Номер 101, страница 326 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Глава 6. Задачи повышенной трудности. Параграф 3. Уравнения, неравенства и системы - номер 101, страница 326.

Условие.

101. Уравнение $ax^2 + bx + c = 0$ не имеет действительных корней, причем $a + b + c < 0$. Определите знак $c$.

Решение 3.

Решение 5.

Рассмотрим квадратичную функцию $f(x) = ax^2 + bx + c$.

Из условия задачи известно, что уравнение $ax^2 + bx + c = 0$ не имеет действительных корней. Это означает, что дискриминант уравнения $D = b^2 - 4ac$ отрицателен. С точки зрения графика функции $y = f(x)$, это означает, что парабола не пересекает ось абсцисс ($Ox$). Следовательно, вся парабола целиком расположена либо выше оси $Ox$ (и тогда $f(x) > 0$ для всех $x$), либо ниже оси $Ox$ (и тогда $f(x) < 0$ для всех $x$). Таким образом, функция $f(x)$ сохраняет постоянный знак на всей числовой оси.

Второе условие задачи гласит, что $a + b + c < 0$. Заметим, что выражение $a + b + c$ представляет собой значение функции $f(x)$ при $x=1$:

$f(1) = a \cdot 1^2 + b \cdot 1 + c = a + b + c$.

Таким образом, условие $a + b + c < 0$ эквивалентно тому, что $f(1) < 0$.

Поскольку мы установили, что функция $f(x)$ сохраняет знак для всех значений $x$, и при этом мы знаем, что в одной точке ($x=1$) ее значение отрицательно, мы можем заключить, что функция отрицательна для всех действительных $x$. То есть, $f(x) < 0$ для любого $x \in \mathbb{R}$.

Чтобы определить знак коэффициента $c$, рассмотрим значение функции в точке $x=0$:

$f(0) = a \cdot 0^2 + b \cdot 0 + c = c$.

Так как $f(x) < 0$ для всех $x$, это утверждение верно и для $x=0$. Следовательно, $f(0) < 0$, что означает $c < 0$.

Ответ: $c < 0$.