Страница 327 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

108. a) $x^4 - 2x^3 + \frac{3}{4}x^2 - 2x + 1 = 0;$

б) $2x^4 + x^3 - 3x^2 + x + 2 = 0;$

в) $x^4 - 2x^3 - 3x^2 + 4x + 4 = 0;$

г) $x^4 - 4x^3 - 18x^2 - 12x + 9 = 0.$

а) $x^4 - 2x^3 + \frac{3}{4}x^2 - 2x + 1 = 0$
Это симметричное (возвратное) уравнение, так как коэффициенты, равноудаленные от концов, равны. Заметим, что $x=0$ не является корнем уравнения, так как $1 \neq 0$. Разделим обе части уравнения на $x^2$:
$x^2 - 2x + \frac{3}{4} - \frac{2}{x} + \frac{1}{x^2} = 0$
Сгруппируем слагаемые:
$(x^2 + \frac{1}{x^2}) - 2(x + \frac{1}{x}) + \frac{3}{4} = 0$
Сделаем замену переменной. Пусть $y = x + \frac{1}{x}$. Тогда $y^2 = (x + \frac{1}{x})^2 = x^2 + 2 + \frac{1}{x^2}$, откуда $x^2 + \frac{1}{x^2} = y^2 - 2$.
Подставим в уравнение:
$(y^2 - 2) - 2y + \frac{3}{4} = 0$
$y^2 - 2y - \frac{5}{4} = 0$
Умножим на 4, чтобы избавиться от дроби: $4y^2 - 8y - 5 = 0$.
Найдем корни этого квадратного уравнения. Дискриминант $D = (-8)^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-5) = 64 + 80 = 144 = 12^2$.
$y_{1,2} = \frac{8 \pm 12}{8}$
$y_1 = \frac{8 + 12}{8} = \frac{20}{8} = \frac{5}{2}$
$y_2 = \frac{8 - 12}{8} = \frac{-4}{8} = -\frac{1}{2}$
Вернемся к исходной переменной $x$.
1) $x + \frac{1}{x} = \frac{5}{2}$. Умножим на $2x$: $2x^2 + 2 = 5x \Rightarrow 2x^2 - 5x + 2 = 0$.
$D = (-5)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 2 = 25 - 16 = 9 = 3^2$.
$x_{1,2} = \frac{5 \pm 3}{4}$.
$x_1 = \frac{8}{4} = 2$.
$x_2 = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$.
2) $x + \frac{1}{x} = -\frac{1}{2}$. Умножим на $2x$: $2x^2 + 2 = -x \Rightarrow 2x^2 + x + 2 = 0$.
$D = 1^2 - 4 \cdot 2 \cdot 2 = 1 - 16 = -15$. Так как $D < 0$, в этом случае действительных корней нет.
Ответ: $x_1=2, x_2=\frac{1}{2}$.

б) $2x^4 + x^3 - 3x^2 + x + 2 = 0$
Это также симметричное уравнение. Так как $x=0$ не корень, делим уравнение на $x^2$:
$2x^2 + x - 3 + \frac{1}{x} + \frac{2}{x^2} = 0$
Сгруппируем слагаемые:
$2(x^2 + \frac{1}{x^2}) + (x + \frac{1}{x}) - 3 = 0$
Сделаем замену $y = x + \frac{1}{x}$, тогда $x^2 + \frac{1}{x^2} = y^2 - 2$.
$2(y^2 - 2) + y - 3 = 0$
$2y^2 - 4 + y - 3 = 0$
$2y^2 + y - 7 = 0$
Найдем корни по формуле: $D = 1^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-7) = 1 + 56 = 57$.
$y_{1,2} = \frac{-1 \pm \sqrt{57}}{4}$.
Вернемся к переменной $x$. Уравнение $x + \frac{1}{x} = y$ или $x^2 - yx + 1 = 0$ имеет действительные корни только при $|y| \ge 2$.
1) $y_1 = \frac{-1 + \sqrt{57}}{4}$. Так как $7 < \sqrt{57} < 8$, то $6 < -1+\sqrt{57} < 7$, и $\frac{6}{4} < y_1 < \frac{7}{4}$. То есть $1.5 < y_1 < 1.75$. Поскольку $|y_1| < 2$, уравнение $x + \frac{1}{x} = y_1$ не имеет действительных корней.
2) $y_2 = \frac{-1 - \sqrt{57}}{4}$. Так как $-8 < -\sqrt{57} < -7$, то $-9 < -1-\sqrt{57} < -8$, и $-\frac{9}{4} < y_2 < -\frac{8}{4}$. То есть $-2.25 < y_2 < -2$. Поскольку $|y_2| > 2$, уравнение $x + \frac{1}{x} = y_2$ имеет два действительных корня.
Решим уравнение $x^2 - (\frac{-1 - \sqrt{57}}{4})x + 1 = 0$.
$x^2 + \frac{1 + \sqrt{57}}{4}x + 1 = 0$.
$4x^2 + (1 + \sqrt{57})x + 4 = 0$.
$D_x = (1+\sqrt{57})^2 - 4 \cdot 4 \cdot 4 = 1 + 2\sqrt{57} + 57 - 64 = 2\sqrt{57} - 6$. Так как $(2\sqrt{57})^2 = 4 \cdot 57 = 228$, а $6^2=36$, то $D_x > 0$.
$x_{1,2} = \frac{-(1+\sqrt{57}) \pm \sqrt{2\sqrt{57}-6}}{8} = \frac{-1-\sqrt{57} \pm \sqrt{2\sqrt{57}-6}}{8}$.
Ответ: $x = \frac{-1-\sqrt{57} \pm \sqrt{2\sqrt{57}-6}}{8}$.

в) $x^4 - 2x^3 - 3x^2 + 4x + 4 = 0$
Попробуем представить левую часть уравнения как полный квадрат. Выражение $x^4 - 2x^3$ наводит на мысль о квадрате $(x^2-x)^2 = x^4 - 2x^3 + x^2$.
Перепишем исходное уравнение, выделив этот квадрат:
$(x^4 - 2x^3 + x^2) - x^2 - 3x^2 + 4x + 4 = 0$
$(x^2 - x)^2 - 4x^2 + 4x + 4 = 0$
$(x^2 - x)^2 - 4(x^2 - x) + 4 = 0$
Это выражение является полным квадратом относительно $(x^2-x)$. Пусть $y = x^2 - x$.
$y^2 - 4y + 4 = 0$
$(y-2)^2 = 0$
Отсюда $y=2$.
Сделаем обратную замену:
$x^2 - x = 2$
$x^2 - x - 2 = 0$
По теореме Виета корни $x_1=2$ и $x_2=-1$.
Исходное уравнение можно записать как $(x^2 - x - 2)^2 = 0$, поэтому каждый корень имеет кратность 2.
Ответ: $x_1=x_2=-1$, $x_3=x_4=2$.

г) $x^4 - 4x^3 - 18x^2 - 12x + 9 = 0$
Это уравнение не является симметричным, но его можно свести к квадратному. Это так называемое квазивозвратное уравнение. Заметим, что $x=0$ не является корнем. Разделим обе части на $x^2$:
$x^2 - 4x - 18 - \frac{12}{x} + \frac{9}{x^2} = 0$
Сгруппируем слагаемые:
$(x^2 + \frac{9}{x^2}) - 4(x + \frac{3}{x}) - 18 = 0$
Сделаем замену $y = x + \frac{3}{x}$. Тогда $y^2 = (x + \frac{3}{x})^2 = x^2 + 6 + \frac{9}{x^2}$, откуда $x^2 + \frac{9}{x^2} = y^2 - 6$.
Подставим в уравнение:
$(y^2 - 6) - 4y - 18 = 0$
$y^2 - 4y - 24 = 0$
Найдем корни этого квадратного уравнения. $D = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-24) = 16 + 96 = 112 = 16 \cdot 7$.
$y_{1,2} = \frac{4 \pm \sqrt{112}}{2} = \frac{4 \pm 4\sqrt{7}}{2} = 2 \pm 2\sqrt{7}$.
Вернемся к исходной переменной $x$.
1) $x + \frac{3}{x} = 2 + 2\sqrt{7}$. Умножим на $x$: $x^2 - (2+2\sqrt{7})x + 3 = 0$.
$D_x = (-(2+2\sqrt{7}))^2 - 4 \cdot 1 \cdot 3 = (2+2\sqrt{7})^2 - 12 = 4(1+\sqrt{7})^2 - 12 = 4(1+2\sqrt{7}+7) - 12 = 4(8+2\sqrt{7}) - 12 = 32+8\sqrt{7}-12 = 20+8\sqrt{7}$.
Так как $D_x > 0$, есть два действительных корня:
$x_{1,2} = \frac{2+2\sqrt{7} \pm \sqrt{20+8\sqrt{7}}}{2} = 1+\sqrt{7} \pm \sqrt{\frac{20+8\sqrt{7}}{4}} = 1+\sqrt{7} \pm \sqrt{5+2\sqrt{7}}$.
2) $x + \frac{3}{x} = 2 - 2\sqrt{7}$. Умножим на $x$: $x^2 - (2-2\sqrt{7})x + 3 = 0$.
$D_x = (-(2-2\sqrt{7}))^2 - 4 \cdot 1 \cdot 3 = (2-2\sqrt{7})^2 - 12 = 20 - 8\sqrt{7}$.
Так как $(8\sqrt{7})^2 = 64 \cdot 7 = 448$, а $20^2=400$, то $20 - 8\sqrt{7} < 0$. Действительных корней в этом случае нет.
Ответ: $x = 1+\sqrt{7} \pm \sqrt{5+2\sqrt{7}}$.

109. a) $8x^4 + 8x^3 - x - 190 = 0;$

б) $4x^4 - 4x^3 + \frac{x}{2} = 66.$

а) $8x^4 + 8x^3 - x - 190 = 0$

Это уравнение четвертой степени. Для его решения воспользуемся теоремой о рациональных корнях многочлена с целыми коэффициентами. Возможные рациональные корни имеют вид $\frac{p}{q}$, где $p$ — делитель свободного члена ($-190$), а $q$ — делитель старшего коэффициента (8).

Делители $p$: $\pm1, \pm2, \pm5, \pm10, ...$

Делители $q$: $1, 2, 4, 8$.

Начнем проверку с простейших целых значений. Пусть $P(x) = 8x^4 + 8x^3 - x - 190$.

