Номер 107, страница 326 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Глава 6. Задачи повышенной трудности. Параграф 3. Уравнения, неравенства и системы - номер 107, страница 326.

Условие.

107. a) $x^2 + \frac{1}{x^2} + 2 \left(x + \frac{1}{x}\right) = 6;$

б) $\frac{6x}{x^2 + 2x + 3} + \frac{11x}{x^2 + 7x + 3} = 2.$

Решение 3.

Решение 5.

а)

Данное уравнение $x^2 + \frac{1}{x^2} + 2(x + \frac{1}{x}) = 6$ является симметрическим. Область допустимых значений (ОДЗ) для этого уравнения: $x \neq 0$.

Для решения введем новую переменную. Пусть $y = x + \frac{1}{x}$.

Теперь выразим член $x^2 + \frac{1}{x^2}$ через $y$. Для этого возведем в квадрат выражение для $y$:

$y^2 = (x + \frac{1}{x})^2 = x^2 + 2 \cdot x \cdot \frac{1}{x} + (\frac{1}{x})^2 = x^2 + 2 + \frac{1}{x^2}$.

Отсюда получаем: $x^2 + \frac{1}{x^2} = y^2 - 2$.

Подставим выражения с $y$ в исходное уравнение:

$(y^2 - 2) + 2y = 6$.

Перенесем все члены в левую часть и упростим, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:

$y^2 + 2y - 2 - 6 = 0$

$y^2 + 2y - 8 = 0$.

Решим это уравнение относительно $y$. По теореме Виета, сумма корней равна $-2$, а их произведение равно $-8$. Следовательно, корни:

$y_1 = 2$ и $y_2 = -4$.

Теперь выполним обратную замену, чтобы найти $x$.

Случай 1: $y = 2$.

$x + \frac{1}{x} = 2$.

Умножим обе части на $x$ (так как $x \neq 0$):

$x^2 + 1 = 2x$

$x^2 - 2x + 1 = 0$

Это полный квадрат: $(x - 1)^2 = 0$.

Отсюда получаем один корень: $x_1 = 1$.

Случай 2: $y = -4$.

$x + \frac{1}{x} = -4$.

Умножим обе части на $x$:

$x^2 + 1 = -4x$

$x^2 + 4x + 1 = 0$.

Решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта:

$D = b^2 - 4ac = 4^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1 = 16 - 4 = 12$.

$\sqrt{D} = \sqrt{12} = 2\sqrt{3}$.

Корни равны: $x_{2,3} = \frac{-4 \pm 2\sqrt{3}}{2} = -2 \pm \sqrt{3}$.

Все найденные значения $x$ удовлетворяют ОДЗ.

Ответ: $1; -2 + \sqrt{3}; -2 - \sqrt{3}$.

б)

Рассмотрим уравнение $\frac{6x}{x^2 + 2x + 3} + \frac{11x}{x^2 + 7x + 3} = 2$.

Сначала определим область допустимых значений. Знаменатели не должны быть равны нулю.

1. $x^2 + 2x + 3 \neq 0$. Дискриминант этого трехчлена $D = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot 3 = 4 - 12 = -8$. Так как $D < 0$ и старший коэффициент положителен, выражение $x^2 + 2x + 3$ всегда больше нуля.

2. $x^2 + 7x + 3 \neq 0$.

Заметим, что $x=0$ не является решением, так как при подстановке левая часть уравнения становится равной $0$, а правая равна $2$ ($0 \neq 2$).

Поскольку $x \neq 0$, мы можем разделить обе части уравнения на $x$:

$\frac{6}{x + 2 + \frac{3}{x}} + \frac{11}{x + 7 + \frac{3}{x}} = 2$.

Это позволяет сделать замену переменной. Пусть $y = x + \frac{3}{x}$.

Подставим $y$ в уравнение:

$\frac{6}{y + 2} + \frac{11}{y + 7} = 2$.

Решим это рациональное уравнение относительно $y$. ОДЗ для $y$: $y \neq -2$ и $y \neq -7$.

Приведем дроби к общему знаменателю $(y + 2)(y + 7)$:

$\frac{6(y + 7) + 11(y + 2)}{(y + 2)(y + 7)} = 2$.

$6y + 42 + 11y + 22 = 2(y^2 + 9y + 14)$.

$17y + 64 = 2y^2 + 18y + 28$.

Приведем уравнение к стандартному квадратному виду:

$2y^2 + 18y - 17y + 28 - 64 = 0$.

$2y^2 + y - 36 = 0$.

Найдем корни этого уравнения по формуле дискриминанта:

$D = 1^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-36) = 1 + 288 = 289 = 17^2$.

$y_{1,2} = \frac{-1 \pm 17}{2 \cdot 2} = \frac{-1 \pm 17}{4}$.

$y_1 = \frac{-1 + 17}{4} = \frac{16}{4} = 4$.

$y_2 = \frac{-1 - 17}{4} = \frac{-18}{4} = -\frac{9}{2}$.

Оба значения удовлетворяют ОДЗ для $y$. Теперь выполним обратную замену.

Случай 1: $y = 4$.

$x + \frac{3}{x} = 4$.

$x^2 + 3 = 4x \Rightarrow x^2 - 4x + 3 = 0$.

По теореме Виета, корни: $x_1 = 1, x_2 = 3$.

Случай 2: $y = -\frac{9}{2}$.

$x + \frac{3}{x} = -\frac{9}{2}$.

Умножим обе части на $2x$:

$2x^2 + 6 = -9x \Rightarrow 2x^2 + 9x + 6 = 0$.

Найдем корни через дискриминант:

$D = 9^2 - 4 \cdot 2 \cdot 6 = 81 - 48 = 33$.

$x_{3,4} = \frac{-9 \pm \sqrt{33}}{4}$.

Все четыре найденных корня ($1, 3, \frac{-9 \pm \sqrt{33}}{4}$) не обращают в ноль знаменатель $x^2 + 7x + 3$, поэтому они все являются решениями исходного уравнения.

Ответ: $1; 3; \frac{-9 + \sqrt{33}}{4}; \frac{-9 - \sqrt{33}}{4}$.