Страница 326 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

99. Числа $x_1$ и $x_2$ — корни уравнения $x^2 + px + q = 0$. Выразите через $p$ и $q$:

а) $x_1^2 + x_2^2$;

б) $x_1^3 + x_2^3$;

в) $\frac{1}{x_1^2} + \frac{1}{x_2^2}$;

г) $x_1^4 + x_2^4$.

Для решения задачи воспользуемся теоремой Виета для приведенного квадратного уравнения $x^2 + px + q = 0$. Согласно этой теореме, сумма и произведение корней $x_1$ и $x_2$ связаны с коэффициентами $p$ и $q$ следующими соотношениями:

$x_1 + x_2 = -p$

$x_1 x_2 = q$

Эти два соотношения являются основными (элементарными симметрическими многочленами), и мы будем их использовать для выражения всех требуемых симметрических многочленов от корней.

а) $x_1^2+x_2^2$

Чтобы найти сумму квадратов корней, воспользуемся известным тождеством, которое получается из квадрата суммы:

$(x_1 + x_2)^2 = x_1^2 + 2x_1x_2 + x_2^2$

Отсюда выразим $x_1^2 + x_2^2$:

$x_1^2 + x_2^2 = (x_1 + x_2)^2 - 2x_1x_2$

Теперь подставим значения из теоремы Виета:

$x_1^2 + x_2^2 = (-p)^2 - 2q = p^2 - 2q$

Ответ: $p^2 - 2q$

б) $x_1^3+x_2^3$

Для нахождения суммы кубов корней воспользуемся тождеством, связанным с кубом суммы:

$(x_1 + x_2)^3 = x_1^3 + 3x_1^2x_2 + 3x_1x_2^2 + x_2^3 = (x_1^3 + x_2^3) + 3x_1x_2(x_1 + x_2)$

Выразим из него искомую сумму $x_1^3 + x_2^3$:

$x_1^3 + x_2^3 = (x_1 + x_2)^3 - 3x_1x_2(x_1 + x_2)$

Подставим значения $-p$ и $q$:

$x_1^3 + x_2^3 = (-p)^3 - 3q(-p) = -p^3 + 3pq$

Ответ: $3pq - p^3$

в) $\frac{1}{x_1^2}+\frac{1}{x_2^2}$

Сначала приведем дроби к общему знаменателю. Общий знаменатель равен $x_1^2x_2^2 = (x_1x_2)^2$.

$\frac{1}{x_1^2} + \frac{1}{x_2^2} = \frac{x_2^2 + x_1^2}{x_1^2x_2^2} = \frac{x_1^2 + x_2^2}{(x_1x_2)^2}$

В числителе получилось выражение, которое мы нашли в пункте а), а в знаменателе — квадрат произведения корней. Подставим известные нам выражения:

$x_1^2 + x_2^2 = p^2 - 2q$

$(x_1x_2)^2 = q^2$

Следовательно (при условии, что $q \neq 0$, иначе выражение не определено):

$\frac{1}{x_1^2} + \frac{1}{x_2^2} = \frac{p^2 - 2q}{q^2}$

Ответ: $\frac{p^2 - 2q}{q^2}$

г) $x_1^4+x_2^4$

Чтобы найти сумму четвертых степеней, возведем в квадрат выражение для суммы квадратов, найденное в пункте а):

$(x_1^2 + x_2^2)^2 = (x_1^2)^2 + 2x_1^2x_2^2 + (x_2^2)^2 = x_1^4 + x_2^4 + 2(x_1x_2)^2$

Выразим отсюда $x_1^4 + x_2^4$:

$x_1^4 + x_2^4 = (x_1^2 + x_2^2)^2 - 2(x_1x_2)^2$

Подставим уже известные выражения для $x_1^2 + x_2^2$ и $x_1x_2$:

$x_1^4 + x_2^4 = (p^2 - 2q)^2 - 2q^2$

Раскроем скобки и упростим полученное выражение:

$x_1^4 + x_2^4 = ((p^2)^2 - 2 \cdot p^2 \cdot 2q + (2q)^2) - 2q^2 = (p^4 - 4p^2q + 4q^2) - 2q^2 = p^4 - 4p^2q + 2q^2$

Ответ: $p^4 - 4p^2q + 2q^2$

100. а) Сумма квадратов корней уравнения $x^2 - 4x + p = 0$ равна 16. Найдите $p$.

б) При каком значении $a$ сумма корней уравнения $x^2 + 2a(x - 1) + 1 = 0$ равна сумме квадратов этих корней?

а)

Дано квадратное уравнение $x^2 - 4x + p = 0$. Пусть $x_1$ и $x_2$ — его корни.

Согласно теореме Виета для приведенного квадратного уравнения:

• Сумма корней: $x_1 + x_2 = -(-4) = 4$
• Произведение корней: $x_1 \cdot x_2 = p$

По условию задачи, сумма квадратов корней равна 16: $x_1^2 + x_2^2 = 16$.

Выразим сумму квадратов корней через их сумму и произведение, используя известное тождество: $x_1^2 + x_2^2 = (x_1 + x_2)^2 - 2x_1x_2$

Подставим известные значения в это тождество: $16 = (4)^2 - 2 \cdot p$ $16 = 16 - 2p$

Отсюда находим $p$: $2p = 16 - 16$ $2p = 0$ $p = 0$

При $p=0$ уравнение принимает вид $x^2 - 4x = 0$. Его дискриминант $D = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 0 = 16 > 0$, что подтверждает наличие двух действительных корней.

Ответ: $p = 0$.

б)

Дано уравнение $x^2 + 2a(x - 1) + 1 = 0$. Для применения теоремы Виета приведем его к стандартному виду $Ax^2 + Bx + C = 0$. $x^2 + 2ax - 2a + 1 = 0$ $x^2 + (2a)x + (1 - 2a) = 0$

Пусть $x_1$ и $x_2$ — корни этого уравнения. По теореме Виета:

• Сумма корней: $x_1 + x_2 = -2a$
• Произведение корней: $x_1 \cdot x_2 = 1 - 2a$

По условию задачи, сумма корней равна сумме квадратов этих корней: $x_1 + x_2 = x_1^2 + x_2^2$

Как и в предыдущем пункте, воспользуемся тождеством $x_1^2 + x_2^2 = (x_1 + x_2)^2 - 2x_1x_2$. Подставим его в условие: $x_1 + x_2 = (x_1 + x_2)^2 - 2x_1x_2$

Теперь подставим выражения для суммы и произведения корней, выраженные через параметр $a$: $-2a = (-2a)^2 - 2(1 - 2a)$ $-2a = 4a^2 - 2 + 4a$

Получили квадратное уравнение относительно $a$. Решим его: $4a^2 + 6a - 2 = 0$

Разделим все уравнение на 2 для упрощения: $2a^2 + 3a - 1 = 0$

Найдем корни этого уравнения с помощью формулы корней квадратного уравнения. Дискриминант $D_a$: $D_a = 3^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-1) = 9 + 8 = 17$

Корни для $a$: $a = \frac{-3 \pm \sqrt{17}}{2 \cdot 2} = \frac{-3 \pm \sqrt{17}}{4}$

Ответ: $a = \frac{-3 - \sqrt{17}}{4}, a = \frac{-3 + \sqrt{17}}{4}$.

