Номер 102, страница 326 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Параграф 3. Уравнения, неравенства и системы. Глава 6. Задачи повышенной трудности - номер 102, страница 326.

Условие.

102. Докажите, что если уравнения $ax^2 + bx + c = 0$ и $bx^2 + cx + a = 0$ $(a \neq 0)$ имеют общий корень, то и уравнение $cx^2 + ax + b = 0$ имеет тот же корень.

Решение 5.

Пусть $x_0$ — это общий корень уравнений $ax^2 + bx + c = 0$ и $bx^2 + cx + a = 0$. Это означает, что $x_0$ удовлетворяет обоим уравнениям, то есть выполняются следующие равенства:

1) $ax_0^2 + bx_0 + c = 0$

2) $bx_0^2 + cx_0 + a = 0$

Нам нужно доказать, что $x_0$ также является корнем уравнения $cx^2 + ax + b = 0$, то есть что $cx_0^2 + ax_0 + b = 0$.

Сначала покажем, что $x_0 \neq 0$. Предположим, что $x_0 = 0$. Подставив это значение в первое уравнение, получим $a \cdot 0^2 + b \cdot 0 + c = 0$, откуда следует, что $c = 0$. Подставив $x_0 = 0$ во второе уравнение, получим $b \cdot 0^2 + c \cdot 0 + a = 0$, откуда следует, что $a = 0$. Но это противоречит условию задачи, где указано, что $a \neq 0$. Следовательно, наше предположение неверно, и $x_0 \neq 0$.

Теперь, используя равенства (1) и (2), найдем свойство корня $x_0$. Умножим равенство (1) на $x_0$:$x_0(ax_0^2 + bx_0 + c) = 0 \implies ax_0^3 + bx_0^2 + cx_0 = 0$

Из равенства (2) мы знаем, что $bx_0^2 + cx_0 = -a$. Подставим это выражение в преобразованное уравнение (1):$ax_0^3 + (-a) = 0 \implies ax_0^3 - a = 0$

Вынесем $a$ за скобки:$a(x_0^3 - 1) = 0$

Поскольку по условию $a \neq 0$, то должно выполняться равенство:$x_0^3 - 1 = 0 \implies x_0^3 = 1$

Теперь докажем, что $x_0$ является корнем третьего уравнения. Для этого подставим $x_0$ в левую часть уравнения $cx^2 + ax + b = 0$ и покажем, что она равна нулю.Рассмотрим выражение $cx_0^2 + ax_0 + b$. Умножим его на $x_0$ (мы уже установили, что $x_0 \neq 0$):$x_0(cx_0^2 + ax_0 + b) = cx_0^3 + ax_0^2 + bx_0$

Используем найденное свойство $x_0^3 = 1$:$c(1) + ax_0^2 + bx_0 = ax_0^2 + bx_0 + c$

Но из самого первого равенства (1) мы знаем, что $ax_0^2 + bx_0 + c = 0$.Следовательно, мы получаем:$x_0(cx_0^2 + ax_0 + b) = 0$

Так как $x_0 \neq 0$, мы можем разделить обе части этого равенства на $x_0$, получая:$cx_0^2 + ax_0 + b = 0$

Это и означает, что $x_0$ является корнем уравнения $cx^2 + ax + b = 0$. Утверждение доказано.

Ответ: Утверждение доказано. Если уравнения $ax^2 + bx + c = 0$ и $bx^2 + cx + a = 0$ имеют общий корень $x_0$, то, как показано выше, $x_0^3=1$ (при $a \neq 0$). Из этого свойства следует, что $x_0$ также удовлетворяет уравнению $cx^2 + ax + b = 0$, то есть является его корнем.