Номер 86, страница 324 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Глава 6. Задачи повышенной трудности. Параграф 2. Элементарные функции и их свойства - номер 86, страница 324.

Условие.

Постройте график функции (86–89).

86. a) $y = \left|\{x\} - \frac{1}{2}\right|$;

б) $y = 2^{\log_2 x}$;

в) $y = 2^{|\log_2 x|+1}$;

г) $y = \log_x \frac{x}{2}$.

Решение 3.

Решение 5.

а) $y = |\{x\} - \frac{1}{2}|$

Для построения графика этой функции, рассмотрим ее поэтапно.

1. Функция $\{x\}$ — это дробная часть числа $x$. Она определяется как $\{x\} = x - \lfloor x \rfloor$, где $\lfloor x \rfloor$ — целая часть числа $x$ (наибольшее целое число, не превосходящее $x$).
Основные свойства функции $\{x\}$:

• Область значений: $[0, 1)$.
• Периодичность: функция периодическая с периодом $T=1$.

2. Рассмотрим функцию на основном периоде, интервале $[0, 1)$. На этом интервале $\{x\} = x$. Таким образом, функция принимает вид $y = |x - \frac{1}{2}|$.

3. График функции $y = |x - \frac{1}{2}|$ на интервале $[0, 1)$ состоит из двух частей:

• При $0 \le x < \frac{1}{2}$, выражение $x - \frac{1}{2}$ отрицательно, поэтому $|x - \frac{1}{2}| = -(x - \frac{1}{2}) = -x + \frac{1}{2}$. Это отрезок прямой, соединяющий точки $(0, \frac{1}{2})$ и $(\frac{1}{2}, 0)$.
• При $\frac{1}{2} \le x < 1$, выражение $x - \frac{1}{2}$ неотрицательно, поэтому $|x - \frac{1}{2}| = x - \frac{1}{2}$. Это отрезок прямой, соединяющий точки $(\frac{1}{2}, 0)$ и $(1, \frac{1}{2})$.

На интервале $[0, 1)$ мы получаем "галочку" (V-образную кривую) с вершиной в точке $(\frac{1}{2}, 0)$ и максимальным значением $\frac{1}{2}$ на краях интервала.

4. Так как функция $\{x\}$ периодична с периодом 1, то и вся функция $y = |\{x\} - \frac{1}{2}|$ также периодична с периодом 1. Это означает, что построенная "галочка" будет повторяться на каждом интервале $[n, n+1)$, где $n$ — любое целое число.

Ответ: График функции представляет собой периодическую "пилообразную" волну, состоящую из повторяющихся V-образных сегментов. На каждом интервале $[n, n+1)$ (где $n \in \mathbb{Z}$) график имеет минимум, равный 0, в точке $x = n + 0.5$ и максимум, равный 0.5, в точках $x=n$.

б) $y = 2^{\log_2 x}$

1. Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Выражение под знаком логарифма должно быть строго положительным, поэтому $x > 0$.

2. Воспользуемся основным логарифмическим тождеством: $a^{\log_a b} = b$. Применяя его к нашей функции, получаем:$y = 2^{\log_2 x} = x$.

3. Таким образом, нам нужно построить график функции $y = x$ с учетом ОДЗ, то есть при $x > 0$.

Ответ: График функции — это луч, выходящий из начала координат под углом 45 градусов к положительной полуоси $Ox$. Точка $(0, 0)$ не принадлежит графику (изображается как выколотая точка).

в) $y = 2^{|\log_2 x| + 1}$

1. ОДЗ функции определяется условием $x > 0$.

2. Упростим выражение, используя свойство степеней $a^{m+n} = a^m \cdot a^n$:$y = 2^{|\log_2 x|} \cdot 2^1 = 2 \cdot 2^{|\log_2 x|}$.

