Номер 205, страница 337 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Параграф 3. Уравнения, неравенства и системы. Глава 6. Задачи повышенной трудности - номер 205, страница 337.

Условие.

Решите системы уравнений (205–206).

205. a) $\begin{cases} \log_x y = 2, \\ \log_{x+1}(y+23) = 3; \end{cases}$

б) $\begin{cases} (x+y)^x = (x-y)^y, \\ \log_2 x = 1+\log_2 y; \end{cases}$

в) $\begin{cases} (x-y)^{2y-x} = 125, \\ \log_2 (x-y) = 1; \end{cases}$

г) $\begin{cases} 2 \log_2 x - 3^y = 15, \\ 3^y \cdot \log_2 x = 2^{\log_2 x + 3y + 1}. \end{cases}$

Решение 3.

Решение 5.

а)

Дана система уравнений:

$ \begin{cases} \log_x y = 2, \\ \log_{x+1} (y+23) = 3; \end{cases} $

Определим область допустимых значений (ОДЗ). Из первого уравнения: $x > 0$, $x \ne 1$, $y > 0$. Из второго уравнения: $x+1 > 0 \Rightarrow x > -1$, $x+1 \ne 1 \Rightarrow x \ne 0$, $y+23 > 0 \Rightarrow y > -23$.
Объединяя все условия, получаем ОДЗ: $x > 0$, $x \ne 1$, $y > 0$.

Из первого уравнения по определению логарифма выразим $y$ через $x$:

$y = x^2$

Подставим это выражение во второе уравнение системы:

$\log_{x+1} (x^2+23) = 3$

По определению логарифма:

$x^2+23 = (x+1)^3$

Раскроем скобки в правой части:

$x^2+23 = x^3 + 3x^2 + 3x + 1$

Перенесем все члены в одну сторону и приведем подобные:

$x^3 + 3x^2 - x^2 + 3x + 1 - 23 = 0$

$x^3 + 2x^2 + 3x - 22 = 0$

Найдем целочисленные корни этого кубического уравнения среди делителей свободного члена (-22): $\pm1, \pm2, \pm11, \pm22$. Проверкой убеждаемся, что $x=2$ является корнем:

$2^3 + 2 \cdot 2^2 + 3 \cdot 2 - 22 = 8 + 8 + 6 - 22 = 22 - 22 = 0$

Корень $x=2$ удовлетворяет ОДЗ ($2 > 0$, $2 \ne 1$).
Чтобы найти остальные корни, разделим многочлен $x^3 + 2x^2 + 3x - 22$ на $(x-2)$: $(x^3 + 2x^2 + 3x - 22) : (x-2) = x^2 + 4x + 11$. Получаем уравнение $(x-2)(x^2 + 4x + 11) = 0$. Для квадратного уравнения $x^2 + 4x + 11 = 0$ найдем дискриминант: $D = 4^2 - 4 \cdot 1 \cdot 11 = 16 - 44 = -28$. Так как $D < 0$, других действительных корней нет.

Итак, единственное решение для $x$ - это $x=2$. Найдем соответствующее значение $y$:

$y = x^2 = 2^2 = 4$

Значение $y=4$ удовлетворяет ОДЗ ($4>0$).

Ответ: (2, 4)

б)

Дана система уравнений:

$ \begin{cases} (x+y)^x = (x-y)^y, \\ \log_2 x = 1 + \log_2 y; \end{cases} $

ОДЗ: $x > 0$, $y > 0$. Из первого уравнения также следует, что основания степеней должны быть положительными: $x+y > 0$ (что верно при $x>0, y>0$) и $x-y > 0$, то есть $x > y$.

Преобразуем второе уравнение:

$\log_2 x - \log_2 y = 1$

$\log_2 \frac{x}{y} = 1$

$\frac{x}{y} = 2^1 = 2 \Rightarrow x = 2y$

Поскольку $y>0$, из $x=2y$ следует, что $x>y$, что соответствует ОДЗ.

