Номер 218, страница 338 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Глава 6. Задачи повышенной трудности. Параграф 4. Начала математического анализа - номер 218, страница 338.

Условие.

218. Вычислите сумму:

a) $1 + \frac{2}{2} + \frac{3}{2^2} + \frac{4}{2^3} + \ldots + \frac{n}{2^{n-1}}$;

б) $2 + 3 \cdot \frac{2}{2} + 4 \cdot \frac{3}{2^2} + 5 \cdot \frac{4}{2^3} + \ldots + (n+1) \cdot \frac{n}{2^{n-1}}$.

Решение 5.

а)

Обозначим данную сумму как $S_n$.

$S_n = 1 + \frac{2}{2} + \frac{3}{2^2} + \frac{4}{2^3} + \dots + \frac{n}{2^{n-1}} = \sum_{k=1}^{n} \frac{k}{2^{k-1}}$

Для вычисления этой суммы, которая является арифметико-геометрической прогрессией, используем метод разностей. Умножим обе части равенства на знаменатель геометрической прогрессии, то есть на $\frac{1}{2}$:

$\frac{1}{2} S_n = \frac{1}{2} + \frac{2}{2^2} + \frac{3}{2^3} + \dots + \frac{n-1}{2^{n-1}} + \frac{n}{2^n}$

Теперь вычтем второе равенство из первого:

$S_n - \frac{1}{2} S_n = (1 + \frac{2}{2} + \frac{3}{2^2} + \dots + \frac{n}{2^{n-1}}) - (\frac{1}{2} + \frac{2}{2^2} + \dots + \frac{n}{2^n})$

Сгруппируем члены с одинаковыми знаменателями:

$\frac{1}{2} S_n = 1 + (\frac{2}{2} - \frac{1}{2}) + (\frac{3}{2^2} - \frac{2}{2^2}) + \dots + (\frac{n}{2^{n-1}} - \frac{n-1}{2^{n-1}}) - \frac{n}{2^n}$

$\frac{1}{2} S_n = 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{2^2} + \dots + \frac{1}{2^{n-1}} - \frac{n}{2^n}$

Выражение $1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{2^2} + \dots + \frac{1}{2^{n-1}}$ является суммой первых $n$ членов геометрической прогрессии с первым членом $b_1 = 1$ и знаменателем $q = \frac{1}{2}$.

Сумма этой прогрессии вычисляется по формуле $G_n = \frac{b_1(1-q^n)}{1-q}$.

$G_n = \frac{1 \cdot (1 - (\frac{1}{2})^n)}{1 - \frac{1}{2}} = \frac{1 - \frac{1}{2^n}}{\frac{1}{2}} = 2(1 - \frac{1}{2^n}) = 2 - \frac{2}{2^n} = 2 - \frac{1}{2^{n-1}}$.

Подставим это значение обратно в выражение для $\frac{1}{2} S_n$:

$\frac{1}{2} S_n = (2 - \frac{1}{2^{n-1}}) - \frac{n}{2^n} = 2 - \frac{2}{2^n} - \frac{n}{2^n} = 2 - \frac{n+2}{2^n}$

Наконец, умножим обе части на 2, чтобы найти $S_n$:

$S_n = 2 \cdot (2 - \frac{n+2}{2^n}) = 4 - \frac{2(n+2)}{2^n} = 4 - \frac{n+2}{2^{n-1}}$

Ответ: $4 - \frac{n+2}{2^{n-1}}$

б)

Обозначим данную сумму как $S'_n$.

$S'_n = 2 + 3 \cdot \frac{2}{2} + 4 \cdot \frac{3}{2^2} + 5 \cdot \frac{4}{2^3} + \dots + (n+1) \cdot \frac{n}{2^{n-1}}$

Общий член ряда можно записать как $a_k = (k+1) \frac{k}{2^{k-1}}$ для $k=1, 2, \dots, n$.

Преобразуем общий член:

$a_k = \frac{k(k+1)}{2^{k-1}} = \frac{k^2+k}{2^{k-1}} = \frac{k^2}{2^{k-1}} + \frac{k}{2^{k-1}}$

Таким образом, сумму $S'_n$ можно представить как сумму двух рядов:

$S'_n = \sum_{k=1}^{n} \frac{k^2}{2^{k-1}} + \sum_{k=1}^{n} \frac{k}{2^{k-1}}$

Вторая сумма — это в точности сумма $S_n$ из пункта а), для которой мы уже нашли выражение: $S_n = 4 - \frac{n+2}{2^{n-1}}$.

