Номер 96, страница 325 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Глава 6. Задачи повышенной трудности. Параграф 2. Элементарные функции и их свойства - номер 96, страница 325.

Условие.

96. a) $\sqrt{x+y} \ge \sqrt{|x|}$;

б) $||x| - |y|| < a$;

в) $[x] \le [y]$;

г) $\{x\} \ge \{y\}$;

д) $\frac{1}{x} > \frac{1}{y}$;

е) $\sin x > \sin y$;

ж) $\min (x, y) = 1$;

з) $xy+1 \ge 0$.

Решение 3.

Решение 5.

а)

Рассмотрим неравенство $\sqrt{x+y} \ge \sqrt{|x|}$. Первым шагом найдем область допустимых значений (ОДЗ). Выражение под корнем должно быть неотрицательным, поэтому $x+y \ge 0$, что эквивалентно $y \ge -x$. Это полуплоскость, расположенная на и выше прямой $y=-x$. Выражение $|x|$ всегда неотрицательно, поэтому дополнительных ограничений нет.

Поскольку обе части неравенства неотрицательны, мы можем возвести их в квадрат, сохранив знак неравенства: $(\sqrt{x+y})^2 \ge (\sqrt{|x|})^2$ $x+y \ge |x|$

Теперь рассмотрим два случая в зависимости от знака $x$.

Случай 1: $x \ge 0$. В этом случае $|x|=x$. Неравенство принимает вид: $x+y \ge x$, что упрощается до $y \ge 0$. С учетом ОДЗ ($y \ge -x$) и условия $x \ge 0$, получаем, что для $x \ge 0$ решением является $y \ge 0$. Это первый координатный квадрант, включая его границы (положительные полуоси).

Случай 2: $x < 0$. В этом случае $|x|=-x$. Неравенство принимает вид: $x+y \ge -x$, что эквивалентно $y \ge -2x$. Условие ОДЗ в этом случае — $y \ge -x$. Поскольку при $x<0$ выполняется $-2x > -x$, то более сильным условием является $y \ge -2x$. Таким образом, для $x < 0$ решением является $y \ge -2x$.

Объединяя оба случая, получаем итоговое множество точек.

Ответ: Множество точек $(x,y)$, для которых выполняется одно из двух условий: либо $x \ge 0$ и $y \ge 0$, либо $x < 0$ и $y \ge -2x$. Геометрически это первый квадрант, включая оси, и область над прямой $y=-2x$ в левой полуплоскости.

б)

Рассмотрим неравенство $| |x| - |y| | < a$. Решение зависит от значения параметра $a$.

Если $a \le 0$, то неравенство не имеет решений, так как модуль числа всегда неотрицателен.

Если $a > 0$, то неравенство можно раскрыть как двойное: $-a < |x| - |y| < a$. Это эквивалентно системе из двух неравенств: 1) $|x| - |y| < a \implies |y| > |x| - a$ 2) $|x| - |y| > -a \implies |y| < |x| + a$

Таким образом, решение представляет собой множество точек, удовлетворяющих условию $|x| - a < |y| < |x| + a$.

Из-за симметрии относительно модулей, фигура будет симметрична относительно обеих координатных осей. Рассмотрим ее в первом квадранте ($x \ge 0, y \ge 0$). Здесь неравенство принимает вид $x - a < y < x + a$. Это область между прямыми $y = x - a$ и $y = x + a$.

Аналогично для других квадрантов:

• Во втором квадранте ($x < 0, y \ge 0$): $|-x-y| < a \implies -a < -x-y < a \implies -x-a < y < -x+a$.
• В третьем квадранте ($x < 0, y < 0$): $|-x-(-y)| < a \implies |y-x| < a \implies x-a < y < x+a$.
• В четвертом квадранте ($x > 0, y < 0$): $|x-(-y)| < a \implies |x+y| < a \implies -x-a < y < -x+a$.

Геометрически это объединение двух бесконечных полос, но взятых в соответствующих квадрантах. Итоговая фигура представляет собой бесконечный "крест", оси симметрии которого - прямые $y=x$ и $y=-x$.

Ответ: Если $a \le 0$, решений нет. Если $a > 0$, то решением является множество точек, удовлетворяющих условию $|x|-a < |y| < |x|+a$. Это неограниченная область, расположенная между графиками $|y|=|x|-a$ и $|y|=|x|+a$. Границы не включаются.

в)

Рассмотрим неравенство $[x] \le [y]$, где $[z]$ — целая часть числа $z$ (функция "пол").

Пусть $[x]=n$ и $[y]=m$, где $n, m$ — целые числа. Неравенство принимает вид $n \le m$. По определению целой части: $n \le x < n+1$ $m \le y < m+1$

Покажем, что неравенство $[x] \le [y]$ эквивалентно неравенству $y \ge [x]$.

