Номер 224, страница 339 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Глава 6. Задачи повышенной трудности. Параграф 4. Начала математического анализа - номер 224, страница 339.

Условие.

224. Докажите, что любое кубическое уравнение $x^3 + ax^2 + bx + c = 0$ имеет хотя бы один действительный корень.

Решение 5.

Для доказательства того, что любое кубическое уравнение $x^3 + ax^2 + bx + c = 0$ (где $a, b, c$ – действительные числа) имеет хотя бы один действительный корень, мы воспользуемся свойствами непрерывных функций.

Рассмотрим функцию $f(x) = x^3 + ax^2 + bx + c$.

1. Непрерывность функции

Функция $f(x)$ является многочленом (полиномом) третьей степени. Все многочлены являются непрерывными функциями на всей числовой оси, то есть для любого действительного числа $x \in \mathbb{R}$.

2. Поведение функции на бесконечности

Теперь исследуем, как ведет себя функция $f(x)$ при очень больших по модулю значениях аргумента $x$. Для этого вынесем старший член $x^3$ за скобки:

$f(x) = x^3(1 + \frac{a}{x} + \frac{b}{x^2} + \frac{c}{x^3})$

Рассмотрим пределы функции при $x$, стремящемся к плюс и минус бесконечности:

• При $x \to +\infty$:

  Выражения $\frac{a}{x}$, $\frac{b}{x^2}$ и $\frac{c}{x^3}$ стремятся к нулю. Следовательно, выражение в скобках стремится к 1.

  $\lim_{x \to +\infty} f(x) = \lim_{x \to +\infty} x^3(1 + \frac{a}{x} + \frac{b}{x^2} + \frac{c}{x^3}) = (+\infty) \cdot 1 = +\infty$

  Это означает, что можно найти такое достаточно большое положительное число $x_1$, что значение функции в этой точке будет положительным, то есть $f(x_1) > 0$.

• При $x \to -\infty$:

  Аналогично, выражения $\frac{a}{x}$, $\frac{b}{x^2}$ и $\frac{c}{x^3}$ стремятся к нулю, и выражение в скобках стремится к 1.

  $\lim_{x \to -\infty} f(x) = \lim_{x \to -\infty} x^3(1 + \frac{a}{x} + \frac{b}{x^2} + \frac{c}{x^3}) = (-\infty) \cdot 1 = -\infty$

  Это означает, что можно найти такое достаточно большое по модулю отрицательное число $x_2$, что значение функции в этой точке будет отрицательным, то есть $f(x_2) < 0$.

3. Применение теоремы о промежуточном значении (теоремы Больцано-Коши)

Итак, мы имеем:

1. Функция $f(x)$ непрерывна на всей числовой прямой, а значит, и на отрезке $[x_2, x_1]$.
2. На концах этого отрезка функция принимает значения разных знаков: $f(x_2) < 0$ и $f(x_1) > 0$.

Согласно теореме о промежуточном значении, если функция непрерывна на отрезке и принимает на его концах значения разных знаков, то существует по крайней мере одна точка внутри этого отрезка, в которой функция обращается в ноль. То есть, существует такое число $x_0 \in (x_2, x_1)$, что $f(x_0) = 0$.

Это число $x_0$ и является действительным корнем исходного кубического уравнения $x^3 + ax^2 + bx + c = 0$.

Таким образом, мы доказали, что любое кубическое уравнение с действительными коэффициентами имеет хотя бы один действительный корень. Что и требовалось доказать.

Ответ: Доказательство основано на теореме о промежуточном значении для непрерывных функций. Поскольку функция $f(x) = x^3 + ax^2 + bx + c$ является непрерывной и принимает как положительные (при $x \to +\infty$), так и отрицательные (при $x \to -\infty$) значения, она обязана пересечь ось абсцисс, то есть обратиться в ноль хотя бы в одной точке, которая и является действительным корнем уравнения.