Номер 221, страница 338 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Глава 6. Задачи повышенной трудности. Параграф 4. Начала математического анализа - номер 221, страница 338.

Условие.

221. Найдите все значения $a$, при которых функция $f$ возрастает на $R$:

а) $f(x) = \frac{a^2 - 1}{3} x^3 + (a - 1) x^2 + 2x + 5;$

б) $f(x) = 2x^3 - 3 (a + 2) x^2 + 48ax + 6x - 5.$

Решение 3.

Решение 5.

а) $f(x) = \frac{a^2 - 1}{3} x^3 + (a - 1) x^2 + 2x + 5$

Для того чтобы дифференцируемая функция $f(x)$ возрастала на всей числовой прямой $\mathbb{R}$, необходимо и достаточно, чтобы ее производная $f'(x)$ была неотрицательной для всех $x \in \mathbb{R}$, то есть $f'(x) \ge 0$.

Найдем производную функции $f(x)$:

$f'(x) = \left(\frac{a^2 - 1}{3} x^3 + (a - 1) x^2 + 2x + 5\right)' = \frac{a^2 - 1}{3} \cdot 3x^2 + (a - 1) \cdot 2x + 2$

$f'(x) = (a^2 - 1)x^2 + 2(a - 1)x + 2$

Теперь необходимо, чтобы неравенство $(a^2 - 1)x^2 + 2(a - 1)x + 2 \ge 0$ выполнялось для всех действительных значений $x$.

Это квадратичное неравенство относительно $x$. Рассмотрим два случая в зависимости от знака коэффициента при $x^2$.

Случай 1: Коэффициент при $x^2$ равен нулю.

$a^2 - 1 = 0$, откуда $a = 1$ или $a = -1$.

• При $a=1$ неравенство принимает вид: $(1^2-1)x^2 + 2(1-1)x + 2 \ge 0$, то есть $0 \cdot x^2 + 0 \cdot x + 2 \ge 0$, что упрощается до $2 \ge 0$. Это неравенство верно для любого $x \in \mathbb{R}$. Следовательно, $a=1$ является решением.

• При $a=-1$ неравенство принимает вид: $((-1)^2-1)x^2 + 2(-1-1)x + 2 \ge 0$, то есть $0 \cdot x^2 - 4x + 2 \ge 0$, что упрощается до $-4x + 2 \ge 0$. Это неравенство ($x \le 1/2$) выполняется не для всех $x \in \mathbb{R}$. Следовательно, $a=-1$ не является решением.

Случай 2: Коэффициент при $x^2$ отличен от нуля.

Для того чтобы парабола $y = (a^2 - 1)x^2 + 2(a - 1)x + 2$ была расположена не ниже оси абсцисс, необходимо, чтобы ее ветви были направлены вверх (коэффициент при $x^2$ положителен) и она имела не более одного действительного корня (дискриминант неположителен). Это эквивалентно системе условий:

$\begin{cases} a^2 - 1 > 0 \\ D \le 0 \end{cases}$

Решим первое неравенство: $a^2 - 1 > 0 \implies a^2 > 1 \implies a \in (-\infty, -1) \cup (1, \infty)$.

Теперь разберемся со вторым условием. Найдем дискриминант $D$ (удобнее использовать $D/4$):
$D/4 = (a - 1)^2 - (a^2 - 1) \cdot 2 \le 0$
$a^2 - 2a + 1 - 2a^2 + 2 \le 0$
$-a^2 - 2a + 3 \le 0$
Умножим обе части на -1, изменив знак неравенства:
$a^2 + 2a - 3 \ge 0$

Корнями уравнения $a^2 + 2a - 3 = 0$ являются $a_1=1$ и $a_2=-3$. Так как ветви параболы $y=a^2 + 2a - 3$ направлены вверх, решением неравенства является $a \in (-\infty, -3] \cup [1, \infty)$.

Теперь найдем пересечение решений системы:
$\begin{cases} a \in (-\infty, -1) \cup (1, \infty) \\ a \in (-\infty, -3] \cup [1, \infty) \end{cases}$

Пересечением этих множеств является $a \in (-\infty, -3] \cup (1, \infty)$.

Объединяя результаты из Случая 1 ($a=1$) и Случая 2 ($a \in (-\infty, -3] \cup (1, \infty)$), получаем итоговое множество значений параметра $a$.

Ответ: $a \in (-\infty, -3] \cup [1, \infty)$.

---

б) $f(x) = 2x^3 - 3(a + 2)x^2 + 48ax + 6x - 5$

Сначала сгруппируем слагаемые при $x$:

$f(x) = 2x^3 - 3(a + 2)x^2 + (48a + 6)x - 5$

Функция возрастает на $\mathbb{R}$, если ее производная $f'(x) \ge 0$ для всех $x \in \mathbb{R}$.

Найдем производную:

$f'(x) = (2x^3 - 3(a + 2)x^2 + (48a + 6)x - 5)' = 6x^2 - 6(a + 2)x + 48a + 6$

Необходимо, чтобы неравенство $6x^2 - 6(a + 2)x + 48a + 6 \ge 0$ выполнялось для всех $x$.
Разделим обе части на 6 (так как $6 > 0$, знак неравенства не изменится):

$x^2 - (a + 2)x + 8a + 1 \ge 0$

Это квадратичный трехчлен относительно $x$. Его график — парабола с ветвями, направленными вверх (коэффициент при $x^2$ равен 1 > 0). Чтобы такой трехчлен был всегда неотрицателен, он должен иметь не более одного корня. Это означает, что его дискриминант $D$ должен быть неположительным ($D \le 0$).

Найдем дискриминант:

$D = (-(a + 2))^2 - 4 \cdot 1 \cdot (8a + 1) = (a + 2)^2 - 4(8a + 1)$
$D = (a^2 + 4a + 4) - (32a + 4)$
$D = a^2 + 4a + 4 - 32a - 4 = a^2 - 28a$

Решим неравенство $D \le 0$ относительно $a$:

$a^2 - 28a \le 0$
$a(a - 28) \le 0$

Корнями уравнения $a(a - 28) = 0$ являются $a=0$ и $a=28$. Так как график $y = a^2 - 28a$ — это парабола с ветвями вверх, неравенство $a(a - 28) \le 0$ выполняется на промежутке между корнями, включая сами корни.

Ответ: $a \in [0, 28]$.