Номер 216, страница 338 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Авторы: Колмогоров А. Н., Абрамов А. М., Дудницын Ю. П.
Тип: Учебник
Издательство: Просвещение
Год издания: 2008 - 2025
Цвет обложки: зелёный, чёрный
ISBN: 978-5-09-019513-3
Рекомендовано Министерством образования и науки Российской Федерации
Алгебра и начала математического анализа
Популярные ГДЗ в 10 классе
Параграф 4. Начала математического анализа. Глава 6. Задачи повышенной трудности - номер 216, страница 338.
№216 (с. 338)
Условие. №216 (с. 338)
скриншот условия

216. Найдите n-ю производную функции $y = \frac{1}{x^2 - 3x + 2}$
Решение 5. №216 (с. 338)
Для нахождения n-й производной данной функции, первым шагом разложим ее на сумму простейших дробей. Для этого необходимо разложить на множители знаменатель $x^2 - 3x + 2$.
Найдем корни квадратного уравнения $x^2 - 3x + 2 = 0$. Используя теорему Виета, получаем, что сумма корней равна 3, а их произведение равно 2. Отсюда находим корни: $x_1 = 1$ и $x_2 = 2$.
Следовательно, знаменатель можно представить в виде произведения: $x^2 - 3x + 2 = (x-1)(x-2)$.
Теперь представим исходную дробь в виде суммы простейших дробей:
$y = \frac{1}{x^2 - 3x + 2} = \frac{1}{(x-1)(x-2)} = \frac{A}{x-2} + \frac{B}{x-1}$
Для нахождения неизвестных коэффициентов A и B, приведем дроби в правой части к общему знаменателю:
$\frac{1}{(x-1)(x-2)} = \frac{A(x-1) + B(x-2)}{(x-2)(x-1)}$
Так как знаменатели равны, должны быть равны и числители:
$1 = A(x-1) + B(x-2)$
Найдем коэффициенты A и B, подставляя вместо x значения корней знаменателя (метод частных значений):
При $x = 2$:
$1 = A(2-1) + B(2-2) \Rightarrow 1 = A \cdot 1 + B \cdot 0 \Rightarrow A = 1$.
При $x = 1$:
$1 = A(1-1) + B(1-2) \Rightarrow 1 = A \cdot 0 + B \cdot (-1) \Rightarrow B = -1$.
Таким образом, разложение функции на простейшие дроби имеет вид:
$y = \frac{1}{x-2} - \frac{1}{x-1}$
Теперь найдем n-ю производную от каждого слагаемого. Для этого выведем общую формулу для n-й производной функции вида $f(x) = \frac{1}{x-c} = (x-c)^{-1}$.
Найдем первые несколько производных:
$f'(x) = (-1)(x-c)^{-2}$
$f''(x) = (-1)(-2)(x-c)^{-3} = (-1)^2 \cdot 2! \cdot (x-c)^{-3}$
$f'''(x) = (-1)^2 \cdot 2! \cdot (-3)(x-c)^{-4} = (-1)^3 \cdot 3! \cdot (x-c)^{-4}$
Видно, что n-я производная подчиняется закономерности, которую можно доказать по индукции:
$f^{(n)}(x) = \left(\frac{1}{x-c}\right)^{(n)} = (-1)^n n! (x-c)^{-(n+1)} = \frac{(-1)^n n!}{(x-c)^{n+1}}$
Применим эту формулу к нашей функции $y = \frac{1}{x-2} - \frac{1}{x-1}$. Производная суммы равна сумме производных:
$y^{(n)} = \left(\frac{1}{x-2}\right)^{(n)} - \left(\frac{1}{x-1}\right)^{(n)}$
Подставляем значения $c=2$ и $c=1$ в выведенную формулу:
$y^{(n)} = \frac{(-1)^n n!}{(x-2)^{n+1}} - \frac{(-1)^n n!}{(x-1)^{n+1}}$
Для получения окончательного ответа вынесем общий множитель $(-1)^n n!$ за скобки:
$y^{(n)} = (-1)^n n! \left( \frac{1}{(x-2)^{n+1}} - \frac{1}{(x-1)^{n+1}} \right)$
Ответ: $y^{(n)} = (-1)^n n! \left( \frac{1}{(x-2)^{n+1}} - \frac{1}{(x-1)^{n+1}} \right)$
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz
ПрисоединитьсяМы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 10-11 класс, для упражнения номер 216 расположенного на странице 338 к учебнику 2008 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №216 (с. 338), авторов: Колмогоров (Андрей Николаевич), Абрамов (Александр Михайлович), Дудницын (Юрий Павлович), учебного пособия издательства Просвещение.