Подставим $x=2$:

$P(2) = 8(2)^4 + 8(2)^3 - 2 - 190 = 8 \cdot 16 + 8 \cdot 8 - 2 - 190 = 128 + 64 - 192 = 192 - 192 = 0$.

Так как $P(2)=0$, то $x=2$ является корнем уравнения. Это означает, что многочлен $8x^4 + 8x^3 - x - 190$ делится на $(x-2)$ без остатка. Выполним деление (например, по схеме Горнера):

 | 8 8 0 -1 -1902 | 16 48 96 190------------------------------ | 8 24 48 95 0

Таким образом, уравнение можно переписать в виде:

$(x-2)(8x^3 + 24x^2 + 48x + 95) = 0$.

Теперь решим кубическое уравнение $8x^3 + 24x^2 + 48x + 95 = 0$. Снова применим теорему о рациональных корнях. Возможные корни — это дроби, где числитель — делитель 95 ($\pm1, \pm5, \pm19, \pm95$), а знаменатель — делитель 8 ($1, 2, 4, 8$). Так как все коэффициенты положительны, корень должен быть отрицательным. Проверим $x = -\frac{5}{2}$:

$8(-\frac{5}{2})^3 + 24(-\frac{5}{2})^2 + 48(-\frac{5}{2}) + 95 = 8(-\frac{125}{8}) + 24(\frac{25}{4}) - 24 \cdot 5 + 95 = -125 + 6 \cdot 25 - 120 + 95 = -125 + 150 - 120 + 95 = 25 - 120 + 95 = -95 + 95 = 0$.

Значит, $x = -\frac{5}{2}$ — второй корень. Разделим многочлен $8x^3 + 24x^2 + 48x + 95$ на $(x + \frac{5}{2})$ или, что удобнее, на $(2x+5)$:

$(8x^3 + 24x^2 + 48x + 95) : (2x+5) = 4x^2 + 2x + 19$.

Уравнение принимает вид:

$(x-2)(2x+5)(4x^2 + 2x + 19) = 0$.

Осталось решить квадратное уравнение $4x^2 + 2x + 19 = 0$. Найдем его дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = 2^2 - 4 \cdot 4 \cdot 19 = 4 - 304 = -300$.

Так как дискриминант отрицательный ($D < 0$), квадратное уравнение $4x^2 + 2x + 19 = 0$ не имеет действительных корней.

Следовательно, действительными корнями исходного уравнения являются только найденные ранее значения.

Ответ: $x_1 = 2$, $x_2 = -\frac{5}{2}$.

б) $4x^4 - 4x^3 + \frac{x}{2} = 66$

Умножим обе части уравнения на 2, чтобы избавиться от дробного коэффициента:

$8x^4 - 8x^3 + x = 132$

Перенесем все члены в левую часть:

$8x^4 - 8x^3 + x - 132 = 0$.

Попробуем найти рациональные корни этого уравнения. Подставим, например, $x=2$ в левую часть исходного уравнения:

$4(2)^4 - 4(2)^3 + \frac{2}{2} = 4 \cdot 16 - 4 \cdot 8 + 1 = 64 - 32 + 1 = 33$.

Полученный результат (33) ровно в два раза меньше, чем правая часть уравнения (66). Это является сильным указанием на возможную опечатку в условии задачи. Если предположить, что в правой части должно стоять число 33, то уравнение имеет "хорошие" рациональные корни.

Решим задачу в предположении, что верное условие: $4x^4 - 4x^3 + \frac{x}{2} = 33$.

После умножения на 2 получаем уравнение: $8x^4 - 8x^3 + x - 66 = 0$.

Как мы уже выяснили, $x_1=2$ является корнем этого уравнения. Проверим еще один возможный рациональный корень, $x = -\frac{3}{2}$:

$4(-\frac{3}{2})^4 - 4(-\frac{3}{2})^3 + \frac{-3/2}{2} = 4(\frac{81}{16}) - 4(-\frac{27}{8}) - \frac{3}{4} = \frac{81}{4} + \frac{27}{2} - \frac{3}{4} = \frac{78}{4} + \frac{54}{4} = \frac{132}{4} = 33$.

Значение $x_2 = -\frac{3}{2}$ также является корнем. Следовательно, многочлен $8x^4 - 8x^3 + x - 66$ делится на $(x-2)$ и $(x + \frac{3}{2})$ (или $2x+3$). Значит, он делится на их произведение: $(x-2)(2x+3) = 2x^2 - x - 6$.

Выполнив деление $8x^4 - 8x^3 + x - 66$ на $2x^2 - x - 6$, получаем в частном $4x^2 - 2x + 11$.

Таким образом, уравнение можно записать в виде:

$(2x^2 - x - 6)(4x^2 - 2x + 11) = 0$.

Корни первого множителя $2x^2 - x - 6 = 0$ мы уже нашли: $x_1 = 2$ и $x_2 = -\frac{3}{2}$.

Рассмотрим второй множитель: $4x^2 - 2x + 11 = 0$. Найдем его дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = (-2)^2 - 4 \cdot 4 \cdot 11 = 4 - 176 = -172$.

Так как дискриминант отрицательный ($D < 0$), это уравнение не имеет действительных корней.

Ответ: при предположении, что правая часть уравнения равна 33, действительные корни: $x_1 = 2$, $x_2 = -\frac{3}{2}$.

110. a) $x^4 + 4x - 1 = 0;$

б) $x^4 - 4x^3 - 1 = 0.$

а) Решим уравнение $x^4 + 4x - 1 = 0$.

Это уравнение четвертой степени. Для его решения воспользуемся методом выделения полного квадрата. Преобразуем уравнение, добавив и вычтя $2x^2$, а затем сгруппировав слагаемые так, чтобы получить разность квадратов.

Добавим и вычтем $2x^2 + 1$ к левой части уравнения:

$x^4 + 2x^2 + 1 - 2x^2 + 4x - 2 = 0$

Сгруппируем слагаемые:

$(x^4 + 2x^2 + 1) - (2x^2 - 4x + 2) = 0$

Первая скобка является полным квадратом $(x^2+1)^2$. Во второй скобке вынесем общий множитель 2:

$(x^2+1)^2 - 2(x^2 - 2x + 1) = 0$

Выражение в скобках $x^2 - 2x + 1$ также является полным квадратом $(x-1)^2$. Таким образом, уравнение принимает вид:

$(x^2+1)^2 - 2(x-1)^2 = 0$

$(x^2+1)^2 - (\sqrt{2}(x-1))^2 = 0$

Теперь применим формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$:

$(x^2+1 - \sqrt{2}(x-1))(x^2+1 + \sqrt{2}(x-1)) = 0$

Раскроем скобки внутри:

$(x^2 - \sqrt{2}x + 1 + \sqrt{2})(x^2 + \sqrt{2}x + 1 - \sqrt{2}) = 0$

Произведение равно нулю, когда один из множителей равен нулю. Получаем два квадратных уравнения:

1) $x^2 - \sqrt{2}x + (1 + \sqrt{2}) = 0$

Найдем дискриминант: $D_1 = (-\sqrt{2})^2 - 4 \cdot 1 \cdot (1 + \sqrt{2}) = 2 - 4 - 4\sqrt{2} = -2 - 4\sqrt{2}$.

Так как $D_1 < 0$, это уравнение не имеет действительных корней.

2) $x^2 + \sqrt{2}x + (1 - \sqrt{2}) = 0$

Найдем дискриминант: $D_2 = (\sqrt{2})^2 - 4 \cdot 1 \cdot (1 - \sqrt{2}) = 2 - 4 + 4\sqrt{2} = 4\sqrt{2} - 2$.

Так как $4\sqrt{2} = \sqrt{32}$, а $2 = \sqrt{4}$, то $4\sqrt{2} > 2$, следовательно, $D_2 > 0$. Уравнение имеет два действительных корня.

Найдем корни по формуле: $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$

$x = \frac{-\sqrt{2} \pm \sqrt{4\sqrt{2}-2}}{2}$

Ответ: $x = \frac{-\sqrt{2} \pm \sqrt{4\sqrt{2}-2}}{2}$

б) Решим уравнение $x^4 - 4x^3 - 1 = 0$.

Заметим, что $x=0$ не является корнем уравнения, так как при подстановке получаем $-1=0$. Следовательно, мы можем сделать замену.

Сделаем подстановку $x = -1/y$. Тогда $y = -1/x$. Подставим это в исходное уравнение:

$(-\frac{1}{y})^4 - 4(-\frac{1}{y})^3 - 1 = 0$

$\frac{1}{y^4} - 4(-\frac{1}{y^3}) - 1 = 0$

$\frac{1}{y^4} + \frac{4}{y^3} - 1 = 0$

Умножим обе части уравнения на $y^4$ (мы можем это сделать, так как $y \neq 0$):

$1 + 4y - y^4 = 0$

Умножим на -1 для удобства:

$y^4 - 4y - 1 = 0$

Решим это уравнение относительно $y$, используя метод, аналогичный пункту а). Добавим и вычтем $2y^2+1$:

$y^4 + 2y^2 + 1 - 2y^2 - 4y - 2 = 0$

$(y^4 + 2y^2 + 1) - (2y^2 + 4y + 2) = 0$

$(y^2+1)^2 - 2(y^2 + 2y + 1) = 0$

$(y^2+1)^2 - 2(y+1)^2 = 0$

$(y^2+1)^2 - (\sqrt{2}(y+1))^2 = 0$

Применим формулу разности квадратов:

$(y^2+1 - \sqrt{2}(y+1))(y^2+1 + \sqrt{2}(y+1)) = 0$

$(y^2 - \sqrt{2}y + 1 - \sqrt{2})(y^2 + \sqrt{2}y + 1 + \sqrt{2}) = 0$

Получаем два квадратных уравнения для $y$:

1) $y^2 - \sqrt{2}y + (1 - \sqrt{2}) = 0$

Дискриминант $D_1 = (-\sqrt{2})^2 - 4 \cdot 1 \cdot (1 - \sqrt{2}) = 2 - 4 + 4\sqrt{2} = 4\sqrt{2} - 2 > 0$.

Корни: $y = \frac{\sqrt{2} \pm \sqrt{4\sqrt{2}-2}}{2}$.

2) $y^2 + \sqrt{2}y + (1 + \sqrt{2}) = 0$

Дискриминант $D_2 = (\sqrt{2})^2 - 4 \cdot 1 \cdot (1 + \sqrt{2}) = 2 - 4 - 4\sqrt{2} = -2 - 4\sqrt{2} < 0$. Действительных корней нет.

