Номер 114, страница 327 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Глава 6. Задачи повышенной трудности. Параграф 3. Уравнения, неравенства и системы - номер 114, страница 327.

Условие.

114. a) $\left| \left| \left| x - 1 \right| + 2 \right| - 1 \right| + 1 | = 2;$

б) $2 \left| x + 6 \right| - \left| x \right| - \left| x - 6 \right| = 18;$

в) $\left| 2x - 3 \right| = \left| x^2 - 2x - 6 \right|;$

г) $\left| x + 1 \right| - \left| x \right| + 3 \left| x - 1 \right| - 2 \left| x - 2 \right| = x + 2.$

Решение 5.

а)

Решим уравнение $|||x-1|+2|-1|+1|=2$.

Данное уравнение $|A+1|=2$, где $A = |||x-1|+2|-1|$, равносильно двум случаям:

1) $A+1=2$, то есть $|||x-1|+2|-1|=1$.

2) $A+1=-2$, то есть $|||x-1|+2|-1|=-3$. Этот случай не имеет решений, так как значение модуля не может быть отрицательным.

Рассмотрим первый случай: $|||x-1|+2|-1|=1$. Это уравнение, в свою очередь, распадается на два:

1а) $||x-1|+2|-1=1$, что приводит к $||x-1|+2|=2$.

1б) $||x-1|+2|-1=-1$, что приводит к $||x-1|+2|=0$.

Рассмотрим случай 1а). Так как по определению модуля $|x-1| \ge 0$, то выражение $|x-1|+2$ всегда больше или равно 2, то есть положительно. Следовательно, внешний знак модуля можно опустить:

$|x-1|+2=2$

$|x-1|=0$

$x-1=0$

$x=1$

Рассмотрим случай 1б). Так как мы установили, что $|x-1|+2 \ge 2$, то выражение $||x-1|+2|$ не может равняться нулю. В этом случае решений нет.

Таким образом, единственным решением исходного уравнения является $x=1$.

Ответ: $1$.

б)

Решим уравнение $2|x+6|-|x|-|x-6|=18$.

Воспользуемся методом интервалов. Найдём точки, в которых выражения под модулем обращаются в ноль: $x=-6, x=0, x=6$. Эти точки делят числовую ось на четыре интервала.

1. При $x < -6$:

Все подмодульные выражения отрицательны: $|x+6|=-(x+6)$, $|x|=-x$, $|x-6|=-(x-6)$.

$2(-(x+6)) - (-x) - (-(x-6)) = 18$

$-2x-12+x+x-6 = 18$

$-18 = 18$. Равенство неверно, решений на этом интервале нет.

2. При $-6 \le x < 0$:

$|x+6|=x+6$, $|x|=-x$, $|x-6|=-(x-6)$.

$2(x+6) - (-x) - (-(x-6)) = 18$

$2x+12+x+x-6 = 18$

$4x+6 = 18 \implies 4x=12 \implies x=3$. Полученное значение не входит в рассматриваемый интервал $[-6, 0)$, поэтому оно не является решением.

3. При $0 \le x < 6$:

$|x+6|=x+6$, $|x|=x$, $|x-6|=-(x-6)$.

$2(x+6) - x - (-(x-6)) = 18$

$2x+12-x+x-6 = 18$

$2x+6 = 18 \implies 2x=12 \implies x=6$. Полученное значение не входит в рассматриваемый интервал $[0, 6)$.

4. При $x \ge 6$:

Все подмодульные выражения неотрицательны: $|x+6|=x+6$, $|x|=x$, $|x-6|=x-6$.

$2(x+6) - x - (x-6) = 18$

$2x+12-x-x+6 = 18$

$18 = 18$. Равенство верно для всех значений $x$ из данного интервала.

Следовательно, решением уравнения является множество всех чисел $x$ таких, что $x \ge 6$.

Ответ: $[6, \infty)$.

в)

Решим уравнение $|2x-3|=|x^2-2x-6|$.

Уравнение вида $|A|=|B|$ равносильно совокупности двух уравнений: $A=B$ или $A=-B$.

1. $2x-3 = x^2-2x-6$

$x^2-4x-3 = 0$

Найдём корни с помощью дискриминанта: $D = (-4)^2-4(1)(-3) = 16+12=28$.

$x_{1,2} = \frac{4 \pm \sqrt{28}}{2} = \frac{4 \pm 2\sqrt{7}}{2} = 2 \pm \sqrt{7}$.

2. $2x-3 = -(x^2-2x-6)$

$2x-3 = -x^2+2x+6$

$x^2-9 = 0$

$x^2 = 9$

$x_{3,4} = \pm 3$.

Объединяя полученные корни, получаем четыре решения.

Ответ: $\{-3, 3, 2-\sqrt{7}, 2+\sqrt{7}\}$.

г)

Решим уравнение $|x+1|-|x|+3|x-1|-2|x-2|=x+2$.

Используем метод интервалов. Нули подмодульных выражений: $x=-1, x=0, x=1, x=2$. Раскроем модули на каждом из пяти полученных интервалов.

1. При $x < -1$:

$-(x+1) - (-x) + 3(-(x-1)) - 2(-(x-2)) = x+2$

$-x-1+x-3x+3+2x-4 = x+2$

$-x-2 = x+2 \implies -2x=4 \implies x=-2$. Корень $x=-2$ принадлежит интервалу $(-\infty, -1)$.

2. При $-1 \le x < 0$:

$(x+1) - (-x) + 3(-(x-1)) - 2(-(x-2)) = x+2$

$x+1+x-3x+3+2x-4 = x+2$

$x=x+2 \implies 0=2$. Решений нет.

3. При $0 \le x < 1$:

$(x+1) - x + 3(-(x-1)) - 2(-(x-2)) = x+2$

$1-3x+3+2x-4 = x+2$

$-x = x+2 \implies -2x=2 \implies x=-1$. Корень не принадлежит интервалу $[0, 1)$.

4. При $1 \le x < 2$:

$(x+1) - x + 3(x-1) - 2(-(x-2)) = x+2$

$1+3x-3+2x-4 = x+2$

$5x-6 = x+2 \implies 4x=8 \implies x=2$. Корень не принадлежит интервалу $[1, 2)$.

5. При $x \ge 2$:

$(x+1) - x + 3(x-1) - 2(x-2) = x+2$

$1+3x-3-2x+4 = x+2$

$x+2 = x+2$. Равенство верно для всех $x$ из данного интервала.

Объединяя результаты, получаем, что решением является точка $x=-2$ и промежуток $[2, \infty)$.

Ответ: $\{-2\} \cup [2, \infty)$.