Номер 17, страница 316 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Алгебра, 10-11 класс Учебник, авторы: Колмогоров Андрей Николаевич, Абрамов Александр Михайлович, Дудницын Юрий Павлович, издательство Просвещение, Москва, 2008, зелёного цвета

Авторы: Колмогоров А. Н., Абрамов А. М., Дудницын Ю. П.

Тип: Учебник

Издательство: Просвещение

Год издания: 2008 - 2025

Цвет обложки: зелёный, чёрный

ISBN: 978-5-09-019513-3

Рекомендовано Министерством образования и науки Российской Федерации

Алгебра и начала математического анализа

Популярные ГДЗ в 10 классе

Параграф 1. Числа и преобразования выражений. Глава 6. Задачи повышенной трудности - номер 17, страница 316.

№17 (с. 316)
Условие. №17 (с. 316)
скриншот условия
Алгебра, 10-11 класс Учебник, авторы: Колмогоров Андрей Николаевич, Абрамов Александр Михайлович, Дудницын Юрий Павлович, издательство Просвещение, Москва, 2008, зелёного цвета, страница 316, номер 17, Условие

17. Докажите, что любая бесконечная периодическая десятичная дробь есть запись некоторого рационального числа.

Решение 5. №17 (с. 316)

Чтобы доказать, что любая бесконечная периодическая десятичная дробь является рациональным числом, необходимо показать, что ее можно представить в виде дроби $\frac{m}{n}$, где $m$ и $n$ — целые числа, и $n \neq 0$.

Рассмотрим произвольную бесконечную периодическую десятичную дробь. Ее можно записать в общем виде:$x = A,b_1b_2...b_k(c_1c_2...c_p)$, где $A$ — целая часть числа, $b_1b_2...b_k$ — последовательность из $k$ цифр непериодической части (предпериода), а $c_1c_2...c_p$ — последовательность из $p$ цифр периодической части (периода).

Для доказательства воспользуемся стандартным алгебраическим методом.

Шаг 1: Устранение непериодической части после запятой

Пусть $x$ — наша периодическая дробь. Умножим это число на $10^k$, чтобы сдвинуть запятую вправо на $k$ знаков, так, чтобы непериодическая часть оказалась в целой части числа. Получим: $10^k x = A b_1 b_2 ... b_k , (c_1 c_2 ... c_p)$. Обозначим целое число, стоящее слева от запятой, как $N_1$. Тогда: $10^k x = N_1 + 0,(c_1 c_2 ... c_p)$.

Шаг 2: Сдвиг на один период

Теперь умножим исходное число $x$ на $10^{k+p}$. Это сдвинет запятую вправо на $k+p$ знаков, то есть за первый период. Получим: $10^{k+p} x = A b_1 b_2 ... b_k c_1 c_2 ... c_p , (c_1 c_2 ... c_p)$. Обозначим новое целое число, стоящее слева от запятой, как $N_2$. Тогда: $10^{k+p} x = N_2 + 0,(c_1 c_2 ... c_p)$.

Шаг 3: Вычитание и решение уравнения

Теперь у нас есть два уравнения с одинаковой дробной частью. Вычтем из второго полученного уравнения первое:$10^{k+p} x - 10^k x = (N_2 + 0,(c_1 c_2 ... c_p)) - (N_1 + 0,(c_1 c_2 ... c_p))$.Бесконечные периодические части при вычитании взаимно уничтожатся:$x(10^{k+p} - 10^k) = N_2 - N_1$.

Отсюда можно выразить $x$:$x = \frac{N_2 - N_1}{10^{k+p} - 10^k}$.

Заключение

В полученном выражении для $x$:
1. Числитель $N_2 - N_1$ является разностью двух целых чисел, следовательно, он является целым числом.
2. Знаменатель $10^{k+p} - 10^k$ также является разностью двух целых чисел. Поскольку по определению периода $p \ge 1$, то $k+p > k$, и значит $10^{k+p} > 10^k$. Следовательно, знаменатель является натуральным (целым и положительным) числом, то есть не равен нулю.

Таким образом, любое число $x$, представленное в виде бесконечной периодической десятичной дроби, может быть выражено как отношение двух целых чисел, где знаменатель не равен нулю. По определению, такое число является рациональным. Что и требовалось доказать.

Пример

Преобразуем число $x = 2,3(45)$ в рациональную дробь.
Здесь $k=1$ (одна цифра '3' в предпериоде), $p=2$ (две цифры '45' в периоде).
Умножим на $10^k = 10^1 = 10$: $10x = 23,(45)$.
Умножим на $10^{k+p} = 10^{1+2} = 10^3 = 1000$: $1000x = 2345,(45)$.
Вычтем первое из второго:
$1000x - 10x = 2345,(45) - 23,(45)$
$990x = 2322$
$x = \frac{2322}{990} = \frac{1161}{495} = \frac{129}{55}$.
Число $x = 2,3(45)$ представлено в виде рациональной дроби $\frac{129}{55}$.

Ответ: Доказательство основано на том, что любую бесконечную периодическую дробь $x$ можно преобразовать в уравнение вида $x(10^{k+p} - 10^k) = N_2 - N_1$, где $k$ — длина предпериода, $p$ — длина периода, а $N_1$ и $N_2$ — целые числа, получаемые сдвигом десятичной запятой. Решение этого уравнения $x = \frac{N_2 - N_1}{10^{k+p} - 10^k}$ всегда представляет собой дробь, где числитель и знаменатель — целые числа, а знаменатель не равен нулю. Следовательно, любая такая дробь является рациональным числом.

Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.

Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz

Присоединиться

Мы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 10-11 класс, для упражнения номер 17 расположенного на странице 316 к учебнику 2008 года издания для учащихся школ и гимназий.

Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №17 (с. 316), авторов: Колмогоров (Андрей Николаевич), Абрамов (Александр Михайлович), Дудницын (Юрий Павлович), учебного пособия издательства Просвещение.