Итак, мы нашли решения для $y$. Теперь вернемся к исходной переменной $x$ по формуле $x = -1/y$.

$x = -\frac{1}{\frac{\sqrt{2} \pm \sqrt{4\sqrt{2}-2}}{2}} = \frac{-2}{\sqrt{2} \pm \sqrt{4\sqrt{2}-2}}$

Ответ: $x = \frac{-2}{\sqrt{2} \pm \sqrt{4\sqrt{2}-2}}$

111. a) $2 (x^2 + x + 1)^2 - 7 (x - 1)^2 = 13 (x^3 - 1)$;

б) $(x^2 - x + 1)^2 + 2 (x^3 + 1) = (x + 1)^2$.

а) $2(x^2 + x + 1)^2 - 7(x - 1)^2 = 13(x^3 - 1)$

Заметим, что выражение $x^3 - 1$ является разностью кубов и может быть разложено на множители: $x^3 - 1 = (x - 1)(x^2 + x + 1)$.

Подставим это разложение в исходное уравнение:

$2(x^2 + x + 1)^2 - 7(x - 1)^2 = 13(x - 1)(x^2 + x + 1)$

Введем замену переменных для упрощения уравнения. Пусть $a = x^2 + x + 1$ и $b = x - 1$. Тогда уравнение принимает вид:

$2a^2 - 7b^2 = 13ab$

Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить однородное квадратное уравнение:

$2a^2 - 13ab - 7b^2 = 0$

Проверим, является ли $b = 0$ решением. Если $b = x - 1 = 0$, то $x = 1$. Подставим $x = 1$ в исходное уравнение:

$2(1^2 + 1 + 1)^2 - 7(1 - 1)^2 = 13(1^3 - 1)$

$2(3)^2 - 7(0)^2 = 13(0)$

$18 = 0$

Равенство неверно, следовательно $x = 1$ не является корнем, а значит $b \neq 0$.

Поскольку $b \neq 0$, мы можем разделить обе части уравнения $2a^2 - 13ab - 7b^2 = 0$ на $b^2$:

$2\left(\frac{a}{b}\right)^2 - 13\left(\frac{a}{b}\right) - 7 = 0$

Сделаем еще одну замену: $t = \frac{a}{b}$. Уравнение становится стандартным квадратным уравнением:

$2t^2 - 13t - 7 = 0$

Найдем корни этого уравнения с помощью дискриминанта:

$D = (-13)^2 - 4(2)(-7) = 169 + 56 = 225 = 15^2$

$t = \frac{13 \pm \sqrt{225}}{2 \cdot 2} = \frac{13 \pm 15}{4}$

Отсюда получаем два значения для $t$:

$t_1 = \frac{13 + 15}{4} = \frac{28}{4} = 7$

$t_2 = \frac{13 - 15}{4} = \frac{-2}{4} = -\frac{1}{2}$

Теперь вернемся к исходной переменной $x$.

Случай 1: $t = 7$

$\frac{a}{b} = \frac{x^2 + x + 1}{x - 1} = 7$

$x^2 + x + 1 = 7(x - 1)$

$x^2 + x + 1 = 7x - 7$

$x^2 - 6x + 8 = 0$

По теореме Виета, корни этого уравнения $x_1 = 2$ и $x_2 = 4$.

Случай 2: $t = -\frac{1}{2}$

$\frac{a}{b} = \frac{x^2 + x + 1}{x - 1} = -\frac{1}{2}$

$2(x^2 + x + 1) = -(x - 1)$

$2x^2 + 2x + 2 = -x + 1$

$2x^2 + 3x + 1 = 0$

Найдем корни этого квадратного уравнения:

$D = 3^2 - 4(2)(1) = 9 - 8 = 1$

$x = \frac{-3 \pm \sqrt{1}}{2 \cdot 2} = \frac{-3 \pm 1}{4}$

$x_3 = \frac{-3 + 1}{4} = -\frac{1}{2}$

$x_4 = \frac{-3 - 1}{4} = -1$

Таким образом, исходное уравнение имеет четыре корня.

Ответ: $x \in \{-1; -\frac{1}{2}; 2; 4\}$.

б) $(x^2 - x + 1)^2 + 2(x^3 + 1) = (x + 1)^2$

Заметим, что выражение $x^3 + 1$ является суммой кубов и может быть разложено на множители: $x^3 + 1 = (x + 1)(x^2 - x + 1)$.

Подставим это разложение в исходное уравнение:

$(x^2 - x + 1)^2 + 2(x + 1)(x^2 - x + 1) = (x + 1)^2$

Введем замену переменных. Пусть $a = x^2 - x + 1$ и $b = x + 1$. Уравнение примет вид:

$a^2 + 2ab = b^2$

Перенесем все члены в одну сторону:

$a^2 + 2ab - b^2 = 0$

Проверим, является ли $b = 0$ решением. Если $b = x + 1 = 0$, то $x = -1$. Подставим $x = -1$ в исходное уравнение:

$((-1)^2 - (-1) + 1)^2 + 2((-1)^3 + 1) = (-1 + 1)^2$

$(1 + 1 + 1)^2 + 2(-1 + 1) = 0^2$

$3^2 + 2(0) = 0$

$9 = 0$

Равенство неверно, следовательно $x = -1$ не является корнем, а значит $b \neq 0$.

Разделим обе части уравнения $a^2 + 2ab - b^2 = 0$ на $b^2$ (так как $b \neq 0$):

$\left(\frac{a}{b}\right)^2 + 2\left(\frac{a}{b}\right) - 1 = 0$

Сделаем замену $t = \frac{a}{b}$. Получим квадратное уравнение:

$t^2 + 2t - 1 = 0$

Найдем корни этого уравнения:

$D = 2^2 - 4(1)(-1) = 4 + 4 = 8$

$t = \frac{-2 \pm \sqrt{8}}{2} = \frac{-2 \pm 2\sqrt{2}}{2} = -1 \pm \sqrt{2}$

Теперь вернемся к переменной $x$.

Случай 1: $t = -1 + \sqrt{2}$

$\frac{a}{b} = \frac{x^2 - x + 1}{x + 1} = -1 + \sqrt{2}$

$x^2 - x + 1 = (-1 + \sqrt{2})(x + 1)$

$x^2 - x + 1 = (-1 + \sqrt{2})x - 1 + \sqrt{2}$

$x^2 - (1 - 1 + \sqrt{2})x + (1 + 1 - \sqrt{2}) = 0$

$x^2 - \sqrt{2}x + (2 - \sqrt{2}) = 0$

Найдем дискриминант этого уравнения:

$D_x = (-\sqrt{2})^2 - 4(1)(2 - \sqrt{2}) = 2 - 8 + 4\sqrt{2} = 4\sqrt{2} - 6$

Сравним $4\sqrt{2}$ и $6$. $(4\sqrt{2})^2 = 32$, а $6^2 = 36$. Так как $32 < 36$, то $4\sqrt{2} < 6$, и, следовательно, $D_x < 0$. В этом случае действительных корней нет.

Случай 2: $t = -1 - \sqrt{2}$

$\frac{a}{b} = \frac{x^2 - x + 1}{x + 1} = -1 - \sqrt{2}$

$x^2 - x + 1 = (-1 - \sqrt{2})(x + 1)$

$x^2 - x + 1 = (-1 - \sqrt{2})x - 1 - \sqrt{2}$

$x^2 + (-1 + 1 + \sqrt{2})x + (1 + 1 + \sqrt{2}) = 0$

$x^2 + \sqrt{2}x + (2 + \sqrt{2}) = 0$

Найдем дискриминант:

$D_x = (\sqrt{2})^2 - 4(1)(2 + \sqrt{2}) = 2 - 8 - 4\sqrt{2} = -6 - 4\sqrt{2}$

Поскольку $4\sqrt{2} > 0$, то $D_x$ очевидно отрицателен. В этом случае также нет действительных корней.

Так как ни в одном из случаев мы не получили действительных решений, исходное уравнение не имеет корней.

Ответ: корней нет.

112. a) $x^2 + \frac{9x^2}{(3+x)^2} = 7;$

б) $x^2 + \frac{x^2}{(1+x)^2} = 1.$

а) $x^2 + \frac{9x^2}{(3+x)^2} = 7$

Область допустимых значений (ОДЗ) уравнения определяется условием, что знаменатель не равен нулю: $3+x \neq 0$, то есть $x \neq -3$.

Преобразуем исходное уравнение. Заметим, что второй член можно представить в виде квадрата:

$x^2 + \left(\frac{3x}{3+x}\right)^2 = 7$

Это выражение имеет вид $a^2+b^2=7$, где $a=x$ и $b=\frac{3x}{3+x}$. Воспользуемся формулой полного квадрата $a^2+b^2 = (a-b)^2+2ab$. Найдем выражения для $(a-b)$ и $2ab$:

$a-b = x - \frac{3x}{3+x} = \frac{x(3+x) - 3x}{3+x} = \frac{3x+x^2-3x}{3+x} = \frac{x^2}{3+x}$

$2ab = 2 \cdot x \cdot \frac{3x}{3+x} = \frac{6x^2}{3+x} = 6 \cdot \frac{x^2}{3+x}$

Подставим эти выражения обратно в уравнение:

$\left(\frac{x^2}{3+x}\right)^2 + 6\left(\frac{x^2}{3+x}\right) = 7$

Сделаем замену переменной. Пусть $y = \frac{x^2}{3+x}$. Тогда уравнение принимает вид:

$y^2 + 6y = 7$

$y^2 + 6y - 7 = 0$

Это квадратное уравнение относительно $y$. Решим его по теореме Виета или через дискриминант. Корни: $y_1=1$ и $y_2=-7$.

Теперь выполним обратную замену для каждого значения $y$.

1. Если $y=1$:

$\frac{x^2}{3+x} = 1$

$x^2 = 3+x$

$x^2 - x - 3 = 0$

Найдем корни этого квадратного уравнения с помощью дискриминанта:

$D = (-1)^2 - 4(1)(-3) = 1 + 12 = 13$

$x_{1,2} = \frac{1 \pm \sqrt{13}}{2}$

Оба корня удовлетворяют ОДЗ ($x \neq -3$).