3. Раскроем модуль, рассмотрев два случая:

• Случай 1: $\log_2 x \ge 0$. Это неравенство выполняется при $x \ge 1$. В этом случае $|\log_2 x| = \log_2 x$, и функция принимает вид: $y = 2 \cdot 2^{\log_2 x} = 2 \cdot x = 2x$. Итак, при $x \ge 1$ график функции совпадает с графиком прямой $y=2x$. Это луч, начинающийся в точке $(1, 2 \cdot 1) = (1, 2)$.
• Случай 2: $\log_2 x < 0$. Это неравенство выполняется при $0 < x < 1$. В этом случае $|\log_2 x| = -\log_2 x = \log_2 (x^{-1}) = \log_2(\frac{1}{x})$. Функция принимает вид: $y = 2 \cdot 2^{-\log_2 x} = 2 \cdot 2^{\log_2(1/x)} = 2 \cdot \frac{1}{x} = \frac{2}{x}$. Итак, при $0 < x < 1$ график функции совпадает с графиком гиперболы $y = \frac{2}{x}$.

4. Объединим результаты. График состоит из двух частей, которые "склеиваются" в точке $x=1$. При $x \to 1^-$, $y = \frac{2}{x} \to 2$. При $x = 1$, $y = 2x = 2$. Таким образом, точка $(1, 2)$ является общей для обеих частей графика.

Ответ: График состоит из двух частей:

• при $0 < x < 1$ — ветвь гиперболы $y=\frac{2}{x}$, проходящая через точку $(1, 2)$ и уходящая в бесконечность при $x \to 0^+$;
• при $x \ge 1$ — луч $y=2x$, выходящий из точки $(1, 2)$.

г) $y = \log_x \frac{x}{2}$

1. Найдем ОДЗ. Основание логарифма $x$ должно быть положительным и не равным единице ($x > 0$, $x \neq 1$). Аргумент логарифма $\frac{x}{2}$ должен быть положительным, что также дает $x > 0$. Итоговая ОДЗ: $x \in (0, 1) \cup (1, \infty)$.

2. Упростим выражение, используя свойство логарифма частного $\log_a \frac{b}{c} = \log_a b - \log_a c$:$y = \log_x x - \log_x 2$.Поскольку $\log_x x = 1$ для всех $x$ из ОДЗ, получаем:$y = 1 - \log_x 2$.

3. Для анализа и построения графика удобно перейти к одному основанию, например, 2, используя формулу $\log_a b = \frac{1}{\log_b a}$:$y = 1 - \frac{1}{\log_2 x}$.

4. Проанализируем поведение функции:

• При $x \to 0^+$, $\log_2 x \to -\infty$, $\frac{1}{\log_2 x} \to 0$, следовательно $y \to 1$. График приближается к точке $(0, 1)$, но не достигает ее (выколотая точка).
• При $x \to 1^-$, $\log_2 x \to 0^-$, $\frac{1}{\log_2 x} \to -\infty$, следовательно $y = 1 - (-\infty) \to +\infty$.
• При $x \to 1^+$, $\log_2 x \to 0^+$, $\frac{1}{\log_2 x} \to +\infty$, следовательно $y = 1 - (+\infty) \to -\infty$.
• Таким образом, прямая $x=1$ является вертикальной асимптотой.
• При $x \to +\infty$, $\log_2 x \to +\infty$, $\frac{1}{\log_2 x} \to 0$, следовательно $y \to 1$. Прямая $y=1$ является горизонтальной асимптотой.

5. Найдем точку пересечения с осью $Ox$ (корень функции), решив уравнение $y=0$:$1 - \log_x 2 = 0 \implies \log_x 2 = 1 \implies x = 2$.Точка пересечения с осью абсцисс — $(2, 0)$.

Ответ: График функции состоит из двух ветвей:

• На интервале $(0, 1)$ кривая начинается от выколотой точки $(0, 1)$ и уходит на $+\infty$ при приближении к вертикальной асимптоте $x=1$ слева.
• На интервале $(1, \infty)$ кривая выходит из $-\infty$ при приближении к вертикальной асимптоте $x=1$ справа, пересекает ось абсцисс в точке $(2, 0)$ и асимптотически приближается к горизонтальной асимптоте $y=1$ при $x \to +\infty$.