Номер 17, страница 316 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Глава 6. Задачи повышенной трудности. Параграф 1. Числа и преобразования выражений - номер 17, страница 316.

Условие.

17. Докажите, что любая бесконечная периодическая десятичная дробь есть запись некоторого рационального числа.

Решение 5.

Чтобы доказать, что любая бесконечная периодическая десятичная дробь является рациональным числом, необходимо показать, что ее можно представить в виде дроби $\frac{m}{n}$, где $m$ и $n$ — целые числа, и $n \neq 0$.

Рассмотрим произвольную бесконечную периодическую десятичную дробь. Ее можно записать в общем виде:$x = A,b_1b_2...b_k(c_1c_2...c_p)$, где $A$ — целая часть числа, $b_1b_2...b_k$ — последовательность из $k$ цифр непериодической части (предпериода), а $c_1c_2...c_p$ — последовательность из $p$ цифр периодической части (периода).

Для доказательства воспользуемся стандартным алгебраическим методом.

Шаг 1: Устранение непериодической части после запятой

Пусть $x$ — наша периодическая дробь. Умножим это число на $10^k$, чтобы сдвинуть запятую вправо на $k$ знаков, так, чтобы непериодическая часть оказалась в целой части числа. Получим: $10^k x = A b_1 b_2 ... b_k , (c_1 c_2 ... c_p)$. Обозначим целое число, стоящее слева от запятой, как $N_1$. Тогда: $10^k x = N_1 + 0,(c_1 c_2 ... c_p)$.

Шаг 2: Сдвиг на один период

Теперь умножим исходное число $x$ на $10^{k+p}$. Это сдвинет запятую вправо на $k+p$ знаков, то есть за первый период. Получим: $10^{k+p} x = A b_1 b_2 ... b_k c_1 c_2 ... c_p , (c_1 c_2 ... c_p)$. Обозначим новое целое число, стоящее слева от запятой, как $N_2$. Тогда: $10^{k+p} x = N_2 + 0,(c_1 c_2 ... c_p)$.

Шаг 3: Вычитание и решение уравнения

Теперь у нас есть два уравнения с одинаковой дробной частью. Вычтем из второго полученного уравнения первое:$10^{k+p} x - 10^k x = (N_2 + 0,(c_1 c_2 ... c_p)) - (N_1 + 0,(c_1 c_2 ... c_p))$.Бесконечные периодические части при вычитании взаимно уничтожатся:$x(10^{k+p} - 10^k) = N_2 - N_1$.

Отсюда можно выразить $x$:$x = \frac{N_2 - N_1}{10^{k+p} - 10^k}$.

Заключение

В полученном выражении для $x$:
1. Числитель $N_2 - N_1$ является разностью двух целых чисел, следовательно, он является целым числом.
2. Знаменатель $10^{k+p} - 10^k$ также является разностью двух целых чисел. Поскольку по определению периода $p \ge 1$, то $k+p > k$, и значит $10^{k+p} > 10^k$. Следовательно, знаменатель является натуральным (целым и положительным) числом, то есть не равен нулю.

Таким образом, любое число $x$, представленное в виде бесконечной периодической десятичной дроби, может быть выражено как отношение двух целых чисел, где знаменатель не равен нулю. По определению, такое число является рациональным. Что и требовалось доказать.

Пример

Преобразуем число $x = 2,3(45)$ в рациональную дробь.
Здесь $k=1$ (одна цифра '3' в предпериоде), $p=2$ (две цифры '45' в периоде).
Умножим на $10^k = 10^1 = 10$: $10x = 23,(45)$.
Умножим на $10^{k+p} = 10^{1+2} = 10^3 = 1000$: $1000x = 2345,(45)$.
Вычтем первое из второго:
$1000x - 10x = 2345,(45) - 23,(45)$
$990x = 2322$
$x = \frac{2322}{990} = \frac{1161}{495} = \frac{129}{55}$.
Число $x = 2,3(45)$ представлено в виде рациональной дроби $\frac{129}{55}$.

Ответ: Доказательство основано на том, что любую бесконечную периодическую дробь $x$ можно преобразовать в уравнение вида $x(10^{k+p} - 10^k) = N_2 - N_1$, где $k$ — длина предпериода, $p$ — длина периода, а $N_1$ и $N_2$ — целые числа, получаемые сдвигом десятичной запятой. Решение этого уравнения $x = \frac{N_2 - N_1}{10^{k+p} - 10^k}$ всегда представляет собой дробь, где числитель и знаменатель — целые числа, а знаменатель не равен нулю. Следовательно, любая такая дробь является рациональным числом.