Номер 95, страница 325 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Авторы: Колмогоров А. Н., Абрамов А. М., Дудницын Ю. П.
Тип: Учебник
Издательство: Просвещение
Год издания: 2008 - 2025
Цвет обложки: зелёный, чёрный
ISBN: 978-5-09-019513-3
Рекомендовано Министерством образования и науки Российской Федерации
Алгебра и начала математического анализа
Популярные ГДЗ в 10 классе
Параграф 2. Элементарные функции и их свойства. Глава 6. Задачи повышенной трудности - номер 95, страница 325.
№95 (с. 325)
Условие. №95 (с. 325)
скриншот условия

95. a) $y^2 + \cos^2 x = 1;$б) $x^2 + y^2 = x^2 y^2 + 1;$в) $|y| = \log_{\frac{1}{3}} \left||x+2| - 1\right|.$
Решение 5. №95 (с. 325)
а) $y^2 + \cos^2 x = 1$
Перенесем $\cos^2 x$ в правую часть уравнения:
$y^2 = 1 - \cos^2 x$
Согласно основному тригонометрическому тождеству, $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$, из которого следует, что $1 - \cos^2 x = \sin^2 x$.
Подставим это выражение в наше уравнение:
$y^2 = \sin^2 x$
Извлекая квадратный корень из обеих частей, получаем:
$|y| = |\sin x|$
Это уравнение эквивалентно совокупности двух функций: $y = \sin x$ и $y = -\sin x$. Таким образом, решением является объединение графиков синусоиды и ее зеркального отражения относительно оси Ox.
Ответ: $|y| = |\sin x|$ (или $y = \pm \sin x$).
б) $x^2 + y^2 = x^2y^2 + 1$
Перенесем все члены уравнения в левую часть:
$x^2 + y^2 - x^2y^2 - 1 = 0$
Сгруппируем слагаемые для последующего разложения на множители:
$(x^2 - 1) + (y^2 - x^2y^2) = 0$
Вынесем общий множитель $-y^2$ из второй скобки:
$(x^2 - 1) - y^2(x^2 - 1) = 0$
Теперь вынесем общий множитель $(x^2 - 1)$ за скобки:
$(x^2 - 1)(1 - y^2) = 0$
Произведение двух множителей равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из них равен нулю. Это приводит к двум независимым уравнениям:
1) $x^2 - 1 = 0 \implies x^2 = 1 \implies x = 1$ или $x = -1$.
2) $1 - y^2 = 0 \implies y^2 = 1 \implies y = 1$ или $y = -1$.
Таким образом, решением является объединение четырех прямых: двух вертикальных ($x=1$, $x=-1$) и двух горизонтальных ($y=1$, $y=-1$).
Ответ: $x = \pm 1$ или $y = \pm 1$.
в) $|y| = \log_{\frac{1}{3}} ||x+2| - 1|$
Для того чтобы уравнение имело решение, необходимо выполнение нескольких условий.
1. Аргумент логарифма должен быть строго положительным:
$||x+2| - 1| > 0$
Это означает, что $|x+2| - 1 \neq 0$, то есть $|x+2| \neq 1$. Отсюда $x+2 \neq 1$ и $x+2 \neq -1$, что дает $x \neq -1$ и $x \neq -3$.
2. Левая часть уравнения $|y|$ всегда неотрицательна ($|y| \ge 0$), следовательно, правая часть также должна быть неотрицательной:
$\log_{\frac{1}{3}} ||x+2| - 1| \ge 0$
Так как основание логарифма $\frac{1}{3}$ находится в интервале $(0, 1)$, логарифмическая функция является убывающей. Поэтому данное неравенство равносильно следующему:
$0 < ||x+2| - 1| \le 1$
Первую часть неравенства ($>0$) мы уже учли. Рассмотрим вторую часть:
$||x+2| - 1| \le 1$
Это двойное неравенство:
$-1 \le |x+2| - 1 \le 1$
Прибавим 1 ко всем частям:
$0 \le |x+2| \le 2$
Неравенство $|x+2| \ge 0$ верно для любого $x$. Неравенство $|x+2| \le 2$ эквивалентно $-2 \le x+2 \le 2$, откуда получаем $-4 \le x \le 0$.
Объединяя все условия, находим область определения для $x$: $x \in [-4, 0]$, при этом $x \neq -1$ и $x \neq -3$.
Область определения: $x \in [-4, -3) \cup (-3, -1) \cup (-1, 0]$.
Исходное уравнение $|y| = f(x)$ распадается на два: $y = f(x)$ и $y = -f(x)$, что означает симметрию графика относительно оси Ox.
Найдем точки пересечения с осью Ox (точки, где $y=0$):
$\log_{\frac{1}{3}} ||x+2| - 1| = 0 \implies ||x+2| - 1| = 1$
Это дает два случая:
а) $|x+2| - 1 = 1 \implies |x+2| = 2 \implies x+2 = \pm 2 \implies x=0$ или $x=-4$.
б) $|x+2| - 1 = -1 \implies |x+2| = 0 \implies x+2 = 0 \implies x=-2$.
Точки пересечения с осью Ox: $(-4, 0)$, $(-2, 0)$ и $(0, 0)$.
Прямые $x=-3$ и $x=-1$ являются вертикальными асимптотами, так как при приближении $x$ к этим значениям аргумент логарифма $||x+2|-1|$ стремится к $0^+$, а сам логарифм $\log_{\frac{1}{3}}(z)$ стремится к $+\infty$ при $z \to 0^+$.
Ответ: Множество точек $(x,y)$, для которых $x \in [-4, -3) \cup (-3, -1) \cup (-1, 0]$ и $y = \pm \log_{\frac{1}{3}} ||x+2| - 1|$.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz
ПрисоединитьсяМы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 10-11 класс, для упражнения номер 95 расположенного на странице 325 к учебнику 2008 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №95 (с. 325), авторов: Колмогоров (Андрей Николаевич), Абрамов (Александр Михайлович), Дудницын (Юрий Павлович), учебного пособия издательства Просвещение.