Номер 110, страница 327 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Авторы: Колмогоров А. Н., Абрамов А. М., Дудницын Ю. П.
Тип: Учебник
Издательство: Просвещение
Год издания: 2008 - 2025
Цвет обложки: зелёный, чёрный
ISBN: 978-5-09-019513-3
Рекомендовано Министерством образования и науки Российской Федерации
Алгебра и начала математического анализа
Популярные ГДЗ в 10 классе
Параграф 3. Уравнения, неравенства и системы. Глава 6. Задачи повышенной трудности - номер 110, страница 327.
№110 (с. 327)
Условие. №110 (с. 327)
скриншот условия

110. a) $x^4 + 4x - 1 = 0;$
б) $x^4 - 4x^3 - 1 = 0.$
Решение 3. №110 (с. 327)

Решение 5. №110 (с. 327)
а) Решим уравнение $x^4 + 4x - 1 = 0$.
Это уравнение четвертой степени. Для его решения воспользуемся методом выделения полного квадрата. Преобразуем уравнение, добавив и вычтя $2x^2$, а затем сгруппировав слагаемые так, чтобы получить разность квадратов.
Добавим и вычтем $2x^2 + 1$ к левой части уравнения:
$x^4 + 2x^2 + 1 - 2x^2 + 4x - 2 = 0$
Сгруппируем слагаемые:
$(x^4 + 2x^2 + 1) - (2x^2 - 4x + 2) = 0$
Первая скобка является полным квадратом $(x^2+1)^2$. Во второй скобке вынесем общий множитель 2:
$(x^2+1)^2 - 2(x^2 - 2x + 1) = 0$
Выражение в скобках $x^2 - 2x + 1$ также является полным квадратом $(x-1)^2$. Таким образом, уравнение принимает вид:
$(x^2+1)^2 - 2(x-1)^2 = 0$
$(x^2+1)^2 - (\sqrt{2}(x-1))^2 = 0$
Теперь применим формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$:
$(x^2+1 - \sqrt{2}(x-1))(x^2+1 + \sqrt{2}(x-1)) = 0$
Раскроем скобки внутри:
$(x^2 - \sqrt{2}x + 1 + \sqrt{2})(x^2 + \sqrt{2}x + 1 - \sqrt{2}) = 0$
Произведение равно нулю, когда один из множителей равен нулю. Получаем два квадратных уравнения:
1) $x^2 - \sqrt{2}x + (1 + \sqrt{2}) = 0$
Найдем дискриминант: $D_1 = (-\sqrt{2})^2 - 4 \cdot 1 \cdot (1 + \sqrt{2}) = 2 - 4 - 4\sqrt{2} = -2 - 4\sqrt{2}$.
Так как $D_1 < 0$, это уравнение не имеет действительных корней.
2) $x^2 + \sqrt{2}x + (1 - \sqrt{2}) = 0$
Найдем дискриминант: $D_2 = (\sqrt{2})^2 - 4 \cdot 1 \cdot (1 - \sqrt{2}) = 2 - 4 + 4\sqrt{2} = 4\sqrt{2} - 2$.
Так как $4\sqrt{2} = \sqrt{32}$, а $2 = \sqrt{4}$, то $4\sqrt{2} > 2$, следовательно, $D_2 > 0$. Уравнение имеет два действительных корня.
Найдем корни по формуле: $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$
$x = \frac{-\sqrt{2} \pm \sqrt{4\sqrt{2}-2}}{2}$
Ответ: $x = \frac{-\sqrt{2} \pm \sqrt{4\sqrt{2}-2}}{2}$
б) Решим уравнение $x^4 - 4x^3 - 1 = 0$.
Заметим, что $x=0$ не является корнем уравнения, так как при подстановке получаем $-1=0$. Следовательно, мы можем сделать замену.
Сделаем подстановку $x = -1/y$. Тогда $y = -1/x$. Подставим это в исходное уравнение:
$(-\frac{1}{y})^4 - 4(-\frac{1}{y})^3 - 1 = 0$
$\frac{1}{y^4} - 4(-\frac{1}{y^3}) - 1 = 0$
$\frac{1}{y^4} + \frac{4}{y^3} - 1 = 0$
Умножим обе части уравнения на $y^4$ (мы можем это сделать, так как $y \neq 0$):
$1 + 4y - y^4 = 0$
Умножим на -1 для удобства:
$y^4 - 4y - 1 = 0$
Решим это уравнение относительно $y$, используя метод, аналогичный пункту а). Добавим и вычтем $2y^2+1$:
$y^4 + 2y^2 + 1 - 2y^2 - 4y - 2 = 0$
$(y^4 + 2y^2 + 1) - (2y^2 + 4y + 2) = 0$
$(y^2+1)^2 - 2(y^2 + 2y + 1) = 0$
$(y^2+1)^2 - 2(y+1)^2 = 0$
$(y^2+1)^2 - (\sqrt{2}(y+1))^2 = 0$
Применим формулу разности квадратов:
$(y^2+1 - \sqrt{2}(y+1))(y^2+1 + \sqrt{2}(y+1)) = 0$
$(y^2 - \sqrt{2}y + 1 - \sqrt{2})(y^2 + \sqrt{2}y + 1 + \sqrt{2}) = 0$
Получаем два квадратных уравнения для $y$:
1) $y^2 - \sqrt{2}y + (1 - \sqrt{2}) = 0$
Дискриминант $D_1 = (-\sqrt{2})^2 - 4 \cdot 1 \cdot (1 - \sqrt{2}) = 2 - 4 + 4\sqrt{2} = 4\sqrt{2} - 2 > 0$.
Корни: $y = \frac{\sqrt{2} \pm \sqrt{4\sqrt{2}-2}}{2}$.
2) $y^2 + \sqrt{2}y + (1 + \sqrt{2}) = 0$
Дискриминант $D_2 = (\sqrt{2})^2 - 4 \cdot 1 \cdot (1 + \sqrt{2}) = 2 - 4 - 4\sqrt{2} = -2 - 4\sqrt{2} < 0$. Действительных корней нет.
Итак, мы нашли решения для $y$. Теперь вернемся к исходной переменной $x$ по формуле $x = -1/y$.
$x = -\frac{1}{\frac{\sqrt{2} \pm \sqrt{4\sqrt{2}-2}}{2}} = \frac{-2}{\sqrt{2} \pm \sqrt{4\sqrt{2}-2}}$
Ответ: $x = \frac{-2}{\sqrt{2} \pm \sqrt{4\sqrt{2}-2}}$
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz
ПрисоединитьсяМы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 10-11 класс, для упражнения номер 110 расположенного на странице 327 к учебнику 2008 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №110 (с. 327), авторов: Колмогоров (Андрей Николаевич), Абрамов (Александр Михайлович), Дудницын (Юрий Павлович), учебного пособия издательства Просвещение.