Номер 224, страница 339 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Авторы: Колмогоров А. Н., Абрамов А. М., Дудницын Ю. П.
Тип: Учебник
Издательство: Просвещение
Год издания: 2008 - 2025
Цвет обложки: зелёный, чёрный
ISBN: 978-5-09-019513-3
Рекомендовано Министерством образования и науки Российской Федерации
Алгебра и начала математического анализа
Популярные ГДЗ в 10 классе
Параграф 4. Начала математического анализа. Глава 6. Задачи повышенной трудности - номер 224, страница 339.
№224 (с. 339)
Условие. №224 (с. 339)
скриншот условия

224. Докажите, что любое кубическое уравнение $x^3 + ax^2 + bx + c = 0$ имеет хотя бы один действительный корень.
Решение 5. №224 (с. 339)
Для доказательства того, что любое кубическое уравнение $x^3 + ax^2 + bx + c = 0$ (где $a, b, c$ – действительные числа) имеет хотя бы один действительный корень, мы воспользуемся свойствами непрерывных функций.
Рассмотрим функцию $f(x) = x^3 + ax^2 + bx + c$.
1. Непрерывность функции
Функция $f(x)$ является многочленом (полиномом) третьей степени. Все многочлены являются непрерывными функциями на всей числовой оси, то есть для любого действительного числа $x \in \mathbb{R}$.
2. Поведение функции на бесконечности
Теперь исследуем, как ведет себя функция $f(x)$ при очень больших по модулю значениях аргумента $x$. Для этого вынесем старший член $x^3$ за скобки:
$f(x) = x^3(1 + \frac{a}{x} + \frac{b}{x^2} + \frac{c}{x^3})$
Рассмотрим пределы функции при $x$, стремящемся к плюс и минус бесконечности:
При $x \to +\infty$:
Выражения $\frac{a}{x}$, $\frac{b}{x^2}$ и $\frac{c}{x^3}$ стремятся к нулю. Следовательно, выражение в скобках стремится к 1.
$\lim_{x \to +\infty} f(x) = \lim_{x \to +\infty} x^3(1 + \frac{a}{x} + \frac{b}{x^2} + \frac{c}{x^3}) = (+\infty) \cdot 1 = +\infty$
Это означает, что можно найти такое достаточно большое положительное число $x_1$, что значение функции в этой точке будет положительным, то есть $f(x_1) > 0$.
При $x \to -\infty$:
Аналогично, выражения $\frac{a}{x}$, $\frac{b}{x^2}$ и $\frac{c}{x^3}$ стремятся к нулю, и выражение в скобках стремится к 1.
$\lim_{x \to -\infty} f(x) = \lim_{x \to -\infty} x^3(1 + \frac{a}{x} + \frac{b}{x^2} + \frac{c}{x^3}) = (-\infty) \cdot 1 = -\infty$
Это означает, что можно найти такое достаточно большое по модулю отрицательное число $x_2$, что значение функции в этой точке будет отрицательным, то есть $f(x_2) < 0$.
3. Применение теоремы о промежуточном значении (теоремы Больцано-Коши)
Итак, мы имеем:
- Функция $f(x)$ непрерывна на всей числовой прямой, а значит, и на отрезке $[x_2, x_1]$.
- На концах этого отрезка функция принимает значения разных знаков: $f(x_2) < 0$ и $f(x_1) > 0$.
Согласно теореме о промежуточном значении, если функция непрерывна на отрезке и принимает на его концах значения разных знаков, то существует по крайней мере одна точка внутри этого отрезка, в которой функция обращается в ноль. То есть, существует такое число $x_0 \in (x_2, x_1)$, что $f(x_0) = 0$.
Это число $x_0$ и является действительным корнем исходного кубического уравнения $x^3 + ax^2 + bx + c = 0$.
Таким образом, мы доказали, что любое кубическое уравнение с действительными коэффициентами имеет хотя бы один действительный корень. Что и требовалось доказать.
Ответ: Доказательство основано на теореме о промежуточном значении для непрерывных функций. Поскольку функция $f(x) = x^3 + ax^2 + bx + c$ является непрерывной и принимает как положительные (при $x \to +\infty$), так и отрицательные (при $x \to -\infty$) значения, она обязана пересечь ось абсцисс, то есть обратиться в ноль хотя бы в одной точке, которая и является действительным корнем уравнения.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz
ПрисоединитьсяМы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 10-11 класс, для упражнения номер 224 расположенного на странице 339 к учебнику 2008 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №224 (с. 339), авторов: Колмогоров (Андрей Николаевич), Абрамов (Александр Михайлович), Дудницын (Юрий Павлович), учебного пособия издательства Просвещение.