Номер 110, страница 327 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Глава 6. Задачи повышенной трудности. Параграф 3. Уравнения, неравенства и системы - номер 110, страница 327.

Условие.

110. a) $x^4 + 4x - 1 = 0;$

б) $x^4 - 4x^3 - 1 = 0.$

Решение 3.

Решение 5.

а) Решим уравнение $x^4 + 4x - 1 = 0$.

Это уравнение четвертой степени. Для его решения воспользуемся методом выделения полного квадрата. Преобразуем уравнение, добавив и вычтя $2x^2$, а затем сгруппировав слагаемые так, чтобы получить разность квадратов.

Добавим и вычтем $2x^2 + 1$ к левой части уравнения:

$x^4 + 2x^2 + 1 - 2x^2 + 4x - 2 = 0$

Сгруппируем слагаемые:

$(x^4 + 2x^2 + 1) - (2x^2 - 4x + 2) = 0$

Первая скобка является полным квадратом $(x^2+1)^2$. Во второй скобке вынесем общий множитель 2:

$(x^2+1)^2 - 2(x^2 - 2x + 1) = 0$

Выражение в скобках $x^2 - 2x + 1$ также является полным квадратом $(x-1)^2$. Таким образом, уравнение принимает вид:

$(x^2+1)^2 - 2(x-1)^2 = 0$

$(x^2+1)^2 - (\sqrt{2}(x-1))^2 = 0$

Теперь применим формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$:

$(x^2+1 - \sqrt{2}(x-1))(x^2+1 + \sqrt{2}(x-1)) = 0$

Раскроем скобки внутри:

$(x^2 - \sqrt{2}x + 1 + \sqrt{2})(x^2 + \sqrt{2}x + 1 - \sqrt{2}) = 0$

Произведение равно нулю, когда один из множителей равен нулю. Получаем два квадратных уравнения:

1) $x^2 - \sqrt{2}x + (1 + \sqrt{2}) = 0$

Найдем дискриминант: $D_1 = (-\sqrt{2})^2 - 4 \cdot 1 \cdot (1 + \sqrt{2}) = 2 - 4 - 4\sqrt{2} = -2 - 4\sqrt{2}$.

Так как $D_1 < 0$, это уравнение не имеет действительных корней.

2) $x^2 + \sqrt{2}x + (1 - \sqrt{2}) = 0$

Найдем дискриминант: $D_2 = (\sqrt{2})^2 - 4 \cdot 1 \cdot (1 - \sqrt{2}) = 2 - 4 + 4\sqrt{2} = 4\sqrt{2} - 2$.

Так как $4\sqrt{2} = \sqrt{32}$, а $2 = \sqrt{4}$, то $4\sqrt{2} > 2$, следовательно, $D_2 > 0$. Уравнение имеет два действительных корня.

Найдем корни по формуле: $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$

$x = \frac{-\sqrt{2} \pm \sqrt{4\sqrt{2}-2}}{2}$

Ответ: $x = \frac{-\sqrt{2} \pm \sqrt{4\sqrt{2}-2}}{2}$

б) Решим уравнение $x^4 - 4x^3 - 1 = 0$.

Заметим, что $x=0$ не является корнем уравнения, так как при подстановке получаем $-1=0$. Следовательно, мы можем сделать замену.

Сделаем подстановку $x = -1/y$. Тогда $y = -1/x$. Подставим это в исходное уравнение:

$(-\frac{1}{y})^4 - 4(-\frac{1}{y})^3 - 1 = 0$

$\frac{1}{y^4} - 4(-\frac{1}{y^3}) - 1 = 0$

$\frac{1}{y^4} + \frac{4}{y^3} - 1 = 0$

Умножим обе части уравнения на $y^4$ (мы можем это сделать, так как $y \neq 0$):

$1 + 4y - y^4 = 0$

Умножим на -1 для удобства:

$y^4 - 4y - 1 = 0$

Решим это уравнение относительно $y$, используя метод, аналогичный пункту а). Добавим и вычтем $2y^2+1$:

$y^4 + 2y^2 + 1 - 2y^2 - 4y - 2 = 0$

$(y^4 + 2y^2 + 1) - (2y^2 + 4y + 2) = 0$

$(y^2+1)^2 - 2(y^2 + 2y + 1) = 0$

$(y^2+1)^2 - 2(y+1)^2 = 0$

$(y^2+1)^2 - (\sqrt{2}(y+1))^2 = 0$

Применим формулу разности квадратов:

$(y^2+1 - \sqrt{2}(y+1))(y^2+1 + \sqrt{2}(y+1)) = 0$

$(y^2 - \sqrt{2}y + 1 - \sqrt{2})(y^2 + \sqrt{2}y + 1 + \sqrt{2}) = 0$

Получаем два квадратных уравнения для $y$:

1) $y^2 - \sqrt{2}y + (1 - \sqrt{2}) = 0$

Дискриминант $D_1 = (-\sqrt{2})^2 - 4 \cdot 1 \cdot (1 - \sqrt{2}) = 2 - 4 + 4\sqrt{2} = 4\sqrt{2} - 2 > 0$.

Корни: $y = \frac{\sqrt{2} \pm \sqrt{4\sqrt{2}-2}}{2}$.

2) $y^2 + \sqrt{2}y + (1 + \sqrt{2}) = 0$

Дискриминант $D_2 = (\sqrt{2})^2 - 4 \cdot 1 \cdot (1 + \sqrt{2}) = 2 - 4 - 4\sqrt{2} = -2 - 4\sqrt{2} < 0$. Действительных корней нет.

Итак, мы нашли решения для $y$. Теперь вернемся к исходной переменной $x$ по формуле $x = -1/y$.

$x = -\frac{1}{\frac{\sqrt{2} \pm \sqrt{4\sqrt{2}-2}}{2}} = \frac{-2}{\sqrt{2} \pm \sqrt{4\sqrt{2}-2}}$

Ответ: $x = \frac{-2}{\sqrt{2} \pm \sqrt{4\sqrt{2}-2}}$