101. Уравнение $ax^2 + bx + c = 0$ не имеет действительных корней, причем $a + b + c < 0$. Определите знак $c$.

Рассмотрим квадратичную функцию $f(x) = ax^2 + bx + c$.

Из условия задачи известно, что уравнение $ax^2 + bx + c = 0$ не имеет действительных корней. Это означает, что дискриминант уравнения $D = b^2 - 4ac$ отрицателен. С точки зрения графика функции $y = f(x)$, это означает, что парабола не пересекает ось абсцисс ($Ox$). Следовательно, вся парабола целиком расположена либо выше оси $Ox$ (и тогда $f(x) > 0$ для всех $x$), либо ниже оси $Ox$ (и тогда $f(x) < 0$ для всех $x$). Таким образом, функция $f(x)$ сохраняет постоянный знак на всей числовой оси.

Второе условие задачи гласит, что $a + b + c < 0$. Заметим, что выражение $a + b + c$ представляет собой значение функции $f(x)$ при $x=1$:

$f(1) = a \cdot 1^2 + b \cdot 1 + c = a + b + c$.

Таким образом, условие $a + b + c < 0$ эквивалентно тому, что $f(1) < 0$.

Поскольку мы установили, что функция $f(x)$ сохраняет знак для всех значений $x$, и при этом мы знаем, что в одной точке ($x=1$) ее значение отрицательно, мы можем заключить, что функция отрицательна для всех действительных $x$. То есть, $f(x) < 0$ для любого $x \in \mathbb{R}$.

Чтобы определить знак коэффициента $c$, рассмотрим значение функции в точке $x=0$:

$f(0) = a \cdot 0^2 + b \cdot 0 + c = c$.

Так как $f(x) < 0$ для всех $x$, это утверждение верно и для $x=0$. Следовательно, $f(0) < 0$, что означает $c < 0$.

Ответ: $c < 0$.

102. Докажите, что если уравнения $ax^2 + bx + c = 0$ и $bx^2 + cx + a = 0$ $(a \neq 0)$ имеют общий корень, то и уравнение $cx^2 + ax + b = 0$ имеет тот же корень.

Пусть $x_0$ — это общий корень уравнений $ax^2 + bx + c = 0$ и $bx^2 + cx + a = 0$. Это означает, что $x_0$ удовлетворяет обоим уравнениям, то есть выполняются следующие равенства:

1) $ax_0^2 + bx_0 + c = 0$

2) $bx_0^2 + cx_0 + a = 0$

Нам нужно доказать, что $x_0$ также является корнем уравнения $cx^2 + ax + b = 0$, то есть что $cx_0^2 + ax_0 + b = 0$.

Сначала покажем, что $x_0 \neq 0$. Предположим, что $x_0 = 0$. Подставив это значение в первое уравнение, получим $a \cdot 0^2 + b \cdot 0 + c = 0$, откуда следует, что $c = 0$. Подставив $x_0 = 0$ во второе уравнение, получим $b \cdot 0^2 + c \cdot 0 + a = 0$, откуда следует, что $a = 0$. Но это противоречит условию задачи, где указано, что $a \neq 0$. Следовательно, наше предположение неверно, и $x_0 \neq 0$.

Теперь, используя равенства (1) и (2), найдем свойство корня $x_0$. Умножим равенство (1) на $x_0$:$x_0(ax_0^2 + bx_0 + c) = 0 \implies ax_0^3 + bx_0^2 + cx_0 = 0$

Из равенства (2) мы знаем, что $bx_0^2 + cx_0 = -a$. Подставим это выражение в преобразованное уравнение (1):$ax_0^3 + (-a) = 0 \implies ax_0^3 - a = 0$

Вынесем $a$ за скобки:$a(x_0^3 - 1) = 0$

Поскольку по условию $a \neq 0$, то должно выполняться равенство:$x_0^3 - 1 = 0 \implies x_0^3 = 1$

Теперь докажем, что $x_0$ является корнем третьего уравнения. Для этого подставим $x_0$ в левую часть уравнения $cx^2 + ax + b = 0$ и покажем, что она равна нулю.Рассмотрим выражение $cx_0^2 + ax_0 + b$. Умножим его на $x_0$ (мы уже установили, что $x_0 \neq 0$):$x_0(cx_0^2 + ax_0 + b) = cx_0^3 + ax_0^2 + bx_0$

Используем найденное свойство $x_0^3 = 1$:$c(1) + ax_0^2 + bx_0 = ax_0^2 + bx_0 + c$

Но из самого первого равенства (1) мы знаем, что $ax_0^2 + bx_0 + c = 0$.Следовательно, мы получаем:$x_0(cx_0^2 + ax_0 + b) = 0$

Так как $x_0 \neq 0$, мы можем разделить обе части этого равенства на $x_0$, получая:$cx_0^2 + ax_0 + b = 0$

Это и означает, что $x_0$ является корнем уравнения $cx^2 + ax + b = 0$. Утверждение доказано.

Ответ: Утверждение доказано. Если уравнения $ax^2 + bx + c = 0$ и $bx^2 + cx + a = 0$ имеют общий корень $x_0$, то, как показано выше, $x_0^3=1$ (при $a \neq 0$). Из этого свойства следует, что $x_0$ также удовлетворяет уравнению $cx^2 + ax + b = 0$, то есть является его корнем.

103. Докажите, что:

а) если $x_0 = \frac{p}{q}$ — несократимая дробь, являющаяся корнем уравнения $a_0x^n + a_1x^{n-1} + \ldots + a_n = 0$ с целыми коэффициентами, то $p$ — делитель $a_n$, а $q$ — делитель $a_0$;

б) остаток от деления многочлена $P(x)$ на одночлен $(x - a)$ равен значению этого многочлена в точке $a$ (в частности, если $a$ — корень многочлена $P(x)$, то этот многочлен делится на $(x - a)$ без остатка).

