Номер 16, страница 316 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Параграф 1. Числа и преобразования выражений. Глава 6. Задачи повышенной трудности - номер 16, страница 316.

Условие.

16. Докажите, что любое рациональное число может быть представлено в виде бесконечной периодической десятичной дроби.

Решение 5.

По определению, любое рациональное число можно представить в виде дроби $p/q$, где $p$ — целое число, а $q$ — натуральное число. Чтобы представить эту дробь в виде десятичной, необходимо выполнить деление числителя $p$ на знаменатель $q$ (например, "в столбик").

При выполнении этого деления мы последовательно находим цифры десятичного представления. На каждом шаге деления мы вычисляем остаток. Любой остаток $r$ от деления на $q$ должен быть целым числом и удовлетворять условию $0 \le r < q$. Это значит, что существует всего $q$ возможных различных остатков: $0, 1, 2, \dots, q-1$.

Рассмотрим два возможных исхода этого процесса:

1. На каком-то шаге деления остаток становится равным 0. В этом случае деление завершается, и мы получаем конечную десятичную дробь. Например, $1/8 = 0.125$. Любую конечную десятичную дробь можно записать в виде бесконечной периодической дроби, добавив в конец период, состоящий из нуля. Например, $0.125 = 0.125000\dots = 0.125(0)$. Таким образом, в этом случае рациональное число представлено в виде бесконечной периодической десятичной дроби.

2. Остаток никогда не становится равным 0. В этом случае все получаемые остатки принадлежат множеству $\{1, 2, \dots, q-1\}$. Поскольку количество возможных различных остатков в этом множестве конечно (их $q-1$), а процесс деления продолжается бесконечно, то, согласно принципу Дирихле, на каком-то шаге один из остатков обязательно повторится. Пусть на шаге $j$ мы получили остаток $r_j$, и на некотором последующем шаге $k$ ($k > j$) мы снова получили тот же остаток: $r_k = r_j$. Поскольку следующая цифра частного и следующий остаток определяются только текущим остатком, то вся последовательность цифр и остатков, начиная с этого момента, будет повторяться. То есть, цифры частного с $(j+1)$-й по $k$-ю образуют период. Например, $1/7 = 0.142857142857\dots = 0.(142857)$. В этом случае мы также получаем бесконечную периодическую десятичную дробь.

Поскольку эти два случая исчерпывают все возможности, мы доказали, что любое рациональное число может быть представлено в виде бесконечной периодической десятичной дроби.

Ответ: Доказательство основано на алгоритме деления в столбик. Количество возможных остатков при делении на знаменатель $q$ конечно. Поэтому в процессе деления последовательность остатков либо в какой-то момент достигает нуля (что дает конечную дробь, которую можно представить с периодом 0), либо один из ненулевых остатков неизбежно повторяется (что приводит к возникновению периода в десятичном представлении). Таким образом, любое рациональное число всегда представляется в виде бесконечной периодической десятичной дроби.