2. Если $y=-7$:

$\frac{x^2}{3+x} = -7$

$x^2 = -7(3+x)$

$x^2 = -21 - 7x$

$x^2 + 7x + 21 = 0$

Найдем дискриминант этого уравнения:

$D = 7^2 - 4(1)(21) = 49 - 84 = -35$

Так как $D < 0$, у этого уравнения нет действительных корней.

Следовательно, решениями исходного уравнения являются только корни, полученные в первом случае.

Ответ: $x = \frac{1 \pm \sqrt{13}}{2}$.

б) $x^2 + \frac{x^2}{(1+x)^2} = 1$

ОДЗ: $1+x \neq 0$, то есть $x \neq -1$.

Перепишем уравнение в виде:

$x^2 + \left(\frac{x}{1+x}\right)^2 = 1$

Это уравнение вида $a^2+b^2=1$, где $a=x$ и $b=\frac{x}{1+x}$. Используем тождество $a^2+b^2 = (a-b)^2+2ab$.

Найдем $(a-b)$ и $2ab$:

$a-b = x - \frac{x}{1+x} = \frac{x(1+x)-x}{1+x} = \frac{x+x^2-x}{1+x} = \frac{x^2}{1+x}$

$2ab = 2 \cdot x \cdot \frac{x}{1+x} = \frac{2x^2}{1+x} = 2 \cdot \frac{x^2}{1+x}$

Подставим в уравнение:

$\left(\frac{x^2}{1+x}\right)^2 + 2\left(\frac{x^2}{1+x}\right) = 1$

Произведем замену переменной. Пусть $y = \frac{x^2}{1+x}$. Уравнение примет вид:

$y^2 + 2y - 1 = 0$

Решим это квадратное уравнение относительно $y$. Найдем дискриминант:

$D_y = 2^2 - 4(1)(-1) = 4 + 4 = 8$

$y = \frac{-2 \pm \sqrt{8}}{2} = \frac{-2 \pm 2\sqrt{2}}{2} = -1 \pm \sqrt{2}$

Выполним обратную замену.

1. Если $y = -1 + \sqrt{2}$:

$\frac{x^2}{1+x} = \sqrt{2}-1$

$x^2 = (\sqrt{2}-1)(1+x)$

$x^2 - (\sqrt{2}-1)x - (\sqrt{2}-1) = 0$

Найдем дискриминант этого уравнения $D_x$:

$D_x = (-(\sqrt{2}-1))^2 - 4(1)(-(\sqrt{2}-1)) = (\sqrt{2}-1)^2 + 4(\sqrt{2}-1)$

$D_x = (2-2\sqrt{2}+1) + (4\sqrt{2}-4) = 3-2\sqrt{2}+4\sqrt{2}-4 = 2\sqrt{2}-1$

Так как $2\sqrt{2} = \sqrt{8} > 1$, то $D_x > 0$. Уравнение имеет два действительных корня:

$x = \frac{(\sqrt{2}-1) \pm \sqrt{2\sqrt{2}-1}}{2}$

Эти корни не равны -1 и входят в ОДЗ.

2. Если $y = -1 - \sqrt{2}$:

$\frac{x^2}{1+x} = -1 - \sqrt{2}$

$x^2 = -(\sqrt{2}+1)(1+x)$

$x^2 + (\sqrt{2}+1)x + (\sqrt{2}+1) = 0$

Найдем дискриминант $D_x$:

$D_x = (\sqrt{2}+1)^2 - 4(1)(\sqrt{2}+1) = (2+2\sqrt{2}+1) - (4\sqrt{2}+4) = 3+2\sqrt{2}-4\sqrt{2}-4 = -1-2\sqrt{2}$

Так как $D_x < 0$, у этого уравнения нет действительных корней.

Ответ: $x = \frac{\sqrt{2}-1 \pm \sqrt{2\sqrt{2}-1}}{2}$.

113. a) $x^2 + |x| - 2 = 0;$

б) $x^2 - 2x - 3 = |3x - 3|.$

а) $x^2 + |x| - 2 = 0$

Данное уравнение содержит переменную под знаком модуля. Заметим, что $x^2$ можно представить как $|x|^2$, поскольку квадрат любого числа неотрицателен. Уравнение принимает вид: $|x|^2 + |x| - 2 = 0$.

Это квадратное уравнение относительно $|x|$. Сделаем замену переменной: пусть $y = |x|$. Так как модуль числа всегда неотрицателен, должно выполняться условие $y \ge 0$.

После замены получаем следующее квадратное уравнение:

$y^2 + y - 2 = 0$

Решим это уравнение с помощью дискриминанта или по теореме Виета. По теореме Виета, сумма корней $y_1 + y_2 = -1$, а их произведение $y_1 \cdot y_2 = -2$. Корнями являются числа $1$ и $-2$.

$y_1 = 1$

$y_2 = -2$

Теперь нужно проверить, удовлетворяют ли найденные значения условию $y \ge 0$.

Корень $y_1 = 1$ удовлетворяет условию ($1 \ge 0$).

Корень $y_2 = -2$ не удовлетворяет условию ($-2 < 0$), следовательно, является посторонним корнем.

Выполним обратную замену для подходящего корня $y = 1$:

$|x| = 1$

Это уравнение имеет два решения:

$x = 1$ и $x = -1$.

Ответ: $-1; 1$.

б) $x^2 - 2x - 3 = |3x - 3|$

Для решения этого уравнения необходимо раскрыть модуль. Раскрытие модуля зависит от знака выражения под ним. Рассмотрим два случая.

Случай 1: Выражение под модулем неотрицательно.

$3x - 3 \ge 0$

$3x \ge 3$

$x \ge 1$

При этом условии $|3x - 3| = 3x - 3$. Исходное уравнение принимает вид:

$x^2 - 2x - 3 = 3x - 3$

Перенесем все слагаемые в левую часть и приведем подобные:

$x^2 - 2x - 3x - 3 + 3 = 0$

$x^2 - 5x = 0$

Вынесем общий множитель $x$ за скобки:

$x(x - 5) = 0$

Получаем два возможных корня: $x_1 = 0$ и $x_2 = 5$.

Проверим, соответствуют ли эти корни условию случая ($x \ge 1$):

$x_1 = 0$ не удовлетворяет условию, так как $0 < 1$. Это посторонний корень.

$x_2 = 5$ удовлетворяет условию, так как $5 \ge 1$. Этот корень является решением.

Случай 2: Выражение под модулем отрицательно.

$3x - 3 < 0$

$3x < 3$

$x < 1$

При этом условии $|3x - 3| = -(3x - 3) = -3x + 3$. Исходное уравнение принимает вид:

$x^2 - 2x - 3 = -3x + 3$

Перенесем все слагаемые в левую часть и приведем подобные:

$x^2 - 2x + 3x - 3 - 3 = 0$

$x^2 + x - 6 = 0$

Решим это квадратное уравнение по теореме Виета: сумма корней $x_3 + x_4 = -1$, а их произведение $x_3 \cdot x_4 = -6$. Корнями являются числа $2$ и $-3$.

$x_3 = 2$ и $x_4 = -3$.

Проверим, соответствуют ли эти корни условию случая ($x < 1$):

$x_3 = 2$ не удовлетворяет условию, так как $2 \not< 1$. Это посторонний корень.

$x_4 = -3$ удовлетворяет условию, так как $-3 < 1$. Этот корень является решением.

Объединяя решения, полученные в обоих случаях, получаем итоговый ответ.

Ответ: $-3; 5$.

114. a) $\left| \left| \left| x - 1 \right| + 2 \right| - 1 \right| + 1 | = 2;$

б) $2 \left| x + 6 \right| - \left| x \right| - \left| x - 6 \right| = 18;$

в) $\left| 2x - 3 \right| = \left| x^2 - 2x - 6 \right|;$

г) $\left| x + 1 \right| - \left| x \right| + 3 \left| x - 1 \right| - 2 \left| x - 2 \right| = x + 2.$

а)

Решим уравнение $|||x-1|+2|-1|+1|=2$.

Данное уравнение $|A+1|=2$, где $A = |||x-1|+2|-1|$, равносильно двум случаям:

1) $A+1=2$, то есть $|||x-1|+2|-1|=1$.

2) $A+1=-2$, то есть $|||x-1|+2|-1|=-3$. Этот случай не имеет решений, так как значение модуля не может быть отрицательным.

Рассмотрим первый случай: $|||x-1|+2|-1|=1$. Это уравнение, в свою очередь, распадается на два:

1а) $||x-1|+2|-1=1$, что приводит к $||x-1|+2|=2$.

1б) $||x-1|+2|-1=-1$, что приводит к $||x-1|+2|=0$.

Рассмотрим случай 1а). Так как по определению модуля $|x-1| \ge 0$, то выражение $|x-1|+2$ всегда больше или равно 2, то есть положительно. Следовательно, внешний знак модуля можно опустить:

$|x-1|+2=2$

$|x-1|=0$

$x-1=0$

$x=1$

Рассмотрим случай 1б). Так как мы установили, что $|x-1|+2 \ge 2$, то выражение $||x-1|+2|$ не может равняться нулю. В этом случае решений нет.

Таким образом, единственным решением исходного уравнения является $x=1$.

Ответ: $1$.

б)

Решим уравнение $2|x+6|-|x|-|x-6|=18$.

Воспользуемся методом интервалов. Найдём точки, в которых выражения под модулем обращаются в ноль: $x=-6, x=0, x=6$. Эти точки делят числовую ось на четыре интервала.

1. При $x < -6$:

Все подмодульные выражения отрицательны: $|x+6|=-(x+6)$, $|x|=-x$, $|x-6|=-(x-6)$.

$2(-(x+6)) - (-x) - (-(x-6)) = 18$

$-2x-12+x+x-6 = 18$

$-18 = 18$. Равенство неверно, решений на этом интервале нет.

2. При $-6 \le x < 0$:

$|x+6|=x+6$, $|x|=-x$, $|x-6|=-(x-6)$.

$2(x+6) - (-x) - (-(x-6)) = 18$

$2x+12+x+x-6 = 18$

$4x+6 = 18 \implies 4x=12 \implies x=3$. Полученное значение не входит в рассматриваемый интервал $[-6, 0)$, поэтому оно не является решением.

3. При $0 \le x < 6$:

$|x+6|=x+6$, $|x|=x$, $|x-6|=-(x-6)$.

$2(x+6) - x - (-(x-6)) = 18$

$2x+12-x+x-6 = 18$

$2x+6 = 18 \implies 2x=12 \implies x=6$. Полученное значение не входит в рассматриваемый интервал $[0, 6)$.