а) Пусть дано уравнение $P(x) = a_0x^n + a_1x^{n-1} + ... + a_n = 0$, где все коэффициенты $a_0, a_1, ..., a_n$ — целые числа. Пусть $x_0 = \frac{p}{q}$ — несократимая дробь, являющаяся корнем этого уравнения. Это означает, что $p$ и $q$ — взаимно простые целые числа ($НОД(p, q) = 1$), $q \neq 0$, и $P(\frac{p}{q}) = 0$.
Подставим $x_0 = \frac{p}{q}$ в уравнение:
$a_0\left(\frac{p}{q}\right)^n + a_1\left(\frac{p}{q}\right)^{n-1} + ... + a_{n-1}\frac{p}{q} + a_n = 0$
Умножим обе части уравнения на $q^n$, чтобы избавиться от знаменателей:
$a_0p^n + a_1p^{n-1}q + a_2p^{n-2}q^2 + ... + a_{n-1}pq^{n-1} + a_nq^n = 0$

1. Докажем, что $p$ — делитель $a_n$.
Выразим из последнего равенства член $a_nq^n$:
$a_nq^n = -(a_0p^n + a_1p^{n-1}q + ... + a_{n-1}pq^{n-1})$
Вынесем $p$ за скобки в правой части:
$a_nq^n = -p(a_0p^{n-1} + a_1p^{n-2}q + ... + a_{n-1}q^{n-1})$
Левая часть этого равенства, $a_nq^n$, делится на $p$, так как правая часть очевидно делится на $p$.
По условию, дробь $\frac{p}{q}$ несократимая, значит, числа $p$ и $q$ взаимно просты. Следовательно, числа $p$ и $q^n$ также взаимно просты.
Так как $p$ делит произведение $a_n q^n$ и взаимно просто со множителем $q^n$, то по лемме Евклида $p$ должно делить другой множитель, $a_n$.

2. Докажем, что $q$ — делитель $a_0$.
Вернёмся к уравнению $a_0p^n + a_1p^{n-1}q + ... + a_nq^n = 0$. Теперь выразим член $a_0p^n$:
$a_0p^n = -(a_1p^{n-1}q + a_2p^{n-2}q^2 + ... + a_nq^n)$
Вынесем $q$ за скобки в правой части:
$a_0p^n = -q(a_1p^{n-1} + a_2p^{n-2}q + ... + a_nq^{n-1})$
Левая часть этого равенства, $a_0p^n$, делится на $q$.
Так как $q$ и $p$ взаимно просты, то $q$ и $p^n$ также взаимно просты.
Поскольку $q$ делит произведение $a_0 p^n$ и взаимно просто со множителем $p^n$, то по лемме Евклида $q$ должно делить другой множитель, $a_0$.
Таким образом, утверждение полностью доказано.

Ответ: Доказано, что если несократимая дробь $x_0 = \frac{p}{q}$ является корнем многочлена с целыми коэффициентами, то числитель $p$ является делителем свободного члена $a_n$, а знаменатель $q$ является делителем старшего коэффициента $a_0$.

б) Это утверждение известно как теорема Безу (или теорема об остатке) и ее следствие.
Пусть $P(x)$ — некоторый многочлен. Согласно алгоритму деления многочленов, при делении $P(x)$ на двучлен $(x - a)$ мы получим некоторый многочлен-частное $Q(x)$ и остаток $R(x)$. Это можно записать в виде тождества:
$P(x) = (x-a)Q(x) + R(x)$
Степень остатка $R(x)$ должна быть строго меньше степени делителя $(x-a)$. Так как степень $(x-a)$ равна 1, степень остатка должна быть 0. Это означает, что остаток $R(x)$ является постоянной величиной (числом), не зависящей от $x$. Обозначим его просто $R$.
$P(x) = (x-a)Q(x) + R$
Данное равенство является тождеством, то есть оно верно для любого значения $x$. Подставим в него значение $x = a$:
$P(a) = (a-a)Q(a) + R$
$P(a) = 0 \cdot Q(a) + R$
$P(a) = R$
Таким образом, мы доказали, что остаток $R$ от деления многочлена $P(x)$ на двучлен $(x - a)$ равен значению этого многочлена в точке $a$.

Частный случай: если $a$ — корень многочлена $P(x)$.
По определению, если $a$ — корень $P(x)$, то $P(a) = 0$.
Из доказанного выше следует, что остаток $R = P(a)$.
Следовательно, если $P(a) = 0$, то и остаток $R = 0$.
Если остаток от деления равен нулю, это означает, что многочлен $P(x)$ делится на $(x - a)$ без остатка (нацело), что и требовалось доказать.

Ответ: Доказано, что остаток от деления многочлена $P(x)$ на $(x - a)$ равен $P(a)$, и как следствие, если $a$ — корень $P(x)$, то $P(x)$ делится на $(x - a)$ без остатка.

104. Пользуясь результатом задачи 103, решите уравнение:

а) $2x^3 - x^2 + x + 1 = 0;$

б) $10x^3 - 3x^2 - 2x + 1 = 0;$

в) $x^4 + x^3 + x^2 - x - 2 = 0;$

г) $2x^4 + 7x^3 + 6x^2 + 7x - 6 = 0.$

а) $2x^3 - x^2 + x + 1 = 0$

Для решения этого кубического уравнения воспользуемся результатом задачи 103, которым, по-видимому, является теорема о рациональных корнях многочлена с целыми коэффициентами. Согласно этой теореме, если уравнение имеет рациональный корень вида $x = p/q$ (где $p$ и $q$ — взаимно простые целые числа), то числитель $p$ должен быть делителем свободного члена, а знаменатель $q$ — делителем старшего коэффициента.

В данном уравнении свободный член равен 1, а старший коэффициент — 2.

Делители свободного члена (1): $p \in \{ \pm 1 \}$.

Делители старшего коэффициента (2): $q \in \{ \pm 1, \pm 2 \}$.

Возможные рациональные корни: $x \in \{ \pm 1, \pm \frac{1}{2} \}$.

Проверим эти значения подстановкой в уравнение:

При $x = 1$: $2(1)^3 - (1)^2 + 1 + 1 = 2 - 1 + 1 + 1 = 3 \neq 0$.

При $x = -1$: $2(-1)^3 - (-1)^2 + (-1) + 1 = -2 - 1 - 1 + 1 = -3 \neq 0$.

