Номер 107, страница 326 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Авторы: Колмогоров А. Н., Абрамов А. М., Дудницын Ю. П.
Тип: Учебник
Издательство: Просвещение
Год издания: 2008 - 2025
Цвет обложки: зелёный, чёрный
ISBN: 978-5-09-019513-3
Рекомендовано Министерством образования и науки Российской Федерации
Алгебра и начала математического анализа
Популярные ГДЗ в 10 классе
Параграф 3. Уравнения, неравенства и системы. Глава 6. Задачи повышенной трудности - номер 107, страница 326.
№107 (с. 326)
Условие. №107 (с. 326)
скриншот условия

107. a) $x^2 + \frac{1}{x^2} + 2 \left(x + \frac{1}{x}\right) = 6;$
б) $\frac{6x}{x^2 + 2x + 3} + \frac{11x}{x^2 + 7x + 3} = 2.$
Решение 3. №107 (с. 326)

Решение 5. №107 (с. 326)
Данное уравнение $x^2 + \frac{1}{x^2} + 2(x + \frac{1}{x}) = 6$ является симметрическим. Область допустимых значений (ОДЗ) для этого уравнения: $x \neq 0$.
Для решения введем новую переменную. Пусть $y = x + \frac{1}{x}$.
Теперь выразим член $x^2 + \frac{1}{x^2}$ через $y$. Для этого возведем в квадрат выражение для $y$:
$y^2 = (x + \frac{1}{x})^2 = x^2 + 2 \cdot x \cdot \frac{1}{x} + (\frac{1}{x})^2 = x^2 + 2 + \frac{1}{x^2}$.
Отсюда получаем: $x^2 + \frac{1}{x^2} = y^2 - 2$.
Подставим выражения с $y$ в исходное уравнение:
$(y^2 - 2) + 2y = 6$.
Перенесем все члены в левую часть и упростим, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:
$y^2 + 2y - 2 - 6 = 0$
$y^2 + 2y - 8 = 0$.
Решим это уравнение относительно $y$. По теореме Виета, сумма корней равна $-2$, а их произведение равно $-8$. Следовательно, корни:
$y_1 = 2$ и $y_2 = -4$.
Теперь выполним обратную замену, чтобы найти $x$.
Случай 1: $y = 2$.
$x + \frac{1}{x} = 2$.
Умножим обе части на $x$ (так как $x \neq 0$):
$x^2 + 1 = 2x$
$x^2 - 2x + 1 = 0$
Это полный квадрат: $(x - 1)^2 = 0$.
Отсюда получаем один корень: $x_1 = 1$.
Случай 2: $y = -4$.
$x + \frac{1}{x} = -4$.
Умножим обе части на $x$:
$x^2 + 1 = -4x$
$x^2 + 4x + 1 = 0$.
Решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта:
$D = b^2 - 4ac = 4^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1 = 16 - 4 = 12$.
$\sqrt{D} = \sqrt{12} = 2\sqrt{3}$.
Корни равны: $x_{2,3} = \frac{-4 \pm 2\sqrt{3}}{2} = -2 \pm \sqrt{3}$.
Все найденные значения $x$ удовлетворяют ОДЗ.
Ответ: $1; -2 + \sqrt{3}; -2 - \sqrt{3}$.
б)Рассмотрим уравнение $\frac{6x}{x^2 + 2x + 3} + \frac{11x}{x^2 + 7x + 3} = 2$.
Сначала определим область допустимых значений. Знаменатели не должны быть равны нулю.
1. $x^2 + 2x + 3 \neq 0$. Дискриминант этого трехчлена $D = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot 3 = 4 - 12 = -8$. Так как $D < 0$ и старший коэффициент положителен, выражение $x^2 + 2x + 3$ всегда больше нуля.
2. $x^2 + 7x + 3 \neq 0$.
Заметим, что $x=0$ не является решением, так как при подстановке левая часть уравнения становится равной $0$, а правая равна $2$ ($0 \neq 2$).
Поскольку $x \neq 0$, мы можем разделить обе части уравнения на $x$:
$\frac{6}{x + 2 + \frac{3}{x}} + \frac{11}{x + 7 + \frac{3}{x}} = 2$.
Это позволяет сделать замену переменной. Пусть $y = x + \frac{3}{x}$.
Подставим $y$ в уравнение:
$\frac{6}{y + 2} + \frac{11}{y + 7} = 2$.
Решим это рациональное уравнение относительно $y$. ОДЗ для $y$: $y \neq -2$ и $y \neq -7$.
Приведем дроби к общему знаменателю $(y + 2)(y + 7)$:
$\frac{6(y + 7) + 11(y + 2)}{(y + 2)(y + 7)} = 2$.
$6y + 42 + 11y + 22 = 2(y^2 + 9y + 14)$.
$17y + 64 = 2y^2 + 18y + 28$.
Приведем уравнение к стандартному квадратному виду:
$2y^2 + 18y - 17y + 28 - 64 = 0$.
$2y^2 + y - 36 = 0$.
Найдем корни этого уравнения по формуле дискриминанта:
$D = 1^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-36) = 1 + 288 = 289 = 17^2$.
$y_{1,2} = \frac{-1 \pm 17}{2 \cdot 2} = \frac{-1 \pm 17}{4}$.
$y_1 = \frac{-1 + 17}{4} = \frac{16}{4} = 4$.
$y_2 = \frac{-1 - 17}{4} = \frac{-18}{4} = -\frac{9}{2}$.
Оба значения удовлетворяют ОДЗ для $y$. Теперь выполним обратную замену.
Случай 1: $y = 4$.
$x + \frac{3}{x} = 4$.
$x^2 + 3 = 4x \Rightarrow x^2 - 4x + 3 = 0$.
По теореме Виета, корни: $x_1 = 1, x_2 = 3$.
Случай 2: $y = -\frac{9}{2}$.
$x + \frac{3}{x} = -\frac{9}{2}$.
Умножим обе части на $2x$:
$2x^2 + 6 = -9x \Rightarrow 2x^2 + 9x + 6 = 0$.
Найдем корни через дискриминант:
$D = 9^2 - 4 \cdot 2 \cdot 6 = 81 - 48 = 33$.
$x_{3,4} = \frac{-9 \pm \sqrt{33}}{4}$.
Все четыре найденных корня ($1, 3, \frac{-9 \pm \sqrt{33}}{4}$) не обращают в ноль знаменатель $x^2 + 7x + 3$, поэтому они все являются решениями исходного уравнения.
Ответ: $1; 3; \frac{-9 + \sqrt{33}}{4}; \frac{-9 - \sqrt{33}}{4}$.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz
ПрисоединитьсяМы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 10-11 класс, для упражнения номер 107 расположенного на странице 326 к учебнику 2008 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №107 (с. 326), авторов: Колмогоров (Андрей Николаевич), Абрамов (Александр Михайлович), Дудницын (Юрий Павлович), учебного пособия издательства Просвещение.