Номер 215, страница 338 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Параграф 4. Начала математического анализа. Глава 6. Задачи повышенной трудности - номер 215, страница 338.

Условие.

215. Найдите производную функции:

а) $y = x^x$

б) $y = (\sin x)^{\cos x}$

Решение 3.

Решение 5.

а) $y = x^x$

Для нахождения производной функции вида $y = u(x)^{v(x)}$, где и основание, и показатель степени зависят от $x$, используется метод логарифмического дифференцирования.

1. Прологарифмируем обе части уравнения по основанию $e$ (натуральный логарифм):

$\ln y = \ln(x^x)$

2. Используя свойство логарифма $\ln(a^b) = b \ln a$, получаем:

$\ln y = x \ln x$

3. Теперь продифференцируем обе части по $x$. Производная левой части находится как производная сложной функции: $(\ln y)' = \frac{1}{y} \cdot y'$. Для правой части используем правило производной произведения $(uv)' = u'v + uv'$:

$\frac{d}{dx}(\ln y) = \frac{d}{dx}(x \ln x)$

$\frac{1}{y} y' = (x)' \ln x + x (\ln x)'$

4. Вычисляем производные в правой части:

$(x)' = 1$

$(\ln x)' = \frac{1}{x}$

Подставляем их обратно:

$\frac{1}{y} y' = 1 \cdot \ln x + x \cdot \frac{1}{x}$

$\frac{1}{y} y' = \ln x + 1$

5. Выразим $y'$ (производную), умножив обе части на $y$:

$y' = y (\ln x + 1)$

6. Подставим исходное выражение для $y = x^x$:

$y' = x^x (\ln x + 1)$

Ответ: $y' = x^x (1 + \ln x)$

б) $y = (\sin x)^{\cos x}$

Это также показательно-степенная функция, поэтому применим логарифмическое дифференцирование.

1. Логарифмируем обе части:

$\ln y = \ln((\sin x)^{\cos x})$

$\ln y = \cos x \cdot \ln(\sin x)$

2. Дифференцируем обе части по $x$. В правой части используем правило производной произведения $(uv)' = u'v + uv'$, где $u = \cos x$ и $v = \ln(\sin x)$.

$(\ln y)' = (\cos x \cdot \ln(\sin x))'$

$\frac{1}{y} y' = (\cos x)' \cdot \ln(\sin x) + \cos x \cdot (\ln(\sin x))'$

3. Найдем производные по отдельности:

$(\cos x)' = -\sin x$

Для нахождения производной $(\ln(\sin x))'$ используем правило дифференцирования сложной функции: $(\ln(f(x)))' = \frac{1}{f(x)} \cdot f'(x)$.

$(\ln(\sin x))' = \frac{1}{\sin x} \cdot (\sin x)' = \frac{1}{\sin x} \cdot \cos x = \cot x$

4. Подставим найденные производные в уравнение:

$\frac{1}{y} y' = (-\sin x) \cdot \ln(\sin x) + \cos x \cdot \cot x$

Упростим правую часть:

$\frac{1}{y} y' = -\sin x \ln(\sin x) + \cos x \cdot \frac{\cos x}{\sin x}$

$\frac{1}{y} y' = \frac{\cos^2 x}{\sin x} - \sin x \ln(\sin x)$

5. Выразим $y'$:

$y' = y \left( \frac{\cos^2 x}{\sin x} - \sin x \ln(\sin x) \right)$

6. Подставим исходное выражение для $y = (\sin x)^{\cos x}$:

$y' = (\sin x)^{\cos x} \left( \frac{\cos^2 x}{\sin x} - \sin x \ln(\sin x) \right)$

Ответ: $y' = (\sin x)^{\cos x} \left( \cot x \cos x - \sin x \ln(\sin x) \right)$