При $x = \frac{1}{2}$: $2(\frac{1}{2})^3 - (\frac{1}{2})^2 + \frac{1}{2} + 1 = 2(\frac{1}{8}) - \frac{1}{4} + \frac{1}{2} + 1 = \frac{1}{4} - \frac{1}{4} + \frac{1}{2} + 1 = \frac{3}{2} \neq 0$.

При $x = -\frac{1}{2}$: $2(-\frac{1}{2})^3 - (-\frac{1}{2})^2 + (-\frac{1}{2}) + 1 = 2(-\frac{1}{8}) - \frac{1}{4} - \frac{1}{2} + 1 = -\frac{1}{4} - \frac{1}{4} - \frac{1}{2} + 1 = -\frac{1}{2} - \frac{1}{2} + 1 = 0$.

Таким образом, $x = -1/2$ является корнем уравнения. Это означает, что многочлен $2x^3 - x^2 + x + 1$ делится на $(x + 1/2)$ или, что удобнее, на $(2x+1)$. Выполним деление многочлена в столбик:

$(2x^3 - x^2 + x + 1) \div (2x+1) = x^2 - x + 1$.

Теперь исходное уравнение можно записать в виде:

$(2x+1)(x^2 - x + 1) = 0$.

Произведение равно нулю, когда один из множителей равен нулю. Отсюда получаем:

1) $2x+1 = 0 \Rightarrow x = -1/2$.

2) $x^2 - x + 1 = 0$.

Для решения квадратного уравнения найдем дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4(1)(1) = 1 - 4 = -3$.

Поскольку $D < 0$, это квадратное уравнение не имеет действительных корней.

Следовательно, исходное уравнение имеет единственный действительный корень.

Ответ: $x = -1/2$.

б) $10x^3 - 3x^2 - 2x + 1 = 0$

Применим тот же метод. Свободный член равен 1, старший коэффициент — 10.

Делители свободного члена (1): $p \in \{ \pm 1 \}$.

Делители старшего коэффициента (10): $q \in \{ \pm 1, \pm 2, \pm 5, \pm 10 \}$.

Возможные рациональные корни: $x \in \{ \pm 1, \pm \frac{1}{2}, \pm \frac{1}{5}, \pm \frac{1}{10} \}$.

Проверим некоторые из них:

При $x = -1/2$: $10(-\frac{1}{2})^3 - 3(-\frac{1}{2})^2 - 2(-\frac{1}{2}) + 1 = 10(-\frac{1}{8}) - 3(\frac{1}{4}) + 1 + 1 = -\frac{5}{4} - \frac{3}{4} + 2 = -\frac{8}{4} + 2 = -2 + 2 = 0$.

Мы нашли корень $x = -1/2$. Разделим многочлен $10x^3 - 3x^2 - 2x + 1$ на $(2x+1)$:

$(10x^3 - 3x^2 - 2x + 1) \div (2x+1) = 5x^2 - 4x + 1$.

Уравнение принимает вид:

$(2x+1)(5x^2 - 4x + 1) = 0$.

Приравниваем каждый множитель к нулю:

1) $2x+1 = 0 \Rightarrow x = -1/2$.

2) $5x^2 - 4x + 1 = 0$.

Дискриминант этого квадратного уравнения: $D = (-4)^2 - 4(5)(1) = 16 - 20 = -4$.

Так как $D < 0$, действительных корней нет.

Таким образом, у исходного уравнения только один действительный корень.

Ответ: $x = -1/2$.

в) $x^4 + x^3 + x^2 - x - 2 = 0$

Это уравнение четвертой степени. Ищем рациональные корни. Свободный член равен -2, старший коэффициент — 1.

Делители свободного члена (-2): $p \in \{ \pm 1, \pm 2 \}$.

Делители старшего коэффициента (1): $q \in \{ \pm 1 \}$.

Возможные рациональные корни: $x \in \{ \pm 1, \pm 2 \}$.

Проверим их:

При $x = 1$: $1^4 + 1^3 + 1^2 - 1 - 2 = 1 + 1 + 1 - 1 - 2 = 0$. Корень найден: $x = 1$.

При $x = -1$: $(-1)^4 + (-1)^3 + (-1)^2 - (-1) - 2 = 1 - 1 + 1 + 1 - 2 = 0$. Корень найден: $x = -1$.

Так как $x=1$ и $x=-1$ являются корнями, многочлен делится на произведение $(x-1)(x+1) = x^2-1$. Выполним деление:

$(x^4 + x^3 + x^2 - x - 2) \div (x^2 - 1) = x^2 + x + 2$.

Уравнение можно переписать в виде:

$(x-1)(x+1)(x^2 + x + 2) = 0$.

Решениями являются корни каждого множителя:

1) $x-1 = 0 \Rightarrow x = 1$.

2) $x+1 = 0 \Rightarrow x = -1$.

3) $x^2 + x + 2 = 0$.

Дискриминант: $D = 1^2 - 4(1)(2) = 1 - 8 = -7$.

Так как $D < 0$, у этого квадратного трехчлена нет действительных корней.

Следовательно, исходное уравнение имеет два действительных корня.

Ответ: $x_1 = 1$, $x_2 = -1$.

г) $2x^4 + 7x^3 + 6x^2 + 7x - 6 = 0$

Ищем рациональные корни уравнения. Свободный член равен -6, старший коэффициент — 2.

Делители свободного члена (-6): $p \in \{ \pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 6 \}$.

Делители старшего коэффициента (2): $q \in \{ \pm 1, \pm 2 \}$.

Возможные рациональные корни: $x \in \{ \pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 6, \pm \frac{1}{2}, \pm \frac{3}{2} \}$.

Проверим некоторые из них:

При $x = 1/2$: $2(\frac{1}{2})^4 + 7(\frac{1}{2})^3 + 6(\frac{1}{2})^2 + 7(\frac{1}{2}) - 6 = 2(\frac{1}{16}) + 7(\frac{1}{8}) + 6(\frac{1}{4}) + \frac{7}{2} - 6 = \frac{1}{8} + \frac{7}{8} + \frac{12}{8} + \frac{28}{8} - \frac{48}{8} = \frac{1+7+12+28-48}{8} = \frac{0}{8} = 0$. Корень найден: $x = 1/2$.

При $x = -3$: $2(-3)^4 + 7(-3)^3 + 6(-3)^2 + 7(-3) - 6 = 2(81) + 7(-27) + 6(9) - 21 - 6 = 162 - 189 + 54 - 21 - 6 = 216 - 216 = 0$. Корень найден: $x = -3$.

