Номер 17, страница 316 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Авторы: Колмогоров А. Н., Абрамов А. М., Дудницын Ю. П.
Тип: Учебник
Издательство: Просвещение
Год издания: 2008 - 2025
Цвет обложки: зелёный, чёрный
ISBN: 978-5-09-019513-3
Рекомендовано Министерством образования и науки Российской Федерации
Алгебра и начала математического анализа
Популярные ГДЗ в 10 классе
Параграф 1. Числа и преобразования выражений. Глава 6. Задачи повышенной трудности - номер 17, страница 316.
№17 (с. 316)
Условие. №17 (с. 316)
скриншот условия

17. Докажите, что любая бесконечная периодическая десятичная дробь есть запись некоторого рационального числа.
Решение 5. №17 (с. 316)
Чтобы доказать, что любая бесконечная периодическая десятичная дробь является рациональным числом, необходимо показать, что ее можно представить в виде дроби $\frac{m}{n}$, где $m$ и $n$ — целые числа, и $n \neq 0$.
Рассмотрим произвольную бесконечную периодическую десятичную дробь. Ее можно записать в общем виде:$x = A,b_1b_2...b_k(c_1c_2...c_p)$, где $A$ — целая часть числа, $b_1b_2...b_k$ — последовательность из $k$ цифр непериодической части (предпериода), а $c_1c_2...c_p$ — последовательность из $p$ цифр периодической части (периода).
Для доказательства воспользуемся стандартным алгебраическим методом.
Шаг 1: Устранение непериодической части после запятой
Пусть $x$ — наша периодическая дробь. Умножим это число на $10^k$, чтобы сдвинуть запятую вправо на $k$ знаков, так, чтобы непериодическая часть оказалась в целой части числа. Получим: $10^k x = A b_1 b_2 ... b_k , (c_1 c_2 ... c_p)$. Обозначим целое число, стоящее слева от запятой, как $N_1$. Тогда: $10^k x = N_1 + 0,(c_1 c_2 ... c_p)$.
Шаг 2: Сдвиг на один период
Теперь умножим исходное число $x$ на $10^{k+p}$. Это сдвинет запятую вправо на $k+p$ знаков, то есть за первый период. Получим: $10^{k+p} x = A b_1 b_2 ... b_k c_1 c_2 ... c_p , (c_1 c_2 ... c_p)$. Обозначим новое целое число, стоящее слева от запятой, как $N_2$. Тогда: $10^{k+p} x = N_2 + 0,(c_1 c_2 ... c_p)$.
Шаг 3: Вычитание и решение уравнения
Теперь у нас есть два уравнения с одинаковой дробной частью. Вычтем из второго полученного уравнения первое:$10^{k+p} x - 10^k x = (N_2 + 0,(c_1 c_2 ... c_p)) - (N_1 + 0,(c_1 c_2 ... c_p))$.Бесконечные периодические части при вычитании взаимно уничтожатся:$x(10^{k+p} - 10^k) = N_2 - N_1$.
Отсюда можно выразить $x$:$x = \frac{N_2 - N_1}{10^{k+p} - 10^k}$.
Заключение
В полученном выражении для $x$:
1. Числитель $N_2 - N_1$ является разностью двух целых чисел, следовательно, он является целым числом.
2. Знаменатель $10^{k+p} - 10^k$ также является разностью двух целых чисел. Поскольку по определению периода $p \ge 1$, то $k+p > k$, и значит $10^{k+p} > 10^k$. Следовательно, знаменатель является натуральным (целым и положительным) числом, то есть не равен нулю.
Таким образом, любое число $x$, представленное в виде бесконечной периодической десятичной дроби, может быть выражено как отношение двух целых чисел, где знаменатель не равен нулю. По определению, такое число является рациональным. Что и требовалось доказать.
Пример
Преобразуем число $x = 2,3(45)$ в рациональную дробь.
Здесь $k=1$ (одна цифра '3' в предпериоде), $p=2$ (две цифры '45' в периоде).
Умножим на $10^k = 10^1 = 10$: $10x = 23,(45)$.
Умножим на $10^{k+p} = 10^{1+2} = 10^3 = 1000$: $1000x = 2345,(45)$.
Вычтем первое из второго:
$1000x - 10x = 2345,(45) - 23,(45)$
$990x = 2322$
$x = \frac{2322}{990} = \frac{1161}{495} = \frac{129}{55}$.
Число $x = 2,3(45)$ представлено в виде рациональной дроби $\frac{129}{55}$.
Ответ: Доказательство основано на том, что любую бесконечную периодическую дробь $x$ можно преобразовать в уравнение вида $x(10^{k+p} - 10^k) = N_2 - N_1$, где $k$ — длина предпериода, $p$ — длина периода, а $N_1$ и $N_2$ — целые числа, получаемые сдвигом десятичной запятой. Решение этого уравнения $x = \frac{N_2 - N_1}{10^{k+p} - 10^k}$ всегда представляет собой дробь, где числитель и знаменатель — целые числа, а знаменатель не равен нулю. Следовательно, любая такая дробь является рациональным числом.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz
ПрисоединитьсяМы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 10-11 класс, для упражнения номер 17 расположенного на странице 316 к учебнику 2008 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №17 (с. 316), авторов: Колмогоров (Андрей Николаевич), Абрамов (Александр Михайлович), Дудницын (Юрий Павлович), учебного пособия издательства Просвещение.