаток 2 при делении на 4. Значит, у $x$ не может быть нечетных положительных значений.
• Если $x$ — четное число, пусть $x = 2k$ для некоторого целого $k \ge 1$. Уравнение принимает вид $3^{2k} - 1 = y^2$. Преобразуем левую часть: $(3^k)^2 - 1 = y^2$, что можно переписать как $(3^k)^2 - y^2 = 1$. Разложим на множители по формуле разности квадратов: $(3^k - y)(3^k + y) = 1$.

Поскольку $k$ и $y$ — целые числа, множители $(3^k - y)$ и $(3^k + y)$ также являются целыми. Произведение двух целых чисел равно 1 только в двух случаях:

1. $3^k - y = 1$ и $3^k + y = 1$. Сложив эти два уравнения, получаем $2 \cdot 3^k = 2$, откуда $3^k = 1$. Это возможно только при $k=0$. Тогда $x=2k=0$. Этот случай мы уже рассмотрели, он дает решение $(0,0)$.
2. $3^k - y = -1$ и $3^k + y = -1$. Сложив уравнения, получаем $2 \cdot 3^k = -2$, откуда $3^k = -1$. Это уравнение не имеет решений в целых числах $k$.

Таким образом, единственное целочисленное решение — это $(0, 0)$.

Ответ: $(0, 0)$.

б) Решим уравнение $2^x - 1 = y^2$ в целых числах.

Поскольку $y^2 \ge 0$, должно выполняться $2^x \ge 1$, что означает $x \ge 0$.

Рассмотрим несколько первых целочисленных значений $x$:

• При $x=0$: $y^2 = 2^0 - 1 = 1 - 1 = 0$, откуда $y=0$. Решение: $(0, 0)$.
• При $x=1$: $y^2 = 2^1 - 1 = 1$, откуда $y = \pm 1$. Решения: $(1, 1)$ и $(1, -1)$.
• При $x=2$: $y^2 = 2^2 - 1 = 3$. Нет целочисленных решений для $y$.

Рассмотрим случай $x \ge 2$. В этом случае $2^x$ делится на 4, то есть $2^x \equiv 0 \pmod 4$.

Тогда $y^2 = 2^x - 1 \equiv 0 - 1 \equiv 3 \pmod 4$.

Однако квадрат любого целого числа при делении на 4 может давать в остатке только 0 (для четных чисел) или 1 (для нечетных чисел). Остаток 3 невозможен. Следовательно, для $x \ge 2$ уравнение не имеет целочисленных решений.

Таким образом, решения существуют только при $x=0$ и $x=1$.

Ответ: $(0, 0), (1, 1), (1, -1)$.

в) Решим уравнение $x^2 - y^2 = 91$ в целых числах.

Используем формулу разности квадратов для левой части: $(x - y)(x + y) = 91$.

Поскольку $x$ и $y$ — целые числа, то $(x - y)$ и $(x + y)$ также являются целыми числами, которые в произведении дают 91. Найдем все пары целочисленных делителей числа 91. $91 = 7 \cdot 13$. Делители: $\pm 1, \pm 7, \pm 13, \pm 91$.

Пусть $x - y = A$ и $x + y = B$. Тогда $x = \frac{A+B}{2}$ и $y = \frac{B-A}{2}$. Чтобы $x$ и $y$ были целыми, сумма $A+B$ и разность $B-A$ должны быть четными, что эквивалентно тому, что $A$ и $B$ имеют одинаковую четность. Так как их произведение $AB = 91$ нечетно, то оба числа $A$ и $B$ должны быть нечетными. Все делители числа 91 нечетны, поэтому все пары делителей дадут целочисленные решения.

Рассмотрим все возможные системы:

1. $\begin{cases} x-y=1 \\ x+y=91 \end{cases} \implies 2x=92, 2y=90 \implies x=46, y=45$.
2. $\begin{cases} x-y=91 \\ x+y=1 \end{cases} \implies 2x=92, 2y=-90 \implies x=46, y=-45$.
3. $\begin{cases} x-y=-1 \\ x+y=-91 \end{cases} \implies 2x=-92, 2y=-90 \implies x=-46, y=-45$.
4. $\begin{cases} x-y=-91 \\ x+y=-1 \end{cases} \implies 2x=-92, 2y=90 \implies x=-46, y=45$.
5. $\begin{cases} x-y=7 \\ x+y=13 \end{cases} \implies 2x=20, 2y=6 \implies x=10, y=3$.
6. $\begin{cases} x-y=13 \\ x+y=7 \end{cases} \implies 2x=20, 2y=-6 \implies x=10, y=-3$.
7. $\begin{cases} x-y=-7 \\ x+y=-13 \end{cases} \implies 2x=-20, 2y=-6 \implies x=-10, y=-3$.
8. $\begin{cases} x-y=-13 \\ x+y=-7 \end{cases} \implies 2x=-20, 2y=6 \implies x=-10, y=3$.

Ответ: $(46, 45), (46, -45), (-46, -45), (-46, 45), (10, 3), (10, -3), (-10, -3), (-10, 3)$.

г) Решим уравнение $2^x + 1 = y^2$ в целых числах.

Перепишем уравнение как $y^2 - 1 = 2^x$. Разложим левую часть на множители: $(y - 1)(y + 1) = 2^x$.

Отсюда следует, что множители $(y - 1)$ и $(y + 1)$ должны быть степенями двойки. Пусть $y - 1 = 2^a$ и $y + 1 = 2^b$, где $a$ и $b$ — неотрицательные целые числа.

Так как $y+1 > y-1$, то $b > a$. Их произведение равно $2^a \cdot 2^b = 2^{a+b} = 2^x$, откуда $x = a+b$.

Найдем разность этих множителей: $(y+1) - (y-1) = 2$.

Подставим степенные выражения: $2^b - 2^a = 2$.

Вынесем за скобку $2^a$ (так как $a<b$): $2^a(2^{b-a} - 1) = 2^1$.

Так как $a$ — целое неотрицательное число, $2^a$ является целым делителем числа 2. Возможные значения для $2^a$: $1$ или $2$.

• Случай 1: $2^a = 1$. Это означает, что $a=0$. Тогда $1 \cdot (2^{b-0} - 1) = 2$, откуда $2^b = 3$. Это уравнение не имеет решений в целых числах $b$.
• Случай 2: $2^a = 2$. Это означает, что $a=1$. Тогда $2 \cdot (2^{b-1} - 1) = 2$, откуда $2^{b-1} - 1 = 1$, то есть $2^{b-1} = 2$. Отсюда $b-1=1$, и $b=2$.

Мы получили единственное решение для показателей: $a=1$ и $b=2$.

Теперь найдем $x$ и $y$.

$x = a+b = 1+2 = 3$.

Из $y-1=2^a$ получаем $y-1=2^1=2$, откуда $y=3$.

Так как в исходном уравнении $y$ стоит в квадрате, то если $y=3$ является решением, то и $y=-3$ также будет решением. Проверим: $2^3 + 1 = 9$ и $(-3)^2 = 9$. Это верно.

Ответ: $(3, 3), (3, -3)$.