Номер 216, страница 338 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Глава 6. Задачи повышенной трудности. Параграф 4. Начала математического анализа - номер 216, страница 338.

Условие.

216. Найдите n-ю производную функции $y = \frac{1}{x^2 - 3x + 2}$

Решение 5.

Для нахождения n-й производной данной функции, первым шагом разложим ее на сумму простейших дробей. Для этого необходимо разложить на множители знаменатель $x^2 - 3x + 2$.

Найдем корни квадратного уравнения $x^2 - 3x + 2 = 0$. Используя теорему Виета, получаем, что сумма корней равна 3, а их произведение равно 2. Отсюда находим корни: $x_1 = 1$ и $x_2 = 2$.

Следовательно, знаменатель можно представить в виде произведения: $x^2 - 3x + 2 = (x-1)(x-2)$.

Теперь представим исходную дробь в виде суммы простейших дробей:

$y = \frac{1}{x^2 - 3x + 2} = \frac{1}{(x-1)(x-2)} = \frac{A}{x-2} + \frac{B}{x-1}$

Для нахождения неизвестных коэффициентов A и B, приведем дроби в правой части к общему знаменателю:

$\frac{1}{(x-1)(x-2)} = \frac{A(x-1) + B(x-2)}{(x-2)(x-1)}$

Так как знаменатели равны, должны быть равны и числители:

$1 = A(x-1) + B(x-2)$

Найдем коэффициенты A и B, подставляя вместо x значения корней знаменателя (метод частных значений):

При $x = 2$:
$1 = A(2-1) + B(2-2) \Rightarrow 1 = A \cdot 1 + B \cdot 0 \Rightarrow A = 1$.

При $x = 1$:
$1 = A(1-1) + B(1-2) \Rightarrow 1 = A \cdot 0 + B \cdot (-1) \Rightarrow B = -1$.

Таким образом, разложение функции на простейшие дроби имеет вид:

$y = \frac{1}{x-2} - \frac{1}{x-1}$

Теперь найдем n-ю производную от каждого слагаемого. Для этого выведем общую формулу для n-й производной функции вида $f(x) = \frac{1}{x-c} = (x-c)^{-1}$.

Найдем первые несколько производных:

$f'(x) = (-1)(x-c)^{-2}$

$f''(x) = (-1)(-2)(x-c)^{-3} = (-1)^2 \cdot 2! \cdot (x-c)^{-3}$

$f'''(x) = (-1)^2 \cdot 2! \cdot (-3)(x-c)^{-4} = (-1)^3 \cdot 3! \cdot (x-c)^{-4}$

Видно, что n-я производная подчиняется закономерности, которую можно доказать по индукции:

$f^{(n)}(x) = \left(\frac{1}{x-c}\right)^{(n)} = (-1)^n n! (x-c)^{-(n+1)} = \frac{(-1)^n n!}{(x-c)^{n+1}}$

Применим эту формулу к нашей функции $y = \frac{1}{x-2} - \frac{1}{x-1}$. Производная суммы равна сумме производных:

$y^{(n)} = \left(\frac{1}{x-2}\right)^{(n)} - \left(\frac{1}{x-1}\right)^{(n)}$

Подставляем значения $c=2$ и $c=1$ в выведенную формулу:

$y^{(n)} = \frac{(-1)^n n!}{(x-2)^{n+1}} - \frac{(-1)^n n!}{(x-1)^{n+1}}$

Для получения окончательного ответа вынесем общий множитель $(-1)^n n!$ за скобки:

$y^{(n)} = (-1)^n n! \left( \frac{1}{(x-2)^{n+1}} - \frac{1}{(x-1)^{n+1}} \right)$

Ответ: $y^{(n)} = (-1)^n n! \left( \frac{1}{(x-2)^{n+1}} - \frac{1}{(x-1)^{n+1}} \right)$