Номер 80, страница 323 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Параграф 2. Элементарные функции и их свойства. Глава 6. Задачи повышенной трудности - номер 80, страница 323.

Условие.

80. Докажите, что график любой дробно-линейной функции $y = \frac{ax+b}{cx+d}$ ($c \ne 0$ и $ad - bc \ne 0$) может быть получен из графика $y = \frac{k}{x}$ параллельным переносом. Укажите коэффициент $k$.

Решение 5.

Для того чтобы доказать, что график дробно-линейной функции $y = \frac{ax+b}{cx+d}$ можно получить из графика функции $y = \frac{k}{x}$ с помощью параллельного переноса, необходимо преобразовать исходное выражение к виду $y = \frac{k'}{x-x_0} + y_0$. Этот вид описывает график, полученный параллельным переносом графика функции $y = \frac{k'}{x}$ на вектор с координатами $(x_0, y_0)$.

Выполним алгебраическое преобразование, выделив целую часть дроби. Для этого представим числитель $ax+b$ через знаменатель $cx+d$. По условию $c \neq 0$, поэтому мы можем выполнить следующие действия:

$y = \frac{ax+b}{cx+d} = \frac{\frac{a}{c}(cx) + b}{cx+d}$

Добавим и вычтем в числителе слагаемое $\frac{ad}{c}$, чтобы можно было сгруппировать члены:

$y = \frac{\frac{a}{c}(cx+d) - \frac{ad}{c} + b}{cx+d}$

Теперь разделим числитель почленно на знаменатель:

$y = \frac{\frac{a}{c}(cx+d)}{cx+d} + \frac{b - \frac{ad}{c}}{cx+d} = \frac{a}{c} + \frac{\frac{bc-ad}{c}}{cx+d}$

Вынесем константу $c$ из знаменателя второй дроби:

$y = \frac{a}{c} + \frac{\frac{bc-ad}{c}}{c(x+\frac{d}{c})} = \frac{a}{c} + \frac{bc-ad}{c^2(x+\frac{d}{c})}$

Полученное уравнение можно переписать в виде:

$y - \frac{a}{c} = \frac{\frac{bc-ad}{c^2}}{x - (-\frac{d}{c})}$

Это уравнение имеет вид $Y = \frac{k}{X}$, где $Y = y - y_0$, $X = x - x_0$, и:

• $k = \frac{bc-ad}{c^2}$
• $x_0 = -\frac{d}{c}$ (сдвиг по оси Ox)
• $y_0 = \frac{a}{c}$ (сдвиг по оси Oy)

Таким образом, мы доказали, что график любой дробно-линейной функции $y = \frac{ax+b}{cx+d}$ (при $c \neq 0$ и $ad-bc \neq 0$) может быть получен из графика функции $y=\frac{k}{x}$ параллельным переносом на вектор $(-\frac{d}{c}, \frac{a}{c})$. Условие $ad-bc \neq 0$ гарантирует, что $k \neq 0$, и график действительно является гиперболой.

Ответ: $k = \frac{bc-ad}{c^2}$.