Номер 81, страница 323 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Параграф 2. Элементарные функции и их свойства. Глава 6. Задачи повышенной трудности - номер 81, страница 323.

Условие.

81. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции (на R):

a) $f(x) = 2 \cos 2x + \sin^2 x;$

б) $f(x) = \frac{1}{\sqrt{2x^2 - 4x + 3}};$

в) $f(x) = 2 \sin^2 x - \cos 2x;$

г) $f(x) = \cos^2 x + \cos x + 3.$

Решение 3.

Решение 5.

а) Для нахождения наибольшего и наименьшего значений функции $f(x) = 2 \cos 2x + \sin^2 x$ преобразуем ее, используя тригонометрическую формулу понижения степени $\sin^2 x = \frac{1 - \cos 2x}{2}$.

$f(x) = 2 \cos 2x + \frac{1 - \cos 2x}{2} = 2 \cos 2x + \frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cos 2x = \frac{3}{2} \cos 2x + \frac{1}{2}$.

Сделаем замену $t = \cos 2x$. Область значений косинуса — отрезок $[-1, 1]$, поэтому $t \in [-1, 1]$.

Задача сводится к нахождению наибольшего и наименьшего значений линейной функции $g(t) = \frac{3}{2} t + \frac{1}{2}$ на отрезке $[-1, 1]$.

Так как угловой коэффициент $\frac{3}{2} > 0$, функция $g(t)$ является возрастающей. Следовательно, свое наименьшее значение она принимает на левом конце отрезка, а наибольшее — на правом.

Наименьшее значение функции:

$f_{min} = g(-1) = \frac{3}{2}(-1) + \frac{1}{2} = -\frac{3}{2} + \frac{1}{2} = -1$.

Наибольшее значение функции:

$f_{max} = g(1) = \frac{3}{2}(1) + \frac{1}{2} = \frac{3}{2} + \frac{1}{2} = 2$.

Ответ: наибольшее значение функции равно 2, наименьшее значение равно -1.

б) Рассмотрим функцию $f(x) = \frac{1}{\sqrt{2x^2 - 4x + 3}}$.

Найдем область значений подкоренного выражения $g(x) = 2x^2 - 4x + 3$. Это квадратичная функция, график которой — парабола с ветвями, направленными вверх (так как коэффициент при $x^2$ равен 2, что больше 0).

Вершина параболы находится в точке $x_v = -\frac{-4}{2 \cdot 2} = 1$.

Значение функции в вершине: $g(1) = 2(1)^2 - 4(1) + 3 = 2 - 4 + 3 = 1$.

Поскольку это парабола с ветвями вверх, ее наименьшее значение равно 1. Таким образом, $2x^2 - 4x + 3 \ge 1$ для всех $x \in R$. Это также означает, что подкоренное выражение всегда положительно, и область определения функции $f(x)$ — все действительные числа $R$.

Функция $f(x)$ достигает своего наибольшего значения, когда знаменатель $\sqrt{2x^2 - 4x + 3}$ принимает наименьшее значение. Наименьшее значение знаменателя равно $\sqrt{1} = 1$ (при $x=1$).

Следовательно, наибольшее значение функции $f(x)$ равно:

$f_{max} = \frac{1}{\sqrt{1}} = 1$.

Для нахождения наименьшего значения заметим, что при $x \to \pm\infty$, выражение $2x^2 - 4x + 3 \to +\infty$. Тогда знаменатель $\sqrt{2x^2 - 4x + 3} \to +\infty$, а сама функция $f(x) \to 0$. Однако, поскольку подкоренное выражение всегда положительно, $f(x)$ всегда больше нуля. Функция стремится к нулю, но никогда его не достигает.

Таким образом, у функции нет наименьшего значения.

Ответ: наибольшее значение функции равно 1, наименьшего значения не существует.

в) Для функции $f(x) = 2 \sin^2 x - \cos 2x$ используем формулу понижения степени $\sin^2 x = \frac{1 - \cos 2x}{2}$.

$f(x) = 2 \cdot \frac{1 - \cos 2x}{2} - \cos 2x = 1 - \cos 2x - \cos 2x = 1 - 2 \cos 2x$.

Сделаем замену $t = \cos 2x$. Так как $-1 \le \cos 2x \le 1$, то $t \in [-1, 1]$.

Рассмотрим функцию $g(t) = 1 - 2t$ на отрезке $[-1, 1]$. Это линейная убывающая функция, так как ее угловой коэффициент -2 отрицателен.

Следовательно, наибольшее значение достигается на левом конце отрезка ($t=-1$), а наименьшее — на правом ($t=1$).

Наибольшее значение:

$f_{max} = g(-1) = 1 - 2(-1) = 1 + 2 = 3$.

Наименьшее значение:

$f_{min} = g(1) = 1 - 2(1) = 1 - 2 = -1$.

Ответ: наибольшее значение функции равно 3, наименьшее значение равно -1.

г) Рассмотрим функцию $f(x) = \cos^2 x + \cos x + 3$.

Сделаем замену $t = \cos x$. Область значений косинуса — отрезок $[-1, 1]$, поэтому $t \in [-1, 1]$.

Задача сводится к нахождению наибольшего и наименьшего значений квадратичной функции $g(t) = t^2 + t + 3$ на отрезке $[-1, 1]$.

График этой функции — парабола с ветвями вверх (коэффициент при $t^2$ равен 1, что больше 0). Координата вершины параболы по оси абсцисс: $t_v = -\frac{1}{2 \cdot 1} = -\frac{1}{2}$.

Поскольку вершина $t_v = -\frac{1}{2}$ принадлежит отрезку $[-1, 1]$, наименьшее значение функции на этом отрезке достигается в вершине.

$f_{min} = g(-\frac{1}{2}) = (-\frac{1}{2})^2 + (-\frac{1}{2}) + 3 = \frac{1}{4} - \frac{2}{4} + \frac{12}{4} = \frac{11}{4}$.

Наибольшее значение на отрезке достигается на одном из его концов. Сравним значения функции в точках $t=-1$ и $t=1$.

$g(-1) = (-1)^2 + (-1) + 3 = 1 - 1 + 3 = 3$.

$g(1) = 1^2 + 1 + 3 = 5$.

Сравнивая значения, получаем, что $f_{max} = 5$.

Ответ: наибольшее значение функции равно 5, наименьшее значение равно $\frac{11}{4}$.