Поскольку $x = 1/2$ и $x = -3$ — корни, многочлен делится на $(x - 1/2)$ и $(x+3)$, а значит и на их произведение $(2x-1)(x+3) = 2x^2 + 6x - x - 3 = 2x^2 + 5x - 3$.

Выполним деление многочленов:

$(2x^4 + 7x^3 + 6x^2 + 7x - 6) \div (2x^2 + 5x - 3) = x^2 + x + 2$.

Таким образом, уравнение можно записать в виде:

$(2x-1)(x+3)(x^2 + x + 2) = 0$.

Корни уравнения:

1) $2x-1 = 0 \Rightarrow x = 1/2$.

2) $x+3 = 0 \Rightarrow x = -3$.

3) $x^2 + x + 2 = 0$.

Дискриминант: $D = 1^2 - 4(1)(2) = 1 - 8 = -7$.

Так как $D < 0$, действительных корней нет.

Исходное уравнение имеет два действительных корня.

Ответ: $x_1 = 1/2$, $x_2 = -3$.

Решите уравнения (105—114).

105.

а) $(x + 1)(x + 2)(x + 4)(x + 5) = 40;$

б) $(x - 1)^5 + (x + 3)^5 = 242 (x + 1);$

в) $(x + 1)(x + 2)(x + 3)(x + 4) = 100;$

г) $x^4 + (x + 2)^4 = 17.$

Исходное уравнение: $(x + 1)(x + 2)(x + 4)(x + 5) = 40$.

Сгруппируем множители так, чтобы суммы свободных членов в парах были равны: $1+5 = 6$ и $2+4=6$.

$[(x + 1)(x + 5)][(x + 2)(x + 4)] = 40$

Раскроем скобки в каждой группе:

$(x^2 + 5x + x + 5)(x^2 + 4x + 2x + 8) = 40$

$(x^2 + 6x + 5)(x^2 + 6x + 8) = 40$

Сделаем замену переменной. Пусть $y = x^2 + 6x$. Уравнение примет вид:

$(y + 5)(y + 8) = 40$

Раскроем скобки и решим полученное квадратное уравнение:

$y^2 + 8y + 5y + 40 = 40$

$y^2 + 13y = 0$

$y(y + 13) = 0$

Отсюда получаем два возможных значения для $y$: $y_1 = 0$ и $y_2 = -13$.

Теперь выполним обратную замену для каждого значения $y$.

1. Если $y = 0$, то $x^2 + 6x = 0$.

$x(x + 6) = 0$. Корни: $x_1 = 0$, $x_2 = -6$.

2. Если $y = -13$, то $x^2 + 6x = -13$.

$x^2 + 6x + 13 = 0$.

Найдем дискриминант: $D = b^2 - 4ac = 6^2 - 4 \cdot 1 \cdot 13 = 36 - 52 = -16$.

Так как дискриминант отрицательный, уравнение имеет два комплексных корня:

$x = \frac{-6 \pm \sqrt{-16}}{2} = \frac{-6 \pm 4i}{2} = -3 \pm 2i$.

Корни: $x_3 = -3 + 2i$, $x_4 = -3 - 2i$.

Ответ: $0, -6, -3 \pm 2i$.

Исходное уравнение: $(x - 1)^5 + (x + 3)^5 = 242(x + 1)$.

Для упрощения выражения сделаем замену переменной. Центр симметрии находится в точке $x+1$. Пусть $y = x + 1$. Тогда $x = y - 1$.

Подставим новую переменную в уравнение:

$x - 1 = (y - 1) - 1 = y - 2$

$x + 3 = (y - 1) + 3 = y + 2$

Уравнение примет вид: $(y - 2)^5 + (y + 2)^5 = 242y$.

Используем формулу бинома Ньютона. Для $(a+b)^5$ биномиальные коэффициенты равны 1, 5, 10, 10, 5, 1.

$(y + 2)^5 = y^5 + 5y^4(2) + 10y^3(2^2) + 10y^2(2^3) + 5y(2^4) + 2^5 = y^5 + 10y^4 + 40y^3 + 80y^2 + 80y + 32$.

$(y - 2)^5 = y^5 - 10y^4 + 40y^3 - 80y^2 + 80y - 32$.

Сложив эти два выражения, получим (члены с нечетными степенями двойки сокращаются):

$(y - 2)^5 + (y + 2)^5 = 2y^5 + 80y^3 + 160y$.

Подставим это обратно в уравнение:

$2y^5 + 80y^3 + 160y = 242y$

$2y^5 + 80y^3 - 82y = 0$

Разделим на 2 и вынесем $y$ за скобку:

$y^5 + 40y^3 - 41y = 0$

$y(y^4 + 40y^2 - 41) = 0$

Отсюда $y_1 = 0$ или $y^4 + 40y^2 - 41 = 0$.

Решим биквадратное уравнение $y^4 + 40y^2 - 41 = 0$. Сделаем замену $z = y^2$.

$z^2 + 40z - 41 = 0$.

По теореме Виета корни этого уравнения: $z_1 = 1$ и $z_2 = -41$.

Возвращаемся к $y$:

1. $y^2 = 1 \implies y_{2,3} = \pm 1$.

2. $y^2 = -41 \implies y_{4,5} = \pm \sqrt{-41} = \pm i\sqrt{41}$.

Мы получили пять значений для $y$: $0, 1, -1, i\sqrt{41}, -i\sqrt{41}$.

Теперь выполним обратную замену $x = y - 1$:

$x_1 = 0 - 1 = -1$.

$x_2 = 1 - 1 = 0$.

$x_3 = -1 - 1 = -2$.

$x_{4,5} = -1 \pm i\sqrt{41}$.

Ответ: $0, -1, -2, -1 \pm i\sqrt{41}$.

Исходное уравнение: $(x + 1)(x + 2)(x + 3)(x + 4) = 100$.

Сгруппируем множители попарно так, чтобы суммы свободных членов были равны: $1+4=5$ и $2+3=5$.

$[(x + 1)(x + 4)][(x + 2)(x + 3)] = 100$

Раскроем скобки в каждой группе:

$(x^2 + 5x + 4)(x^2 + 5x + 6) = 100$

Сделаем замену. Пусть $y = x^2 + 5x$.

$(y + 4)(y + 6) = 100$

$y^2 + 10y + 24 = 100$

$y^2 + 10y - 76 = 0$

Решим это квадратное уравнение относительно $y$ по формуле корней:

$y = \frac{-10 \pm \sqrt{10^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-76)}}{2} = \frac{-10 \pm \sqrt{100 + 304}}{2} = \frac{-10 \pm \sqrt{404}}{2}$

$y = \frac{-10 \pm 2\sqrt{101}}{2} = -5 \pm \sqrt{101}$

Получаем два значения для $y$: $y_1 = -5 + \sqrt{101}$ и $y_2 = -5 - \sqrt{101}$.