4. При $x \ge 6$:

Все подмодульные выражения неотрицательны: $|x+6|=x+6$, $|x|=x$, $|x-6|=x-6$.

$2(x+6) - x - (x-6) = 18$

$2x+12-x-x+6 = 18$

$18 = 18$. Равенство верно для всех значений $x$ из данного интервала.

Следовательно, решением уравнения является множество всех чисел $x$ таких, что $x \ge 6$.

Ответ: $[6, \infty)$.

в)

Решим уравнение $|2x-3|=|x^2-2x-6|$.

Уравнение вида $|A|=|B|$ равносильно совокупности двух уравнений: $A=B$ или $A=-B$.

1. $2x-3 = x^2-2x-6$

$x^2-4x-3 = 0$

Найдём корни с помощью дискриминанта: $D = (-4)^2-4(1)(-3) = 16+12=28$.

$x_{1,2} = \frac{4 \pm \sqrt{28}}{2} = \frac{4 \pm 2\sqrt{7}}{2} = 2 \pm \sqrt{7}$.

2. $2x-3 = -(x^2-2x-6)$

$2x-3 = -x^2+2x+6$

$x^2-9 = 0$

$x^2 = 9$

$x_{3,4} = \pm 3$.

Объединяя полученные корни, получаем четыре решения.

Ответ: $\{-3, 3, 2-\sqrt{7}, 2+\sqrt{7}\}$.

г)

Решим уравнение $|x+1|-|x|+3|x-1|-2|x-2|=x+2$.

Используем метод интервалов. Нули подмодульных выражений: $x=-1, x=0, x=1, x=2$. Раскроем модули на каждом из пяти полученных интервалов.

1. При $x < -1$:

$-(x+1) - (-x) + 3(-(x-1)) - 2(-(x-2)) = x+2$

$-x-1+x-3x+3+2x-4 = x+2$

$-x-2 = x+2 \implies -2x=4 \implies x=-2$. Корень $x=-2$ принадлежит интервалу $(-\infty, -1)$.

2. При $-1 \le x < 0$:

$(x+1) - (-x) + 3(-(x-1)) - 2(-(x-2)) = x+2$

$x+1+x-3x+3+2x-4 = x+2$

$x=x+2 \implies 0=2$. Решений нет.

3. При $0 \le x < 1$:

$(x+1) - x + 3(-(x-1)) - 2(-(x-2)) = x+2$

$1-3x+3+2x-4 = x+2$

$-x = x+2 \implies -2x=2 \implies x=-1$. Корень не принадлежит интервалу $[0, 1)$.

4. При $1 \le x < 2$:

$(x+1) - x + 3(x-1) - 2(-(x-2)) = x+2$

$1+3x-3+2x-4 = x+2$

$5x-6 = x+2 \implies 4x=8 \implies x=2$. Корень не принадлежит интервалу $[1, 2)$.

5. При $x \ge 2$:

$(x+1) - x + 3(x-1) - 2(x-2) = x+2$

$1+3x-3-2x+4 = x+2$

$x+2 = x+2$. Равенство верно для всех $x$ из данного интервала.

Объединяя результаты, получаем, что решением является точка $x=-2$ и промежуток $[2, \infty)$.

Ответ: $\{-2\} \cup [2, \infty)$.

Решите неравенства (115—118).

115. a) $(x^2 + 3x + 1)(x^2 + 3x - 3) \geq 5;$

б) $\frac{3(x-1)(x+2)^2}{(x^2 + 1)(x+1)^2(x-2)} \geq 0;$

а) Решим неравенство $(x^2 + 3x + 1)(x^2 + 3x - 3) \ge 5$.

Заметим, что выражение $x^2 + 3x$ повторяется в обеих скобках. Сделаем замену переменной, чтобы упростить неравенство. Пусть $t = x^2 + 3x$.

Подставив $t$ в исходное неравенство, получим:

$(t + 1)(t - 3) \ge 5$

Раскроем скобки и приведем неравенство к стандартному виду:

$t^2 - 3t + t - 3 \ge 5$

$t^2 - 2t - 3 - 5 \ge 0$

$t^2 - 2t - 8 \ge 0$

Теперь решим это квадратное неравенство относительно $t$. Сначала найдем корни соответствующего уравнения $t^2 - 2t - 8 = 0$. Используя теорему Виета, находим корни $t_1 = 4$ и $t_2 = -2$.

Парабола $y = t^2 - 2t - 8$ ветвями направлена вверх, поэтому неравенство $t^2 - 2t - 8 \ge 0$ выполняется, когда $t$ находится вне интервала между корнями, включая сами корни. Таким образом, решение для $t$:

$t \le -2$ или $t \ge 4$.

Теперь вернемся к исходной переменной $x$. Получаем совокупность двух неравенств:

1) $x^2 + 3x \le -2$

2) $x^2 + 3x \ge 4$

Решим каждое неравенство отдельно.

1) $x^2 + 3x + 2 \le 0$.

Корни уравнения $x^2 + 3x + 2 = 0$ равны $x_1 = -2$ и $x_2 = -1$. Парабола $y = x^2 + 3x + 2$ направлена вверх, поэтому неравенство $\le 0$ выполняется между корнями, включая их. Решение: $-2 \le x \le -1$, или $x \in [-2; -1]$.

2) $x^2 + 3x - 4 \ge 0$.

Корни уравнения $x^2 + 3x - 4 = 0$ равны $x_1 = -4$ и $x_2 = 1$. Парабола $y = x^2 + 3x - 4$ направлена вверх, поэтому неравенство $\ge 0$ выполняется вне интервала между корнями, включая их. Решение: $x \le -4$ или $x \ge 1$, или $x \in (-\infty; -4] \cup [1; \infty)$.

Общее решение исходного неравенства является объединением решений этих двух случаев.

Объединяя множества $[-2; -1]$ и $(-\infty; -4] \cup [1; \infty)$, получаем окончательный ответ.

Ответ: $x \in (-\infty; -4] \cup [-2; -1] \cup [1; \infty)$.

б) Решим неравенство $\frac{3(x-1)(x+2)^2}{(x^2+1)(x+1)^2(x-2)} \ge 0$.

Для решения этого дробно-рационального неравенства используем метод интервалов. Сначала проанализируем множители в числителе и знаменателе.

1. Постоянный множитель $3$ положителен и не влияет на знак дроби.

2. Выражение $x^2+1$ всегда положительно при любых действительных значениях $x$, так как $x^2 \ge 0$, следовательно $x^2+1 \ge 1$. Этот множитель также не влияет на знак дроби.

3. Множители в четной степени $(x+2)^2$ и $(x+1)^2$ всегда неотрицательны (т.е. $\ge 0$). Они равны нулю в точках $x=-2$ и $x=-1$ соответственно. При переходе через эти точки знак неравенства не меняется, но эти точки являются особыми и их нужно учесть.

Таким образом, знак левой части неравенства совпадает со знаком выражения $\frac{x-1}{x-2}$.

Найдем нули числителя и знаменателя исходной дроби (критические точки):

• Нули числителя: $x-1=0 \Rightarrow x=1$; $(x+2)^2=0 \Rightarrow x=-2$. В этих точках дробь равна 0 (если знаменатель не равен 0). Так как неравенство нестрогое ($\ge$), эти точки войдут в ответ, если они не являются нулями знаменателя.
• Нули знаменателя: $x-2=0 \Rightarrow x=2$; $(x+1)^2=0 \Rightarrow x=-1$. В этих точках дробь не определена, поэтому они должны быть исключены из решения (выколотые точки).

Отметим на числовой оси все критические точки: $-2, -1, 1, 2$. Точки $x=1$ и $x=-2$ будут закрашенными, а $x=-1$ и $x=2$ — выколотыми.

Определим знак выражения на каждом из полученных интервалов. Знак меняется только при переходе через корни нечетной кратности ($x=1$ и $x=2$). Через корни четной кратности ($x=-2$ и $x=-1$) знак не меняется.

Возьмем пробную точку из крайнего правого интервала $(2; \infty)$, например $x=3$.

$\frac{3(3-1)(3+2)^2}{(3^2+1)(3+1)^2(3-2)} = \frac{3 \cdot 2 \cdot 5^2}{10 \cdot 4^2 \cdot 1} > 0$. Значит, на интервале $(2; \infty)$ выражение положительно.

Двигаясь справа налево по числовой оси:

• При переходе через $x=2$ (корень нечетной кратности) знак меняется на «−». Интервал $(1; 2)$ имеет знак «−».
• При переходе через $x=1$ (корень нечетной кратности) знак меняется на «+». Интервал $(-1; 1)$ имеет знак «+».
• При переходе через $x=-1$ (корень четной кратности) знак не меняется. Интервал $(-2; -1)$ имеет знак «+».
• При переходе через $x=-2$ (корень четной кратности) знак не меняется. Интервал $(-\infty; -2)$ имеет знак «+».

Нам нужны интервалы, где выражение $\ge 0$. Это интервалы со знаком «+» и точки, где выражение равно 0.

Интервалы со знаком «+»: $(-\infty; -2)$, $(-2; -1)$, $(-1; 1)$, $(2; \infty)$.

Точки, где выражение равно 0: $x=1$ и $x=-2$.

Объединим полученные множества:

$(-\infty; -2) \cup \{-2\} \cup (-2; -1) \cup (-1; 1) \cup \{1\} \cup (2; \infty)$

Это можно записать в более компактном виде:

$(-\infty; -1) \cup (-1; 1] \cup (2; \infty)$

Ответ: $x \in (-\infty; -1) \cup (-1; 1] \cup (2; \infty)$.

116. a) $x^4 + 3x^3 + 2x^2 + 3x + 1 > 0;

б) $(x - 1)(x - 3)(x - 4)(x - 6) \geq 17.

а) $x^4 + 3x^3 + 2x^2 + 3x + 1 > 0$

Данное неравенство содержит симметричный многочлен четвёртой степени, так как его коэффициенты (1, 3, 2, 3, 1) симметричны.

Заметим, что $x=0$ не является корнем уравнения $x^4 + 3x^3 + 2x^2 + 3x + 1 = 0$, так как при подстановке $x=0$ получаем $1=0$, что неверно. Следовательно, можно разделить левую часть неравенства на $x^2$. Поскольку $x^2 > 0$ для всех $x \ne 0$, знак неравенства не изменится.