1) Пусть $[x] \le [y]$. Обозначим $[x]=n$. Тогда $[y] \ge n$. По определению, $y \ge [y]$. Следовательно, $y \ge [y] \ge n = [x]$. Таким образом, $y \ge [x]$.

2) Пусть $y \ge [x]$. Обозначим $[x]=n$. Тогда $y \ge n$. Так как функция $[z]$ неубывающая, то из $y \ge n$ следует, что $[y] \ge [n]$. Поскольку $n$ — целое число, $[n]=n$. Значит, $[y] \ge n=[x]$.

Таким образом, исходное неравенство эквивалентно $y \ge [x]$.

Графиком этого множества является область на координатной плоскости, лежащая на и выше графика функции "пол" $y=[x]$. Эта область представляет собой объединение бесконечного числа горизонтальных полос: для каждого целого $n$, это множество точек $(x,y)$ таких, что $n \le x < n+1$ и $y \ge n$.

Ответ: Множество точек $(x,y)$, удовлетворяющих условию $y \ge [x]$. Это область над "ступенчатым" графиком функции $y=[x]$, включая сам график.

г)

Рассмотрим неравенство $\{x\} \ge \{y\}$, где $\{z\}$ — дробная часть числа $z$, $\{z\} = z - [z]$.

По определению, $0 \le \{z\} < 1$. Функции $\{x\}$ и $\{y\}$ периодичны с периодом 1 по своим переменным. Это означает, что рисунок решения будет повторяться в каждом единичном квадрате вида $[n, n+1) \times [m, m+1)$ для любых целых $n, m$.

Рассмотрим основной квадрат $0 \le x < 1, 0 \le y < 1$. В этом квадрате $[x]=0, [y]=0$, поэтому $\{x\}=x, \{y\}=y$. Неравенство принимает вид $x \ge y$, или $y \le x$. Это нижняя треугольная часть квадрата, включая диагональ $y=x$. Вершины этого треугольника — $(0,0)$, $(1,0)$ и $(1,1)$ (точка (1,1) не входит в область).

Теперь обобщим на всю плоскость. В любом квадрате $[n, n+1) \times [m, m+1)$ имеем $\{x\} = x-n$ и $\{y\} = y-m$. Неравенство становится $x-n \ge y-m$, или $y \le x + (m-n)$. Это означает, что в каждом единичном квадрате сетки решением является его нижняя половина, отделенная диагональю, проходящей через левый нижний и правый верхний углы квадрата.

Ответ: Множество точек, которое в каждом единичном квадрате $[n, n+1) \times [m, m+1)$ (где $n,m \in \mathbb{Z}$) определяется неравенством $y \le x + m - n$. Геометрически это заштрихованные нижние треугольники в каждом квадрате целочисленной сетки.

д)

Рассмотрим неравенство $\frac{1}{x} > \frac{1}{y}$. ОДЗ: $x \ne 0, y \ne 0$. Перенесем все в одну часть: $\frac{1}{x} - \frac{1}{y} > 0 \implies \frac{y-x}{xy} > 0$.

Дробь положительна, когда числитель и знаменатель имеют одинаковые знаки.

Случай 1: Числитель и знаменатель положительны. $\begin{cases} y-x > 0 \\ xy > 0 \end{cases} \implies \begin{cases} y > x \\ (x>0, y>0) \text{ или } (x<0, y<0) \end{cases}$ - Для $x>0, y>0$ (первый квадрант) получаем $y > x$. Это область в первом квадранте выше прямой $y=x$. - Для $x<0, y<0$ (третий квадрант) получаем $y > x$. Это область в третьем квадранте выше прямой $y=x$.

Случай 2: Числитель и знаменатель отрицательны. $\begin{cases} y-x < 0 \\ xy < 0 \end{cases} \implies \begin{cases} y < x \\ (x>0, y<0) \text{ или } (x<0, y>0) \end{cases}$ - Для $x>0, y<0$ (четвертый квадрант) условие $y < x$ выполняется всегда, так как отрицательное число всегда меньше положительного. Значит, весь четвертый квадрант является решением. - Для $x<0, y>0$ (второй квадрант) условие $y<x$ никогда не выполняется. Решений в этом подслучае нет.

Объединяем все найденные области.

Ответ: Объединение трех областей: 1) часть первого квадранта, где $y>x$; 2) часть третьего квадранта, где $y>x$; 3) весь четвертый квадрант. Координатные оси $x=0$ и $y=0$ не входят в решение.

е)

Рассмотрим неравенство $\sin x > \sin y$. Перепишем его в виде $\sin x - \sin y > 0$. Используем формулу разности синусов: $2 \sin\left(\frac{x-y}{2}\right) \cos\left(\frac{x+y}{2}\right) > 0$.