Выполним обратную замену.

1. $x^2 + 5x = -5 + \sqrt{101} \implies x^2 + 5x + (5 - \sqrt{101}) = 0$.

Дискриминант $D_1 = 5^2 - 4(5 - \sqrt{101}) = 25 - 20 + 4\sqrt{101} = 5 + 4\sqrt{101}$.

Корни: $x_{1,2} = \frac{-5 \pm \sqrt{5 + 4\sqrt{101}}}{2}$.

2. $x^2 + 5x = -5 - \sqrt{101} \implies x^2 + 5x + (5 + \sqrt{101}) = 0$.

Дискриминант $D_2 = 5^2 - 4(5 + \sqrt{101}) = 25 - 20 - 4\sqrt{101} = 5 - 4\sqrt{101}$.

Так как $(4\sqrt{101})^2 = 1616$ и $5^2 = 25$, то $4\sqrt{101} > 5$, следовательно $D_2 < 0$.

Комплексные корни: $x_{3,4} = \frac{-5 \pm \sqrt{5 - 4\sqrt{101}}}{2} = \frac{-5 \pm i\sqrt{4\sqrt{101} - 5}}{2}$.

Ответ: $\frac{-5 \pm \sqrt{5 + 4\sqrt{101}}}{2}, \frac{-5 \pm i\sqrt{4\sqrt{101} - 5}}{2}$.

Исходное уравнение: $x^4 + (x + 2)^4 = 17$.

Это уравнение является симметричным относительно точки $x = -1$. Сделаем замену $y = x + 1$, тогда $x = y - 1$ и $x + 2 = y + 1$.

Уравнение примет вид:

$(y - 1)^4 + (y + 1)^4 = 17$

Раскроем скобки с помощью бинома Ньютона. Коэффициенты для 4-й степени: 1, 4, 6, 4, 1.

$(y + 1)^4 = y^4 + 4y^3 + 6y^2 + 4y + 1$

$(y - 1)^4 = y^4 - 4y^3 + 6y^2 - 4y + 1$

Сложим эти выражения:

$(y - 1)^4 + (y + 1)^4 = 2y^4 + 12y^2 + 2$

Подставим в уравнение:

$2y^4 + 12y^2 + 2 = 17$

$2y^4 + 12y^2 - 15 = 0$

Это биквадратное уравнение. Сделаем замену $z = y^2$.

$2z^2 + 12z - 15 = 0$

Решим квадратное уравнение для $z$:

$z = \frac{-12 \pm \sqrt{12^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-15)}}{2 \cdot 2} = \frac{-12 \pm \sqrt{144 + 120}}{4} = \frac{-12 \pm \sqrt{264}}{4}$

$z = \frac{-12 \pm 2\sqrt{66}}{4} = \frac{-6 \pm \sqrt{66}}{2}$

Получаем два значения для $z = y^2$.

1. $y^2 = \frac{-6 + \sqrt{66}}{2}$. Так как $\sqrt{66} > \sqrt{36} = 6$, это значение положительно. Отсюда получаем два действительных корня для $y$:

$y = \pm \sqrt{\frac{\sqrt{66} - 6}{2}}$

2. $y^2 = \frac{-6 - \sqrt{66}}{2}$. Это значение отрицательно. Отсюда получаем два комплексных корня для $y$:

$y = \pm i\sqrt{\frac{6 + \sqrt{66}}{2}}$

Теперь вернемся к переменной $x = y - 1$.

Из первого случая получаем действительные корни:

$x_{1,2} = -1 \pm \sqrt{\frac{\sqrt{66} - 6}{2}}$

Из второго случая получаем комплексные корни:

$x_{3,4} = -1 \pm i\sqrt{\frac{6 + \sqrt{66}}{2}}$

Ответ: $-1 \pm \sqrt{\frac{\sqrt{66} - 6}{2}}, -1 \pm i\sqrt{\frac{6 + \sqrt{66}}{2}}$.

106. а) $ \frac{1}{x(x+2)} - \frac{1}{(x+1)^2} = \frac{1}{12} $;

б) $ 6 - \frac{21}{x^2 - 4x - 10} = 4x - x^2 $;

В) $ -\frac{1}{(x+2)(x-7)} + \frac{2}{(x-2)(x-3)} = 1 $;

Г) $ (x^2 - 3x + 1)(x^2 + 3x + 2)(x^2 - 9x + 20) = -30 $;

а)

Исходное уравнение: $\frac{1}{x(x+2)} - \frac{1}{(x+1)^2} = \frac{1}{12}$.
Область допустимых значений (ОДЗ): $x \neq 0$, $x \neq -1$, $x \neq -2$.
Преобразуем левую часть уравнения: $\frac{1}{x^2+2x} - \frac{1}{x^2+2x+1} = \frac{1}{12}$.
Сделаем замену переменной. Пусть $y = x^2+2x$. Тогда уравнение примет вид:
$\frac{1}{y} - \frac{1}{y+1} = \frac{1}{12}$
Приведем дроби в левой части к общему знаменателю:
$\frac{(y+1) - y}{y(y+1)} = \frac{1}{12}$
$\frac{1}{y(y+1)} = \frac{1}{12}$
Отсюда следует, что $y(y+1) = 12$.
$y^2 + y - 12 = 0$
Это квадратное уравнение относительно $y$. Найдем его корни по теореме Виета или через дискриминант. Корни: $y_1 = 3$ и $y_2 = -4$.
Теперь выполним обратную замену.
1) $x^2+2x = 3$
$x^2+2x-3 = 0$
Корни этого квадратного уравнения: $x_1 = 1$ и $x_2 = -3$. Оба корня удовлетворяют ОДЗ.
2) $x^2+2x = -4$
$x^2+2x+4 = 0$
Дискриминант $D = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot 4 = 4 - 16 = -12$. Так как $D < 0$, действительных корней в этом случае нет.
Таким образом, решениями исходного уравнения являются $x=1$ и $x=-3$.

Ответ: $1; -3$.

