Номер 22, страница 316 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Глава 6. Задачи повышенной трудности. Параграф 1. Числа и преобразования выражений - номер 22, страница 316.

Условие.

22. a) $k\sqrt{2} + p\sqrt{3}$, где $k$ и $p$ — целые числа, отличные от нуля;

б) 3,272772777277772... (после первой двойки стоит одна семерка, после второй — две, после третьей — три и т. д., после $n$-й двойки — $n$ семерок и т. д.).

Решение 5.

a) Чтобы определить, является ли число $k\sqrt{2} + p\sqrt{3}$ рациональным или иррациональным, где $k$ и $p$ — целые числа, отличные от нуля, мы воспользуемся методом доказательства от противного.

Предположим, что данное число является рациональным. Обозначим его через $r$. То есть, $r = k\sqrt{2} + p\sqrt{3}$, где $r \in \mathbb{Q}$.

Перенесем одно из слагаемых в левую часть уравнения:

$r - k\sqrt{2} = p\sqrt{3}$

Теперь возведем обе части уравнения в квадрат, чтобы избавиться от одного из корней:

$(r - k\sqrt{2})^2 = (p\sqrt{3})^2$

$r^2 - 2rk\sqrt{2} + (k\sqrt{2})^2 = p^2 \cdot 3$

$r^2 - 2rk\sqrt{2} + 2k^2 = 3p^2$

Выразим из этого уравнения член, содержащий $\sqrt{2}$:

$2rk\sqrt{2} = r^2 + 2k^2 - 3p^2$

Теперь выразим $\sqrt{2}$. Поскольку $k \neq 0$ по условию, и можно показать, что $r \neq 0$ (если бы $r=0$, то $k\sqrt{2} = -p\sqrt{3}$, откуда $\sqrt{2/3} = -p/k$, что является противоречием, так как иррациональное число не может быть равно рациональному), то мы можем разделить на $2rk$:

$\sqrt{2} = \frac{r^2 + 2k^2 - 3p^2}{2rk}$

Рассмотрим правую часть этого равенства. Поскольку $r$ — рациональное число, а $k$ и $p$ — целые числа, то $r^2$, $k^2$ и $p^2$ также являются рациональными числами. Сумма, разность, произведение и частное (при ненулевом делителе) рациональных чисел всегда является рациональным числом. Следовательно, вся правая часть $\frac{r^2 + 2k^2 - 3p^2}{2rk}$ является рациональным числом.

Таким образом, мы получили равенство, в котором слева стоит иррациональное число $\sqrt{2}$, а справа — рациональное. Это является противоречием, так как иррациональное число не может быть равно рациональному.

Противоречие возникло из-за нашего первоначального предположения о том, что число $k\sqrt{2} + p\sqrt{3}$ рационально. Следовательно, это предположение неверно, и данное число является иррациональным.

Ответ: число является иррациональным.

б) Данное число $3,272772777277772...$ представляет собой бесконечную десятичную дробь. Чтобы определить, является ли оно рациональным или иррациональным, вспомним определение этих типов чисел.

Рациональное число — это число, которое можно представить в виде дроби $\frac{m}{n}$, где $m$ — целое число, а $n$ — натуральное. Десятичное представление рационального числа является либо конечным, либо бесконечным периодическим.

Иррациональное число — это число, которое не является рациональным. Его десятичное представление является бесконечным и непериодическим.

Рассмотрим последовательность цифр после запятой в данном числе: $272772777277772...$

Структура этой последовательности определяется следующим правилом: после первой цифры «2» стоит одна цифра «7»; после второй «2» — две «7»; после третьей «2» — три «7», и так далее. После $n$-ой цифры «2» стоит $n$ цифр «7».

Предположим, что эта десятичная дробь является периодической. Это означает, что должна существовать некоторая последовательность цифр (период) длиной $L$, которая бесконечно повторяется, начиная с некоторой позиции.

Однако в нашей последовательности количество идущих подряд цифр «7» постоянно увеличивается: $1, 2, 3, 4, \dots$. Это означает, что для любой предполагаемой длины периода $L$ мы всегда можем найти в последовательности блок из идущих подряд семерок, длина которого больше чем $L$. Например, мы можем найти блок, состоящий из $L+1$ семерки, который следует за $(L+1)$-й двойкой.

Если бы дробь была периодической с периодом длины $L$, то любой фрагмент десятичной записи длиной более $L$ (в периодической части) должен содержать в себе информацию обо всем периоде. Если мы возьмем блок из $L+1$ семерок, то это означало бы, что сам период должен состоять только из семерок. Но если бы период состоял только из семерок, то, начиная с некоторого места, в десятичной записи числа были бы только семерки. Это противоречит тому, что в записи числа бесконечно много раз встречается цифра «2».

Таким образом, последовательность цифр не может быть периодической. Поскольку она также является бесконечной, данное число представляет собой бесконечную непериодическую десятичную дробь.

Следовательно, это число является иррациональным.

Ответ: число является иррациональным.