$x^2 + 3x + 2 + \frac{3}{x} + \frac{1}{x^2} > 0$

Сгруппируем слагаемые:

$(x^2 + \frac{1}{x^2}) + (3x + \frac{3}{x}) + 2 > 0$

$(x^2 + \frac{1}{x^2}) + 3(x + \frac{1}{x}) + 2 > 0$

Сделаем замену переменной. Пусть $y = x + \frac{1}{x}$. Тогда $y^2 = (x + \frac{1}{x})^2 = x^2 + 2 + \frac{1}{x^2}$, откуда $x^2 + \frac{1}{x^2} = y^2 - 2$.

Подставим в неравенство:

$(y^2 - 2) + 3y + 2 > 0$

$y^2 + 3y > 0$

Это неравенство можно представить в виде $(x^2+1)(x^2+3x+1) > 0$. Множитель $(x^2+1)$ всегда положителен при любых действительных $x$. Следовательно, неравенство равносильно следующему:

$x^2 + 3x + 1 > 0$

Найдем корни квадратного трехчлена $x^2 + 3x + 1 = 0$.

Дискриминант $D = b^2 - 4ac = 3^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1 = 9 - 4 = 5$.

Корни уравнения: $x_1 = \frac{-3 - \sqrt{5}}{2}$ и $x_2 = \frac{-3 + \sqrt{5}}{2}$.

Парабола $y = x^2 + 3x + 1$ направлена ветвями вверх, поэтому трехчлен принимает положительные значения при $x$, находящихся вне интервала между корнями.

Следовательно, решение неравенства:

$x \in (-\infty, \frac{-3 - \sqrt{5}}{2}) \cup (\frac{-3 + \sqrt{5}}{2}, \infty)$.

Ответ: $(-\infty, \frac{-3 - \sqrt{5}}{2}) \cup (\frac{-3 + \sqrt{5}}{2}, \infty)$

б) $(x - 1)(x - 3)(x - 4)(x - 6) \geq 17$

Сгруппируем множители так, чтобы получить одинаковые выражения после раскрытия скобок. Заметим, что $(-1) + (-6) = -7$ и $(-3) + (-4) = -7$. Поэтому перемножим первую скобку с четвертой, а вторую с третьей.

$[(x - 1)(x - 6)] \cdot [(x - 3)(x - 4)] \geq 17$

$(x^2 - 7x + 6)(x^2 - 7x + 12) \geq 17$

Сделаем замену переменной. Пусть $t = x^2 - 7x$. Тогда неравенство примет вид:

$(t + 6)(t + 12) \geq 17$

Раскроем скобки и решим полученное квадратное неравенство относительно $t$:

$t^2 + 12t + 6t + 72 \geq 17$

$t^2 + 18t + 55 \geq 0$

Найдем корни уравнения $t^2 + 18t + 55 = 0$.

Используем формулу для корней квадратного уравнения с четным вторым коэффициентом:

$t_{1,2} = -9 \pm \sqrt{9^2 - 55} = -9 \pm \sqrt{81 - 55} = -9 \pm \sqrt{26}$.

Парабола $y = t^2 + 18t + 55$ направлена ветвями вверх, поэтому неравенство выполняется, когда $t$ находится вне интервала между корнями:

$t \leq -9 - \sqrt{26}$ или $t \geq -9 + \sqrt{26}$.

Теперь выполним обратную замену.

Случай 1: $x^2 - 7x \leq -9 - \sqrt{26}$

$x^2 - 7x + 9 + \sqrt{26} \leq 0$

Найдем дискриминант этого квадратного трехчлена:

$D_x = (-7)^2 - 4(9 + \sqrt{26}) = 49 - 36 - 4\sqrt{26} = 13 - 4\sqrt{26}$.

Так как $\sqrt{26} > \sqrt{16/9 \cdot 13/4}$, нет, проще: $\sqrt{26} > \sqrt{25}=5$, то $4\sqrt{26} > 20$.

Следовательно, $D_x = 13 - 4\sqrt{26} < 13 - 20 = -7 < 0$.

Поскольку дискриминант отрицателен, а старший коэффициент положителен, трехчлен $x^2 - 7x + 9 + \sqrt{26}$ всегда положителен. Значит, неравенство $x^2 - 7x + 9 + \sqrt{26} \leq 0$ не имеет действительных решений.

Случай 2: $x^2 - 7x \geq -9 + \sqrt{26}$

$x^2 - 7x + 9 - \sqrt{26} \geq 0$

Найдем дискриминант этого квадратного трехчлена:

$D_x = (-7)^2 - 4(9 - \sqrt{26}) = 49 - 36 + 4\sqrt{26} = 13 + 4\sqrt{26}$.

Так как $D_x > 0$, уравнение $x^2 - 7x + 9 - \sqrt{26} = 0$ имеет два корня:

$x_{1,2} = \frac{7 \pm \sqrt{13 + 4\sqrt{26}}}{2}$.

Парабола $y = x^2 - 7x + 9 - \sqrt{26}$ направлена ветвями вверх, поэтому неравенство выполняется при значениях $x$ вне интервала между корнями.

$x \leq \frac{7 - \sqrt{13 + 4\sqrt{26}}}{2}$ или $x \geq \frac{7 + \sqrt{13 + 4\sqrt{26}}}{2}$.

Это и есть решение исходного неравенства.

Ответ: $(-\infty, \frac{7 - \sqrt{13 + 4\sqrt{26}}}{2}] \cup [\frac{7 + \sqrt{13 + 4\sqrt{26}}}{2}, \infty)$

117. a) $x^{18} - x^{13} + x^{10} - x^{7} + x^{2} - x + 1 > 0;$

б) $x^{12} - x^{9} + x^{4} - x + 1 < 0.$

а) Рассмотрим неравенство $x^{18} - x^{13} + x^{10} - x^7 + x^2 - x + 1 > 0$.

Обозначим левую часть неравенства как $P(x) = x^{18} - x^{13} + x^{10} - x^7 + x^2 - x + 1$. Разобьем решение на три случая в зависимости от значения $x$.

1. Пусть $x \ge 1$. Сгруппируем слагаемые следующим образом:

$P(x) = (x^{18} - x^{13}) + (x^{10} - x^7) + (x^2 - x) + 1 = x^{13}(x^5 - 1) + x^7(x^3 - 1) + x(x - 1) + 1$.

Поскольку $x \ge 1$, то $x^5 - 1 \ge 0$, $x^3 - 1 \ge 0$, и $x - 1 \ge 0$. Также $x^{13} > 0$, $x^7 > 0$ и $x > 0$.

Следовательно, каждое из произведений $x^{13}(x^5 - 1)$, $x^7(x^3 - 1)$ и $x(x - 1)$ является неотрицательным. Сумма нескольких неотрицательных слагаемых и положительного числа 1 всегда будет положительной.

Таким образом, $P(x) \ge 0 + 0 + 0 + 1 = 1$, то есть $P(x) > 0$.

2. Пусть $0 \le x < 1$. В этом случае применим другую группировку:

$P(x) = x^{18} + (x^{10} - x^{13}) + (x^2 - x^7) + (1 - x) = x^{18} + x^{10}(1 - x^3) + x^2(1 - x^5) + (1 - x)$.

Для $0 \le x < 1$ справедливы следующие неравенства: $x^{18} \ge 0$, $x^{10} \ge 0$, $1 - x^3 > 0$, $x^2 \ge 0$, $1 - x^5 > 0$ и $1 - x > 0$.

Все слагаемые в выражении $x^{18} + x^{10}(1 - x^3) + x^2(1 - x^5) + (1 - x)$ неотрицательны, а последнее слагаемое $(1 - x)$ строго положительно. Следовательно, их сумма $P(x)$ также строго положительна.

3. Пусть $x < 0$. Сделаем замену $x = -y$, где $y > 0$.

$P(x) = P(-y) = (-y)^{18} - (-y)^{13} + (-y)^{10} - (-y)^7 + (-y)^2 - (-y) + 1 = y^{18} + y^{13} + y^{10} + y^7 + y^2 + y + 1$.

Так как $y > 0$, все степени $y$ положительны. Таким образом, $P(x)$ представляет собой сумму семи положительных слагаемых, результат которой очевидно положителен.

Мы показали, что выражение в левой части неравенства положительно при любых действительных значениях $x$.

Ответ: $x \in (-\infty; +\infty)$.

б) Рассмотрим неравенство $x^{12} - x^9 + x^4 - x + 1 < 0$.

Обозначим левую часть как $Q(x) = x^{12} - x^9 + x^4 - x + 1$. Проанализируем это выражение для различных значений $x$.

1. Пусть $x \ge 1$. Сгруппируем слагаемые:

$Q(x) = (x^{12} - x^9) + (x^4 - x) + 1 = x^9(x^3 - 1) + x(x^3 - 1) + 1$.

При $x \ge 1$, выражение $x^3 - 1 \ge 0$. Так как $x^9 > 0$ и $x > 0$, слагаемые $x^9(x^3 - 1)$ и $x(x^3 - 1)$ неотрицательны.

Следовательно, $Q(x) \ge 0 + 0 + 1 = 1$. В этом случае $Q(x)$ не может быть меньше нуля.

2. Пусть $0 \le x < 1$. Используем другую группировку:

$Q(x) = x^{12} + (x^4 - x^9) + (1 - x) = x^{12} + x^4(1 - x^5) + (1 - x)$.

При $0 \le x < 1$ справедливы неравенства: $x^{12} \ge 0$, $x^4 \ge 0$, $1 - x^5 > 0$ и $1 - x > 0$.

Таким образом, слагаемые $x^{12}$ и $x^4(1-x^5)$ неотрицательны, а слагаемое $(1-x)$ строго положительно. Их сумма $Q(x)$ всегда будет строго положительной. Значит, и в этом случае $Q(x)$ не может быть меньше нуля.

3. Пусть $x < 0$. Сделаем замену $x = -y$, где $y > 0$.

$Q(x) = Q(-y) = (-y)^{12} - (-y)^9 + (-y)^4 - (-y) + 1 = y^{12} + y^9 + y^4 + y + 1$.

Поскольку $y > 0$, все слагаемые в правой части положительны. Их сумма, очевидно, больше нуля.

Таким образом, мы показали, что выражение $Q(x)$ положительно при любых действительных значениях $x$. Следовательно, неравенство $Q(x) < 0$ не имеет решений.

Ответ: $\emptyset$ (нет решений).