б)

Исходное уравнение: $6 - \frac{21}{x^2-4x-10} = 4x - x^2$.
ОДЗ: $x^2-4x-10 \neq 0$.
Перепишем уравнение в виде: $6 + x^2 - 4x = \frac{21}{x^2-4x-10}$.
Сделаем замену переменной. Пусть $y = x^2-4x-10$. Тогда $x^2-4x = y+10$.
Подставим в уравнение:
$6 + (y+10) = \frac{21}{y}$
$y+16 = \frac{21}{y}$
Умножим обе части на $y$ (при условии $y \neq 0$, что следует из ОДЗ):
$y^2 + 16y = 21$
$y^2 + 16y - 21 = 0$
Найдем корни этого квадратного уравнения для $y$:
$D_y = 16^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-21) = 256 + 84 = 340$.
$y = \frac{-16 \pm \sqrt{340}}{2} = \frac{-16 \pm 2\sqrt{85}}{2} = -8 \pm \sqrt{85}$.
Выполним обратную замену.
1) $x^2-4x-10 = -8 + \sqrt{85}$
$x^2-4x - (2+\sqrt{85}) = 0$
$D_x = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-(2+\sqrt{85})) = 16 + 8 + 4\sqrt{85} = 24 + 4\sqrt{85} = 4(6+\sqrt{85})$.
$x = \frac{4 \pm \sqrt{4(6+\sqrt{85})}}{2} = \frac{4 \pm 2\sqrt{6+\sqrt{85}}}{2} = 2 \pm \sqrt{6+\sqrt{85}}$.
2) $x^2-4x-10 = -8 - \sqrt{85}$
$x^2-4x - (2-\sqrt{85}) = 0$
$D_x = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-(2-\sqrt{85})) = 16 + 8 - 4\sqrt{85} = 24 - 4\sqrt{85} = 4(6-\sqrt{85})$.
Поскольку $\sqrt{85} > \sqrt{36} = 6$, то $6-\sqrt{85} < 0$, и $D_x < 0$. В этом случае действительных корней нет.
Корни $2 \pm \sqrt{6+\sqrt{85}}$ удовлетворяют ОДЗ.

Ответ: $2 \pm \sqrt{6+\sqrt{85}}$.

в)

Исходное уравнение: $\frac{1}{(x+2)(x-7)} + \frac{2}{(x-2)(x-3)} = 1$.
ОДЗ: $x \neq -2, 2, 3, 7$.
Раскроем скобки в знаменателях:
$\frac{1}{x^2-5x-14} + \frac{2}{x^2-5x+6} = 1$
Сделаем замену переменной. Пусть $y = x^2-5x$. Уравнение примет вид:
$\frac{1}{y-14} + \frac{2}{y+6} = 1$
Приведем к общему знаменателю $(y-14)(y+6)$:
$\frac{(y+6) + 2(y-14)}{(y-14)(y+6)} = 1$
$y+6+2y-28 = (y-14)(y+6)$
$3y - 22 = y^2 - 8y - 84$
$y^2 - 11y - 62 = 0$
Найдем корни квадратного уравнения для $y$:
$D_y = (-11)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-62) = 121 + 248 = 369 = 9 \cdot 41$.
$y = \frac{11 \pm \sqrt{369}}{2} = \frac{11 \pm 3\sqrt{41}}{2}$.
Выполним обратную замену $x^2-5x=y$, или $x^2-5x-y=0$.
Корни для $x$ находятся по формуле $x = \frac{5 \pm \sqrt{25+4y}}{2}$.
1) $y_1 = \frac{11+3\sqrt{41}}{2}$
$25+4y_1 = 25+4(\frac{11+3\sqrt{41}}{2}) = 25+2(11+3\sqrt{41}) = 25+22+6\sqrt{41} = 47+6\sqrt{41}$.
$x_{1,2} = \frac{5 \pm \sqrt{47+6\sqrt{41}}}{2}$.
2) $y_2 = \frac{11-3\sqrt{41}}{2}$
$25+4y_2 = 25+4(\frac{11-3\sqrt{41}}{2}) = 25+2(11-3\sqrt{41}) = 25+22-6\sqrt{41} = 47-6\sqrt{41}$.
$x_{3,4} = \frac{5 \pm \sqrt{47-6\sqrt{41}}}{2}$.
Все четыре корня являются действительными и удовлетворяют ОДЗ.

Ответ: $\frac{5 \pm \sqrt{47+6\sqrt{41}}}{2}; \frac{5 \pm \sqrt{47-6\sqrt{41}}}{2}$.

г)

Исходное уравнение: $(x^2 - 3x + 1)(x^2 + 3x + 2)(x^2 - 9x + 20) = -30$.
Разложим на множители второй и третий сомножители:
$x^2 + 3x + 2 = (x+1)(x+2)$
$x^2 - 9x + 20 = (x-4)(x-5)$
Уравнение примет вид:
$(x^2 - 3x + 1)(x+1)(x+2)(x-4)(x-5) = -30$
Перегруппируем множители так, чтобы выделить общий член:
$(x+1)(x-4) = x^2-3x-4$
$(x+2)(x-5) = x^2-3x-10$
Теперь уравнение выглядит так:
$(x^2-3x+1)(x^2-3x-4)(x^2-3x-10) = -30$
Сделаем замену. Пусть $y = x^2-3x$.
$(y+1)(y-4)(y-10) = -30$
$(y^2-3y-4)(y-10) = -30$
$y^3-10y^2-3y^2+30y-4y+40 = -30$
$y^3 - 13y^2 + 26y + 70 = 0$
Подбором находим целый корень среди делителей числа 70. Проверка показывает, что $y=5$ является корнем: $5^3 - 13 \cdot 5^2 + 26 \cdot 5 + 70 = 125 - 325 + 130 + 70 = 0$.
Разделим многочлен $y^3 - 13y^2 + 26y + 70$ на $(y-5)$:
$(y-5)(y^2 - 8y - 14) = 0$
Отсюда $y_1=5$ или $y^2-8y-14=0$.
Решим второе уравнение: $D = (-8)^2 - 4(1)(-14) = 64+56 = 120$.
$y_{2,3} = \frac{8 \pm \sqrt{120}}{2} = \frac{8 \pm 2\sqrt{30}}{2} = 4 \pm \sqrt{30}$.
Выполним обратную замену $x^2-3x=y$.
1) $x^2-3x = 5 \implies x^2-3x-5=0$.
$D_x = (-3)^2-4(1)(-5)=9+20=29$. $x_{1,2} = \frac{3 \pm \sqrt{29}}{2}$.
2) $x^2-3x = 4+\sqrt{30} \implies x^2-3x-(4+\sqrt{30})=0$.
$D_x = 9-4(-(4+\sqrt{30}))=9+16+4\sqrt{30}=25+4\sqrt{30}$. $x_{3,4} = \frac{3 \pm \sqrt{25+4\sqrt{30}}}{2}$.
3) $x^2-3x = 4-\sqrt{30} \implies x^2-3x-(4-\sqrt{30})=0$.
$D_x = 9-4(-(4-\sqrt{30}))=9+16-4\sqrt{30}=25-4\sqrt{30}$. $x_{5,6} = \frac{3 \pm \sqrt{25-4\sqrt{30}}}{2}$.
Все 6 корней действительные.