Это неравенство выполняется, когда оба множителя, $\sin\left(\frac{x-y}{2}\right)$ и $\cos\left(\frac{x+y}{2}\right)$, имеют одинаковый знак (и не равны нулю).

Случай 1: Оба множителя положительны. $\begin{cases} \sin\left(\frac{x-y}{2}\right) > 0 \\ \cos\left(\frac{x+y}{2}\right) > 0 \end{cases} \implies \begin{cases} 2k\pi < \frac{x-y}{2} < (2k+1)\pi \\ -\frac{\pi}{2} + 2m\pi < \frac{x+y}{2} < \frac{\pi}{2} + 2m\pi \end{cases}$ для целых $k,m$. Это эквивалентно $\begin{cases} 4k\pi < x-y < (4k+2)\pi \\ - \pi + 4m\pi < x+y < \pi + 4m\pi \end{cases}$

Случай 2: Оба множителя отрицательны. $\begin{cases} \sin\left(\frac{x-y}{2}\right) < 0 \\ \cos\left(\frac{x+y}{2}\right) < 0 \end{cases} \implies \begin{cases} (2k-1)\pi < \frac{x-y}{2} < 2k\pi \\ \frac{\pi}{2} + 2m\pi < \frac{x+y}{2} < \frac{3\pi}{2} + 2m\pi \end{cases}$ для целых $k,m$. Это эквивалентно $\begin{cases} (4k-2)\pi < x-y < 4k\pi \\ \pi + 4m\pi < x+y < 3\pi + 4m\pi \end{cases}$

Геометрически плоскость делится на сетку из ромбов двумя семействами параллельных прямых: $x-y = 2k\pi$ и $x+y = (2m+1)\pi$. Решением является "шахматная" раскраска этих ромбов.

Ответ: Множество точек $(x,y)$, образующее на плоскости "шахматный" узор из открытых ромбов. Границами этих ромбов служат прямые $x-y=2k\pi$ и $x+y=(2m+1)\pi$ для всех целых $k, m$. Например, открытый ромб, ограниченный прямыми $x-y=0, x-y=2\pi, x+y=-\pi, x+y=\pi$, является частью решения.

ж)

Рассмотрим уравнение $\min(x, y) = 1$.

Функция $\min(x, y)$ возвращает меньшее из двух чисел $x$ и $y$. Уравнение означает, что меньшее из чисел $x, y$ равно 1. Это возможно в двух случаях.

1) $x=1$ и при этом $x \le y$. Это означает, что $1 \le y$. Таким образом, получаем множество точек $(1, y)$ при $y \ge 1$. Геометрически это вертикальный луч, выходящий из точки $(1,1)$ вверх.

2) $y=1$ и при этом $y \le x$. Это означает, что $1 \le x$. Таким образом, получаем множество точек $(x, 1)$ при $x \ge 1$. Геометрически это горизонтальный луч, выходящий из точки $(1,1)$ вправо.

Объединение этих двух множеств и есть решение.

Ответ: Множество точек, являющееся объединением двух лучей: $\{(x,1) | x \ge 1\}$ и $\{(1,y) | y \ge 1\}$. Геометрически это прямой угол с вершиной в точке $(1,1)$, стороны которого параллельны координатным осям и направлены в сторону увеличения координат.

з)

Рассмотрим неравенство $xy + 1 \ge 0$.

Это неравенство эквивалентно $xy \ge -1$.

Рассмотрим граничную линию, задаваемую уравнением $xy = -1$, или $y = -1/x$. Это гипербола, ветви которой расположены во втором и четвертом координатных квадрантах. Асимптотами являются оси координат.

Эта гипербола делит плоскость на три области. Чтобы определить, какая из них является решением, возьмем пробную точку, например, начало координат $(0,0)$. Подставляем в неравенство: $0 \cdot 0 + 1 = 1 \ge 0$. Неравенство выполняется.

Следовательно, решением является область, содержащая начало координат. Это область "между" ветвями гиперболы.

Формально: - Если $x > 0$, делим на $x$: $y \ge -1/x$. Это область над ветвью гиперболы в IV квадранте. - Если $x < 0$, делим на $x$ и меняем знак неравенства: $y \le -1/x$. Это область под ветвью гиперболы в II квадранте. - Если $x = 0$, неравенство $1 \ge 0$ верно. Значит, вся ось OY является решением. - Если $y = 0$, неравенство $1 \ge 0$ верно. Значит, вся ось OX является решением.

Ответ: Множество точек $(x,y)$ таких, что $xy \ge -1$. Геометрически это область, расположенная между ветвями гиперболы $y = -1/x$, включая саму гиперболу и обе координатные оси.