Номер 114, страница 327 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Авторы: Колмогоров А. Н., Абрамов А. М., Дудницын Ю. П.
Тип: Учебник
Издательство: Просвещение
Год издания: 2008 - 2025
Цвет обложки: зелёный, чёрный
ISBN: 978-5-09-019513-3
Рекомендовано Министерством образования и науки Российской Федерации
Алгебра и начала математического анализа
Популярные ГДЗ в 10 классе
Параграф 3. Уравнения, неравенства и системы. Глава 6. Задачи повышенной трудности - номер 114, страница 327.
№114 (с. 327)
Условие. №114 (с. 327)
скриншот условия

114. a) $\left| \left| \left| x - 1 \right| + 2 \right| - 1 \right| + 1 | = 2;$
б) $2 \left| x + 6 \right| - \left| x \right| - \left| x - 6 \right| = 18;$
в) $\left| 2x - 3 \right| = \left| x^2 - 2x - 6 \right|;$
г) $\left| x + 1 \right| - \left| x \right| + 3 \left| x - 1 \right| - 2 \left| x - 2 \right| = x + 2.$
Решение 5. №114 (с. 327)
а)
Решим уравнение $|||x-1|+2|-1|+1|=2$.
Данное уравнение $|A+1|=2$, где $A = |||x-1|+2|-1|$, равносильно двум случаям:
1) $A+1=2$, то есть $|||x-1|+2|-1|=1$.
2) $A+1=-2$, то есть $|||x-1|+2|-1|=-3$. Этот случай не имеет решений, так как значение модуля не может быть отрицательным.
Рассмотрим первый случай: $|||x-1|+2|-1|=1$. Это уравнение, в свою очередь, распадается на два:
1а) $||x-1|+2|-1=1$, что приводит к $||x-1|+2|=2$.
1б) $||x-1|+2|-1=-1$, что приводит к $||x-1|+2|=0$.
Рассмотрим случай 1а). Так как по определению модуля $|x-1| \ge 0$, то выражение $|x-1|+2$ всегда больше или равно 2, то есть положительно. Следовательно, внешний знак модуля можно опустить:
$|x-1|+2=2$
$|x-1|=0$
$x-1=0$
$x=1$
Рассмотрим случай 1б). Так как мы установили, что $|x-1|+2 \ge 2$, то выражение $||x-1|+2|$ не может равняться нулю. В этом случае решений нет.
Таким образом, единственным решением исходного уравнения является $x=1$.
Ответ: $1$.
б)
Решим уравнение $2|x+6|-|x|-|x-6|=18$.
Воспользуемся методом интервалов. Найдём точки, в которых выражения под модулем обращаются в ноль: $x=-6, x=0, x=6$. Эти точки делят числовую ось на четыре интервала.
1. При $x < -6$:
Все подмодульные выражения отрицательны: $|x+6|=-(x+6)$, $|x|=-x$, $|x-6|=-(x-6)$.
$2(-(x+6)) - (-x) - (-(x-6)) = 18$
$-2x-12+x+x-6 = 18$
$-18 = 18$. Равенство неверно, решений на этом интервале нет.
2. При $-6 \le x < 0$:
$|x+6|=x+6$, $|x|=-x$, $|x-6|=-(x-6)$.
$2(x+6) - (-x) - (-(x-6)) = 18$
$2x+12+x+x-6 = 18$
$4x+6 = 18 \implies 4x=12 \implies x=3$. Полученное значение не входит в рассматриваемый интервал $[-6, 0)$, поэтому оно не является решением.
3. При $0 \le x < 6$:
$|x+6|=x+6$, $|x|=x$, $|x-6|=-(x-6)$.
$2(x+6) - x - (-(x-6)) = 18$
$2x+12-x+x-6 = 18$
$2x+6 = 18 \implies 2x=12 \implies x=6$. Полученное значение не входит в рассматриваемый интервал $[0, 6)$.
4. При $x \ge 6$:
Все подмодульные выражения неотрицательны: $|x+6|=x+6$, $|x|=x$, $|x-6|=x-6$.
$2(x+6) - x - (x-6) = 18$
$2x+12-x-x+6 = 18$
$18 = 18$. Равенство верно для всех значений $x$ из данного интервала.
Следовательно, решением уравнения является множество всех чисел $x$ таких, что $x \ge 6$.
Ответ: $[6, \infty)$.
в)
Решим уравнение $|2x-3|=|x^2-2x-6|$.
Уравнение вида $|A|=|B|$ равносильно совокупности двух уравнений: $A=B$ или $A=-B$.
1. $2x-3 = x^2-2x-6$
$x^2-4x-3 = 0$
Найдём корни с помощью дискриминанта: $D = (-4)^2-4(1)(-3) = 16+12=28$.
$x_{1,2} = \frac{4 \pm \sqrt{28}}{2} = \frac{4 \pm 2\sqrt{7}}{2} = 2 \pm \sqrt{7}$.
2. $2x-3 = -(x^2-2x-6)$
$2x-3 = -x^2+2x+6$
$x^2-9 = 0$
$x^2 = 9$
$x_{3,4} = \pm 3$.
Объединяя полученные корни, получаем четыре решения.
Ответ: $\{-3, 3, 2-\sqrt{7}, 2+\sqrt{7}\}$.
г)
Решим уравнение $|x+1|-|x|+3|x-1|-2|x-2|=x+2$.
Используем метод интервалов. Нули подмодульных выражений: $x=-1, x=0, x=1, x=2$. Раскроем модули на каждом из пяти полученных интервалов.
1. При $x < -1$:
$-(x+1) - (-x) + 3(-(x-1)) - 2(-(x-2)) = x+2$
$-x-1+x-3x+3+2x-4 = x+2$
$-x-2 = x+2 \implies -2x=4 \implies x=-2$. Корень $x=-2$ принадлежит интервалу $(-\infty, -1)$.
2. При $-1 \le x < 0$:
$(x+1) - (-x) + 3(-(x-1)) - 2(-(x-2)) = x+2$
$x+1+x-3x+3+2x-4 = x+2$
$x=x+2 \implies 0=2$. Решений нет.
3. При $0 \le x < 1$:
$(x+1) - x + 3(-(x-1)) - 2(-(x-2)) = x+2$
$1-3x+3+2x-4 = x+2$
$-x = x+2 \implies -2x=2 \implies x=-1$. Корень не принадлежит интервалу $[0, 1)$.
4. При $1 \le x < 2$:
$(x+1) - x + 3(x-1) - 2(-(x-2)) = x+2$
$1+3x-3+2x-4 = x+2$
$5x-6 = x+2 \implies 4x=8 \implies x=2$. Корень не принадлежит интервалу $[1, 2)$.
5. При $x \ge 2$:
$(x+1) - x + 3(x-1) - 2(x-2) = x+2$
$1+3x-3-2x+4 = x+2$
$x+2 = x+2$. Равенство верно для всех $x$ из данного интервала.
Объединяя результаты, получаем, что решением является точка $x=-2$ и промежуток $[2, \infty)$.
Ответ: $\{-2\} \cup [2, \infty)$.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz
ПрисоединитьсяМы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 10-11 класс, для упражнения номер 114 расположенного на странице 327 к учебнику 2008 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №114 (с. 327), авторов: Колмогоров (Андрей Николаевич), Абрамов (Александр Михайлович), Дудницын (Юрий Павлович), учебного пособия издательства Просвещение.