Ответ: $\frac{3 \pm \sqrt{29}}{2}; \frac{3 \pm \sqrt{25+4\sqrt{30}}}{2}; \frac{3 \pm \sqrt{25-4\sqrt{30}}}{2}$.

107. a) $x^2 + \frac{1}{x^2} + 2 \left(x + \frac{1}{x}\right) = 6;$

б) $\frac{6x}{x^2 + 2x + 3} + \frac{11x}{x^2 + 7x + 3} = 2.$

Данное уравнение $x^2 + \frac{1}{x^2} + 2(x + \frac{1}{x}) = 6$ является симметрическим. Область допустимых значений (ОДЗ) для этого уравнения: $x \neq 0$.

Для решения введем новую переменную. Пусть $y = x + \frac{1}{x}$.

Теперь выразим член $x^2 + \frac{1}{x^2}$ через $y$. Для этого возведем в квадрат выражение для $y$:

$y^2 = (x + \frac{1}{x})^2 = x^2 + 2 \cdot x \cdot \frac{1}{x} + (\frac{1}{x})^2 = x^2 + 2 + \frac{1}{x^2}$.

Отсюда получаем: $x^2 + \frac{1}{x^2} = y^2 - 2$.

Подставим выражения с $y$ в исходное уравнение:

$(y^2 - 2) + 2y = 6$.

Перенесем все члены в левую часть и упростим, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:

$y^2 + 2y - 2 - 6 = 0$

$y^2 + 2y - 8 = 0$.

Решим это уравнение относительно $y$. По теореме Виета, сумма корней равна $-2$, а их произведение равно $-8$. Следовательно, корни:

$y_1 = 2$ и $y_2 = -4$.

Теперь выполним обратную замену, чтобы найти $x$.

Случай 1: $y = 2$.

$x + \frac{1}{x} = 2$.

Умножим обе части на $x$ (так как $x \neq 0$):

$x^2 + 1 = 2x$

$x^2 - 2x + 1 = 0$

Это полный квадрат: $(x - 1)^2 = 0$.

Отсюда получаем один корень: $x_1 = 1$.

Случай 2: $y = -4$.

$x + \frac{1}{x} = -4$.

Умножим обе части на $x$:

$x^2 + 1 = -4x$

$x^2 + 4x + 1 = 0$.

Решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта:

$D = b^2 - 4ac = 4^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1 = 16 - 4 = 12$.

$\sqrt{D} = \sqrt{12} = 2\sqrt{3}$.

Корни равны: $x_{2,3} = \frac{-4 \pm 2\sqrt{3}}{2} = -2 \pm \sqrt{3}$.

Все найденные значения $x$ удовлетворяют ОДЗ.

Ответ: $1; -2 + \sqrt{3}; -2 - \sqrt{3}$.

Рассмотрим уравнение $\frac{6x}{x^2 + 2x + 3} + \frac{11x}{x^2 + 7x + 3} = 2$.

Сначала определим область допустимых значений. Знаменатели не должны быть равны нулю.

1. $x^2 + 2x + 3 \neq 0$. Дискриминант этого трехчлена $D = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot 3 = 4 - 12 = -8$. Так как $D < 0$ и старший коэффициент положителен, выражение $x^2 + 2x + 3$ всегда больше нуля.

2. $x^2 + 7x + 3 \neq 0$.

Заметим, что $x=0$ не является решением, так как при подстановке левая часть уравнения становится равной $0$, а правая равна $2$ ($0 \neq 2$).

Поскольку $x \neq 0$, мы можем разделить обе части уравнения на $x$:

$\frac{6}{x + 2 + \frac{3}{x}} + \frac{11}{x + 7 + \frac{3}{x}} = 2$.

Это позволяет сделать замену переменной. Пусть $y = x + \frac{3}{x}$.

Подставим $y$ в уравнение:

$\frac{6}{y + 2} + \frac{11}{y + 7} = 2$.

Решим это рациональное уравнение относительно $y$. ОДЗ для $y$: $y \neq -2$ и $y \neq -7$.

Приведем дроби к общему знаменателю $(y + 2)(y + 7)$:

$\frac{6(y + 7) + 11(y + 2)}{(y + 2)(y + 7)} = 2$.

$6y + 42 + 11y + 22 = 2(y^2 + 9y + 14)$.

$17y + 64 = 2y^2 + 18y + 28$.

Приведем уравнение к стандартному квадратному виду:

$2y^2 + 18y - 17y + 28 - 64 = 0$.

$2y^2 + y - 36 = 0$.

Найдем корни этого уравнения по формуле дискриминанта:

$D = 1^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-36) = 1 + 288 = 289 = 17^2$.

$y_{1,2} = \frac{-1 \pm 17}{2 \cdot 2} = \frac{-1 \pm 17}{4}$.

$y_1 = \frac{-1 + 17}{4} = \frac{16}{4} = 4$.

$y_2 = \frac{-1 - 17}{4} = \frac{-18}{4} = -\frac{9}{2}$.

Оба значения удовлетворяют ОДЗ для $y$. Теперь выполним обратную замену.

Случай 1: $y = 4$.

$x + \frac{3}{x} = 4$.

$x^2 + 3 = 4x \Rightarrow x^2 - 4x + 3 = 0$.

По теореме Виета, корни: $x_1 = 1, x_2 = 3$.

Случай 2: $y = -\frac{9}{2}$.

$x + \frac{3}{x} = -\frac{9}{2}$.

Умножим обе части на $2x$:

$2x^2 + 6 = -9x \Rightarrow 2x^2 + 9x + 6 = 0$.

Найдем корни через дискриминант:

$D = 9^2 - 4 \cdot 2 \cdot 6 = 81 - 48 = 33$.

$x_{3,4} = \frac{-9 \pm \sqrt{33}}{4}$.

Все четыре найденных корня ($1, 3, \frac{-9 \pm \sqrt{33}}{4}$) не обращают в ноль знаменатель $x^2 + 7x + 3$, поэтому они все являются решениями исходного уравнения.

Ответ: $1; 3; \frac{-9 + \sqrt{33}}{4}; \frac{-9 - \sqrt{33}}{4}$.