118. a) $|x^2 - 2x| < x$;

б) $3x^2 - |x - 3| > 9x - 2$.

а) $|x^2 - 2x| < x$

Поскольку модуль числа всегда неотрицателен, правая часть неравенства должна быть строго положительной, чтобы неравенство имело решение. Следовательно, $x > 0$. Это область допустимых значений (ОДЗ).

Для $x > 0$ неравенство $|x^2 - 2x| < x$ равносильно двойному неравенству:

$-x < x^2 - 2x < x$

Это, в свою очередь, равносильно системе из двух неравенств:

$\begin{cases} x^2 - 2x < x \\ x^2 - 2x > -x \end{cases}$

Решим каждое неравенство системы.

1) $x^2 - 2x < x$
$x^2 - 3x < 0$
$x(x - 3) < 0$
Корни уравнения $x(x - 3) = 0$ равны $x_1 = 0$, $x_2 = 3$. Ветви параболы $y = x^2 - 3x$ направлены вверх, поэтому неравенство выполняется между корнями.
Решение: $x \in (0, 3)$.

2) $x^2 - 2x > -x$
$x^2 - x > 0$
$x(x - 1) > 0$
Корни уравнения $x(x - 1) = 0$ равны $x_1 = 0$, $x_2 = 1$. Ветви параболы $y = x^2 - x$ направлены вверх, поэтому неравенство выполняется вне интервала между корнями.
Решение: $x \in (-\infty, 0) \cup (1, \infty)$.

Теперь найдем пересечение решений обоих неравенств с учетом ОДЗ ($x > 0$).

$\begin{cases} x > 0 \\ 0 < x < 3 \\ x \in (-\infty, 0) \cup (1, \infty) \end{cases}$

Из первых двух условий получаем $x \in (0, 3)$. Пересекая этот интервал с решением второго неравенства $x \in (-\infty, 0) \cup (1, \infty)$, получаем итоговое решение: $x \in (1, 3)$.

Ответ: $x \in (1, 3)$.

б) $3x^2 - |x - 3| > 9x - 2$

Раскроем модуль, рассмотрев два случая.

Случай 1: Подмодульное выражение неотрицательно.

$x - 3 \ge 0 \Rightarrow x \ge 3$. В этом случае $|x - 3| = x - 3$. Неравенство принимает вид:

$3x^2 - (x - 3) > 9x - 2$
$3x^2 - x + 3 > 9x - 2$
$3x^2 - 10x + 5 > 0$

Найдем корни квадратного трехчлена $3x^2 - 10x + 5 = 0$.
Дискриминант $D = (-10)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 5 = 100 - 60 = 40$.
Корни: $x_{1,2} = \frac{10 \pm \sqrt{40}}{6} = \frac{10 \pm 2\sqrt{10}}{6} = \frac{5 \pm \sqrt{10}}{3}$.
Ветви параболы направлены вверх, значит, неравенство $3x^2 - 10x + 5 > 0$ выполняется при $x \in (-\infty, \frac{5 - \sqrt{10}}{3}) \cup (\frac{5 + \sqrt{10}}{3}, \infty)$.

Найдем пересечение этого решения с условием $x \ge 3$. Сравним $\frac{5 + \sqrt{10}}{3}$ и $3$. $5 + \sqrt{10}$ и $9$. $\sqrt{10}$ и $4$. $10 < 16$, значит $\sqrt{10} < 4$. Следовательно, $5 + \sqrt{10} < 9$, и $\frac{5 + \sqrt{10}}{3} < 3$. Таким образом, интервал $(\frac{5 + \sqrt{10}}{3}, \infty)$ пересекается с $x \ge 3$ на промежутке $[3, \infty)$. Решение в первом случае: $x \in [3, \infty)$.

Случай 2: Подмодульное выражение отрицательно.

$x - 3 < 0 \Rightarrow x < 3$. В этом случае $|x - 3| = -(x - 3) = 3 - x$. Неравенство принимает вид:

$3x^2 - (3 - x) > 9x - 2$
$3x^2 - 3 + x > 9x - 2$
$3x^2 - 8x - 1 > 0$

Найдем корни квадратного трехчлена $3x^2 - 8x - 1 = 0$.
Дискриминант $D = (-8)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-1) = 64 + 12 = 76$.
Корни: $x_{3,4} = \frac{8 \pm \sqrt{76}}{6} = \frac{8 \pm 2\sqrt{19}}{6} = \frac{4 \pm \sqrt{19}}{3}$.
Ветви параболы направлены вверх, значит, неравенство $3x^2 - 8x - 1 > 0$ выполняется при $x \in (-\infty, \frac{4 - \sqrt{19}}{3}) \cup (\frac{4 + \sqrt{19}}{3}, \infty)$.

Найдем пересечение этого решения с условием $x < 3$. Сравним $\frac{4 + \sqrt{19}}{3}$ и $3$. $4 + \sqrt{19}$ и $9$. $\sqrt{19}$ и $5$. $19 < 25$, значит $\sqrt{19} < 5$. Следовательно, $4 + \sqrt{19} < 9$, и $\frac{4 + \sqrt{19}}{3} < 3$. Корень $\frac{4 - \sqrt{19}}{3}$ очевидно меньше 3, так как он отрицателен. Пересечение множества $(-\infty, \frac{4 - \sqrt{19}}{3}) \cup (\frac{4 + \sqrt{19}}{3}, \infty)$ с условием $x < 3$ дает нам $x \in (-\infty, \frac{4 - \sqrt{19}}{3}) \cup (\frac{4 + \sqrt{19}}{3}, 3)$. Решение во втором случае: $x \in (-\infty, \frac{4 - \sqrt{19}}{3}) \cup (\frac{4 + \sqrt{19}}{3}, 3)$.

Объединим решения, полученные в обоих случаях:

$x \in \left( (-\infty, \frac{4 - \sqrt{19}}{3}) \cup (\frac{4 + \sqrt{19}}{3}, 3) \right) \cup [3, \infty)$

Объединяя $(\frac{4 + \sqrt{19}}{3}, 3)$ и $[3, \infty)$, получаем $(\frac{4 + \sqrt{19}}{3}, \infty)$. Итоговое решение: $x \in (-\infty, \frac{4 - \sqrt{19}}{3}) \cup (\frac{4 + \sqrt{19}}{3}, \infty)$.

Ответ: $x \in (-\infty, \frac{4 - \sqrt{19}}{3}) \cup (\frac{4 + \sqrt{19}}{3}, \infty)$.

119. Докажите неравенство:

а) $ \frac{a+b}{2} \ge \sqrt{ab} (a > 0, b > 0); $

б) $ a + \frac{1}{a} \ge 2 (a > 0); $

в) $ \frac{a+b+c+d}{4} \ge \sqrt[4]{abcd} (a, b, c, d - \text{положительные числа}); $

г) $ \frac{a+b+c}{3} \ge \sqrt[3]{abc} (a > 0, b > 0, c > 0). $

Все представленные неравенства являются частными случаями неравенства о средних арифметическом и геометрическом (неравенство Коши). Докажем каждое из них.

а)

Необходимо доказать, что для любых положительных чисел $a$ и $b$ выполняется неравенство $\frac{a+b}{2} \ge \sqrt{ab}$.

Рассмотрим квадрат разности чисел $\sqrt{a}$ и $\sqrt{b}$. Так как $a > 0$ и $b > 0$, то $\sqrt{a}$ и $\sqrt{b}$ являются действительными числами. Квадрат любого действительного числа неотрицателен, поэтому:
$(\sqrt{a} - \sqrt{b})^2 \ge 0$

Раскроем скобки, используя формулу квадрата разности:
$(\sqrt{a})^2 - 2\sqrt{a}\sqrt{b} + (\sqrt{b})^2 \ge 0$
$a - 2\sqrt{ab} + b \ge 0$

Перенесем слагаемое $-2\sqrt{ab}$ в правую часть неравенства, изменив его знак:
$a + b \ge 2\sqrt{ab}$

Разделим обе части неравенства на 2. Так как 2 — положительное число, знак неравенства не изменится:
$\frac{a+b}{2} \ge \sqrt{ab}$

Неравенство доказано. Равенство достигается в том случае, если $(\sqrt{a} - \sqrt{b})^2 = 0$, то есть когда $\sqrt{a} = \sqrt{b}$, что эквивалентно $a = b$.

Ответ: Неравенство доказано.

б)

Необходимо доказать, что для любого $a > 0$ выполняется неравенство $a + \frac{1}{a} \ge 2$.

Это неравенство является прямым следствием неравенства, доказанного в пункте а). Возьмем в качестве второго числа $b = \frac{1}{a}$. Так как $a > 0$, то и $b = \frac{1}{a} > 0$.

Применим неравенство о среднем арифметическом и среднем геометрическом для $a$ и $\frac{1}{a}$:
$\frac{a + \frac{1}{a}}{2} \ge \sqrt{a \cdot \frac{1}{a}}$

Упростим правую часть неравенства:
$\sqrt{a \cdot \frac{1}{a}} = \sqrt{1} = 1$

Таким образом, получаем:
$\frac{a + \frac{1}{a}}{2} \ge 1$

Умножим обе части неравенства на 2:
$a + \frac{1}{a} \ge 2$

Неравенство доказано. Равенство достигается, когда $a = b$, то есть $a = \frac{1}{a}$, что дает $a^2 = 1$. Поскольку $a > 0$, равенство выполняется при $a = 1$.

Ответ: Неравенство доказано.

в)

Необходимо доказать, что для любых положительных чисел $a, b, c, d$ выполняется неравенство $\frac{a+b+c+d}{4} \ge \sqrt[4]{abcd}$.

