Номер 212, страница 338 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Параграф 4. Начала математического анализа. Глава 6. Задачи повышенной трудности - номер 212, страница 338.

Условие.

212. Верно ли, что функция $\varphi (x) = f_1 (x) \cdot f_2 (x)$ не имеет производной в точке $x_0$, если:

a) $f_1 (x)$ дифференцируема в точке $x_0$, а $f_2 (x)$ нет;

б) обе функции не имеют производной в точке $x_0$?

Решение 5.

а) $f_1(x)$ дифференцируема в точке $x_0$, а $f_2(x)$ нет;

Нет, утверждение не верно. Функция $\phi(x)$ может иметь производную в точке $x_0$.

Рассмотрим два случая.

1. Если $f_1(x_0) \neq 0$. Допустим, что функция $\phi(x) = f_1(x) \cdot f_2(x)$ дифференцируема в точке $x_0$. Поскольку $f_1(x)$ дифференцируема в точке $x_0$ и $f_1(x_0) \neq 0$, то в некоторой окрестности точки $x_0$ функция $f_1(x)$ не равна нулю. Тогда мы можем выразить $f_2(x)$ как частное двух дифференцируемых функций: $f_2(x) = \frac{\phi(x)}{f_1(x)}$. По правилу дифференцирования частного, функция $f_2(x)$ также должна быть дифференцируема в точке $x_0$. Это противоречит условию, что $f_2(x)$ не имеет производной в точке $x_0$. Следовательно, в этом случае ($f_1(x_0) \neq 0$) утверждение верно, и функция $\phi(x)$ не имеет производной.

2. Если $f_1(x_0) = 0$. В этом случае предыдущие рассуждения не работают, и производная у произведения может существовать. Приведем контрпример.

Пусть $x_0 = 0$. Возьмем функцию $f_1(x) = x$. Она дифференцируема в любой точке, в том числе и в $x_0=0$, и $f_1(0)=0$. Её производная $f_1'(x) = 1$.

Возьмем функцию $f_2(x) = |x|$. Эта функция непрерывна, но не дифференцируема в точке $x_0=0$ (в этой точке график имеет излом).

Рассмотрим их произведение: $\phi(x) = f_1(x) \cdot f_2(x) = x \cdot |x|$.

Найдем производную функции $\phi(x)$ в точке $x_0 = 0$ по определению:

$\phi'(0) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{\phi(0 + \Delta x) - \phi(0)}{\Delta x} = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta x \cdot |\Delta x| - 0 \cdot |0|}{\Delta x} = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta x \cdot |\Delta x|}{\Delta x} = \lim_{\Delta x \to 0} |\Delta x| = 0$.

Поскольку предел существует и конечен, функция $\phi(x)$ имеет производную в точке $x_0=0$, и она равна 0. Таким образом, мы нашли пример, когда произведение дифференцируемой и недифференцируемой функции является дифференцируемой функцией.

Ответ: Нет, не верно.

б) обе функции не имеют производной в точке $x_0$?

Нет, это утверждение также не верно. Произведение двух функций, не имеющих производной в точке, может иметь производную в этой точке.

Приведем контрпример.

Пусть, как и в предыдущем пункте, $x_0 = 0$. В качестве обеих функций возьмем модуль икс: $f_1(x) = |x|$ и $f_2(x) = |x|$.

Обе эти функции не имеют производной в точке $x_0=0$.

Найдем их произведение:

$\phi(x) = f_1(x) \cdot f_2(x) = |x| \cdot |x| = |x^2|$.

Поскольку $x^2 \ge 0$ для любого действительного $x$, то $|x^2| = x^2$.

Таким образом, $\phi(x) = x^2$.

Функция $\phi(x) = x^2$ (парабола) является дифференцируемой в любой точке числовой оси, включая точку $x_0=0$. Её производная $\phi'(x) = 2x$, и в точке $x_0=0$ она равна $\phi'(0) = 2 \cdot 0 = 0$.

Следовательно, произведение двух функций, недифференцируемых в точке $x_0$, может быть дифференцируемо в этой точке.

Ответ: Нет, не верно.