Обозначим первую сумму как $T_n = \sum_{k=1}^{n} \frac{k^2}{2^{k-1}}$.

$T_n = \frac{1^2}{2^0} + \frac{2^2}{2^1} + \frac{3^2}{2^2} + \dots + \frac{n^2}{2^{n-1}}$

Для вычисления $T_n$ снова применим метод разностей. Умножим обе части на $\frac{1}{2}$:

$\frac{1}{2} T_n = \frac{1^2}{2^1} + \frac{2^2}{2^2} + \frac{3^2}{2^3} + \dots + \frac{(n-1)^2}{2^{n-1}} + \frac{n^2}{2^n}$

Вычтем второе равенство из первого:

$\frac{1}{2} T_n = 1 + (\frac{2^2}{2} - \frac{1^2}{2}) + (\frac{3^2}{2^2} - \frac{2^2}{2^2}) + \dots + (\frac{n^2}{2^{n-1}} - \frac{(n-1)^2}{2^{n-1}}) - \frac{n^2}{2^n}$

$\frac{1}{2} T_n = 1 + \sum_{k=2}^{n} \frac{k^2 - (k-1)^2}{2^{k-1}} - \frac{n^2}{2^n}$

Так как $k^2 - (k-1)^2 = k^2 - (k^2 - 2k + 1) = 2k-1$, получаем:

$\frac{1}{2} T_n = 1 + \sum_{k=2}^{n} \frac{2k-1}{2^{k-1}} - \frac{n^2}{2^n}$

Разобьем сумму $\sum_{k=2}^{n} \frac{2k-1}{2^{k-1}}$ на две части: $2\sum_{k=2}^{n} \frac{k}{2^{k-1}} - \sum_{k=2}^{n} \frac{1}{2^{k-1}}$.

Вычислим каждую часть. Из пункта а) мы знаем, что $S_n = 1 + \sum_{k=2}^{n} \frac{k}{2^{k-1}}$, откуда $\sum_{k=2}^{n} \frac{k}{2^{k-1}} = S_n - 1$. Тогда первая часть равна $2(S_n - 1)$.

Вторая часть $\sum_{k=2}^{n} \frac{1}{2^{k-1}}$ — это сумма $n-1$ членов геометрической прогрессии с первым членом $b_1=\frac{1}{2}$ и знаменателем $q=\frac{1}{2}$. Ее сумма равна $\frac{\frac{1}{2}(1-(\frac{1}{2})^{n-1})}{1-\frac{1}{2}} = 1 - \frac{1}{2^{n-1}}$.

Тогда $\sum_{k=2}^{n} \frac{2k-1}{2^{k-1}} = 2(S_n - 1) - (1 - \frac{1}{2^{n-1}}) = 2S_n - 3 + \frac{1}{2^{n-1}}$.

Подставим это обратно в выражение для $\frac{1}{2}T_n$:

$\frac{1}{2} T_n = 1 + (2S_n - 3 + \frac{1}{2^{n-1}}) - \frac{n^2}{2^n} = 2S_n - 2 + \frac{2}{2^n} - \frac{n^2}{2^n}$

Подставим выражение для $S_n$:

$\frac{1}{2} T_n = 2(4 - \frac{n+2}{2^{n-1}}) - 2 + \frac{2-n^2}{2^n} = 8 - \frac{2(n+2)}{2^{n-1}} - 2 + \frac{2-n^2}{2^n}$

$\frac{1}{2} T_n = 6 - \frac{4(n+2)}{2^n} + \frac{2-n^2}{2^n} = 6 - \frac{4n+8 - (2-n^2)}{2^n} = 6 - \frac{n^2+4n+6}{2^n}$

Умножим на 2, чтобы найти $T_n$:

$T_n = 12 - \frac{2(n^2+4n+6)}{2^n} = 12 - \frac{n^2+4n+6}{2^{n-1}}$

Теперь найдем искомую сумму $S'_n = T_n + S_n$:

$S'_n = (12 - \frac{n^2+4n+6}{2^{n-1}}) + (4 - \frac{n+2}{2^{n-1}})$

$S'_n = 16 - \frac{n^2+4n+6+n+2}{2^{n-1}} = 16 - \frac{n^2+5n+8}{2^{n-1}}$

Ответ: $16 - \frac{n^2+5n+8}{2^{n-1}}$