Для доказательства воспользуемся уже доказанным неравенством из пункта а). Применим его дважды.
Сначала для пар чисел $(a, b)$ и $(c, d)$:
1) $\frac{a+b}{2} \ge \sqrt{ab}$
2) $\frac{c+d}{2} \ge \sqrt{cd}$

Теперь применим неравенство а) к левым частям полученных неравенств. Пусть $x = \frac{a+b}{2}$ и $y = \frac{c+d}{2}$. Так как $a, b, c, d$ положительны, то и $x, y$ положительны.
$\frac{x+y}{2} \ge \sqrt{xy}$

Подставим в левую часть выражения для $x$ и $y$:
$\frac{x+y}{2} = \frac{\frac{a+b}{2} + \frac{c+d}{2}}{2} = \frac{a+b+c+d}{4}$

Теперь рассмотрим правую часть. Так как $x \ge \sqrt{ab}$ и $y \ge \sqrt{cd}$, и все части неравенств положительны, то $xy \ge \sqrt{ab}\sqrt{cd} = \sqrt{abcd}$. Следовательно:
$\sqrt{xy} \ge \sqrt{\sqrt{abcd}} = \sqrt[4]{abcd}$

Собирая все вместе, получаем:
$\frac{a+b+c+d}{4} = \frac{x+y}{2} \ge \sqrt{xy} \ge \sqrt[4]{abcd}$

Таким образом, $\frac{a+b+c+d}{4} \ge \sqrt[4]{abcd}$. Неравенство доказано. Равенство достигается, когда во всех использованных неравенствах достигается равенство, то есть когда $a=b$, $c=d$ и $x=y$. Условие $x=y$ означает $\frac{a+b}{2} = \frac{c+d}{2}$. Совместно эти условия выполняются только при $a=b=c=d$.

Ответ: Неравенство доказано.

г)

Необходимо доказать, что для любых положительных чисел $a, b, c$ выполняется неравенство $\frac{a+b+c}{3} \ge \sqrt[3]{abc}$.

Для доказательства воспользуемся уже доказанным неравенством из пункта в) для четырех чисел. Этот метод называется обратной индукцией Коши.

Рассмотрим четыре положительных числа: $a, b, c$ и $d = \frac{a+b+c}{3}$. Среднее арифметическое этих трех чисел также является положительным числом.

Применим к этим четырем числам неравенство из пункта в):
$\frac{a+b+c+d}{4} \ge \sqrt[4]{abcd}$

Подставим $d = \frac{a+b+c}{3}$ в это неравенство:
$\frac{a+b+c+\frac{a+b+c}{3}}{4} \ge \sqrt[4]{abc \cdot \frac{a+b+c}{3}}$

Упростим левую часть:
$\frac{\frac{3(a+b+c) + (a+b+c)}{3}}{4} = \frac{\frac{4(a+b+c)}{3}}{4} = \frac{a+b+c}{3}$

Теперь неравенство имеет вид:
$\frac{a+b+c}{3} \ge \sqrt[4]{abc \cdot \frac{a+b+c}{3}}$

Обозначим среднее арифметическое $M = \frac{a+b+c}{3}$. Тогда неравенство можно переписать как:
$M \ge \sqrt[4]{abc \cdot M}$

Поскольку обе части неравенства положительны, мы можем возвести их в 4-ю степень, сохранив знак неравенства:
$M^4 \ge abc \cdot M$

Так как $M > 0$, мы можем разделить обе части на $M$:
$M^3 \ge abc$

Извлечем кубический корень из обеих частей. Функция кубического корня является возрастающей, поэтому знак неравенства сохраняется:
$M \ge \sqrt[3]{abc}$

Подставив обратно значение $M$, получаем искомое неравенство:
$\frac{a+b+c}{3} \ge \sqrt[3]{abc}$

Неравенство доказано. Равенство достигается, когда все четыре числа, для которых мы применяли неравенство, равны: $a=b=c=d$. Поскольку $d=\frac{a+b+c}{3}$, это означает, что $a=b=c$.

Ответ: Неравенство доказано.

Докажите неравенства (120–124).

120.а) $a^2 + b^2 + c^2 \ge ab + ac + bc;$

б) $(a + b) (b + c) (c + a) \ge 8abc (a \ge 0, b \ge 0, c \ge 0);$

в) если $a + b + c = 1$, то $a^2 + b^2 + c^2 \ge \frac{1}{3};$

г) $a^4 + b^4 + c^4 \ge abc (a + b + c).$

а) $a^2 + b^2 + c^2 \ge ab + ac + bc$

Для доказательства перенесем все члены неравенства в левую часть:

$a^2 + b^2 + c^2 - ab - ac - bc \ge 0$

Умножим обе части неравенства на 2. Так как 2 > 0, знак неравенства не изменится:

$2a^2 + 2b^2 + 2c^2 - 2ab - 2ac - 2bc \ge 0$

Сгруппируем члены таким образом, чтобы можно было выделить полные квадраты разностей:

$(a^2 - 2ab + b^2) + (a^2 - 2ac + c^2) + (b^2 - 2bc + c^2) \ge 0$

Запишем сгруппированные члены в виде квадратов:

$(a - b)^2 + (a - c)^2 + (b - c)^2 \ge 0$

Квадрат любого действительного числа является неотрицательной величиной. Следовательно, $(a - b)^2 \ge 0$, $(a - c)^2 \ge 0$ и $(b - c)^2 \ge 0$. Сумма неотрицательных чисел также неотрицательна. Таким образом, последнее неравенство верно для любых действительных чисел $a, b, c$. Поскольку все преобразования были равносильными, исходное неравенство также верно. Равенство достигается, когда все слагаемые равны нулю, то есть когда $a - b = 0$, $a - c = 0$ и $b - c = 0$, что эквивалентно условию $a = b = c$.

Ответ: Неравенство $a^2 + b^2 + c^2 \ge ab + ac + bc$ доказано.

б) $(a + b)(b + c)(c + a) \ge 8abc$ (при $a \ge 0, b \ge 0, c \ge 0$)

Для доказательства этого неравенства воспользуемся неравенством о среднем арифметическом и среднем геометрическом (неравенство Коши) для двух неотрицательных чисел: $\frac{x+y}{2} \ge \sqrt{xy}$, или $x+y \ge 2\sqrt{xy}$.

Применим это неравенство для пар неотрицательных чисел $(a, b)$, $(b, c)$ и $(c, a)$:

$a + b \ge 2\sqrt{ab}$

$b + c \ge 2\sqrt{bc}$

$c + a \ge 2\sqrt{ca}$

Поскольку все части этих неравенств неотрицательны (так как $a, b, c \ge 0$), мы можем их перемножить, при этом знак неравенства сохранится:

$(a + b)(b + c)(c + a) \ge (2\sqrt{ab})(2\sqrt{bc})(2\sqrt{ca})$

Упростим правую часть полученного неравенства:

$8\sqrt{ab \cdot bc \cdot ca} = 8\sqrt{a^2 b^2 c^2} = 8\sqrt{(abc)^2}$

Так как $a, b, c \ge 0$, то $abc \ge 0$, и следовательно, $\sqrt{(abc)^2} = abc$.

Таким образом, мы получаем искомое неравенство:

$(a + b)(b + c)(c + a) \ge 8abc$

Равенство достигается, когда во всех трех примененных неравенствах Коши достигается равенство, то есть когда $a = b$, $b = c$ и $c = a$, что означает $a = b = c$.

Ответ: Неравенство $(a + b)(b + c)(c + a) \ge 8abc$ для $a \ge 0, b \ge 0, c \ge 0$ доказано.

в) если $a + b + c = 1$, то $a^2 + b^2 + c^2 \ge \frac{1}{3}$

Для доказательства воспользуемся результатом, полученным в пункте а): $a^2 + b^2 + c^2 \ge ab + ac + bc$.

Рассмотрим известную формулу квадрата суммы трех чисел:

$(a + b + c)^2 = a^2 + b^2 + c^2 + 2(ab + ac + bc)$

Из неравенства пункта а) следует, что $ab + ac + bc \le a^2 + b^2 + c^2$. Используя это, мы можем оценить правую часть формулы квадрата суммы сверху:

$(a + b + c)^2 = a^2 + b^2 + c^2 + 2(ab + ac + bc) \le (a^2 + b^2 + c^2) + 2(a^2 + b^2 + c^2)$

$(a + b + c)^2 \le 3(a^2 + b^2 + c^2)$

По условию задачи $a + b + c = 1$. Подставим это значение:

$1^2 \le 3(a^2 + b^2 + c^2)$

$1 \le 3(a^2 + b^2 + c^2)$

Разделив обе части на 3, получим искомое неравенство:

$a^2 + b^2 + c^2 \ge \frac{1}{3}$

Равенство достигается, когда $ab + ac + bc = a^2 + b^2 + c^2$, что, как показано в пункте а), происходит при $a = b = c$. Учитывая условие $a + b + c = 1$, получаем $a = b = c = \frac{1}{3}$.

Ответ: Утверждение "если $a + b + c = 1$, то $a^2 + b^2 + c^2 \ge \frac{1}{3}$" доказано.

г) $a^4 + b^4 + c^4 \ge abc(a + b + c)$

Для доказательства этого неравенства мы дважды применим неравенство из пункта а): $x^2 + y^2 + z^2 \ge xy + yz + zx$.

Шаг 1: Применим это неравенство для $x = a^2, y = b^2, z = c^2$.

$(a^2)^2 + (b^2)^2 + (c^2)^2 \ge a^2b^2 + b^2c^2 + c^2a^2$

$a^4 + b^4 + c^4 \ge a^2b^2 + b^2c^2 + c^2a^2$

Шаг 2: Теперь докажем, что $a^2b^2 + b^2c^2 + c^2a^2 \ge abc(a + b + c)$. Для этого снова применим неравенство из пункта а), но для переменных $x = ab, y = bc, z = ca$.

$(ab)^2 + (bc)^2 + (ca)^2 \ge (ab)(bc) + (bc)(ca) + (ca)(ab)$

$a^2b^2 + b^2c^2 + c^2a^2 \ge ab^2c + abc^2 + a^2bc$

Вынесем общий множитель $abc$ в правой части:

$a^2b^2 + b^2c^2 + c^2a^2 \ge abc(b + c + a)$

Шаг 3: Объединим результаты. Из шага 1 мы имеем $a^4 + b^4 + c^4 \ge a^2b^2 + b^2c^2 + c^2a^2$. Из шага 2 мы имеем $a^2b^2 + b^2c^2 + c^2a^2 \ge abc(a + b + c)$. Используя свойство транзитивности для неравенств, получаем:

$a^4 + b^4 + c^4 \ge a^2b^2 + b^2c^2 + c^2a^2 \ge abc(a + b + c)$

Следовательно, $a^4 + b^4 + c^4 \ge abc(a + b + c)$.

Равенство достигается, когда в обоих примененных неравенствах достигается равенство. Для первого неравенства это $a^2 = b^2 = c^2$. Для второго — $ab = bc = ca$. Совместное выполнение этих условий для действительных чисел возможно тогда и только тогда, когда $a = b = c$.

Ответ: Неравенство $a^4 + b^4 + c^4 \ge abc(a + b + c)$ доказано.