Подставим $x=2y$ в первое уравнение системы:

$(2y+y)^{2y} = (2y-y)^y$

$(3y)^{2y} = y^y$

Так как $y>0$, то $y^y \ne 0$, можно разделить обе части на $y^y$:

$\frac{(3y)^{2y}}{y^y} = 1$

$\frac{((3y)^2)^y}{y^y} = 1$

$(\frac{9y^2}{y})^y = 1$

$(9y)^y = 1$

Это равенство возможно в трех случаях: 1) Основание равно 1: $9y=1 \Rightarrow y = 1/9$. 2) Показатель степени равен 0: $y=0$, что не входит в ОДЗ. 3) Основание равно -1, а показатель - четное число. Но $9y > 0$ по ОДЗ.

Таким образом, единственное решение $y=1/9$. Найдем $x$:

$x = 2y = 2 \cdot \frac{1}{9} = \frac{2}{9}$

Проверим ОДЗ: $x=2/9 > 0$, $y=1/9 > 0$, $x > y$ (2/9 > 1/9). Все условия выполнены.

Ответ: (2/9, 1/9)

в)

Дана система уравнений:

$ \begin{cases} (x-y)^{2y-x} = 125, \\ \lg(2(x-y)) = 1; \end{cases} $

ОДЗ: Из второго уравнения $2(x-y) > 0 \Rightarrow x-y > 0$. Это также обеспечивает, что основание степени в первом уравнении положительно.

Начнем со второго, более простого уравнения:

$\lg(2(x-y)) = 1$

По определению десятичного логарифма:

$2(x-y) = 10^1 = 10$

$x-y = 5$

Подставим $x-y = 5$ в первое уравнение:

$5^{2y-x} = 125$

$5^{2y-x} = 5^3$

Приравниваем показатели степени:

$2y-x = 3$

Теперь у нас есть система двух линейных уравнений:

$ \begin{cases} x - y = 5, \\ -x + 2y = 3; \end{cases} $

Сложим два уравнения:

$(x-x) + (-y+2y) = 5+3$

$y = 8$

Подставим $y=8$ в первое уравнение $x-y=5$:

$x - 8 = 5 \Rightarrow x = 13$

Проверим ОДЗ: $x-y = 13-8=5>0$. Условие выполнено.

Ответ: (13, 8)

г)

Дана система уравнений:

$ \begin{cases} 2\log_2 x - 3^y = 15, \\ 3^y \cdot \log_2 x = 2\log_2 x + 3^{y+1}; \end{cases} $

ОДЗ: $x > 0$.

Сделаем замену переменных. Пусть $a = \log_2 x$ и $b = 3^y$. Поскольку $y$ может быть любым действительным числом, то $b > 0$.
Заметим, что $3^{y+1} = 3^y \cdot 3^1 = 3b$.
Система в новых переменных примет вид:

$ \begin{cases} 2a - b = 15, \\ a \cdot b = 2a + 3b; \end{cases} $

Из первого уравнения выразим $b$:

$b = 2a - 15$

Подставим это выражение во второе уравнение:

$a(2a-15) = 2a + 3(2a-15)$

$2a^2 - 15a = 2a + 6a - 45$

$2a^2 - 15a = 8a - 45$

Перенесем все в левую часть:

$2a^2 - 23a + 45 = 0$

Решим это квадратное уравнение. Дискриминант:

$D = (-23)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 45 = 529 - 360 = 169 = 13^2$

Найдем корни для $a$:

$a_1 = \frac{23 - 13}{2 \cdot 2} = \frac{10}{4} = \frac{5}{2}$

$a_2 = \frac{23 + 13}{2 \cdot 2} = \frac{36}{4} = 9$

Теперь найдем соответствующие значения $b$ для каждого $a$:

1) Если $a = 5/2$, то $b = 2(5/2) - 15 = 5 - 15 = -10$. Этот корень не подходит, так как $b = 3^y$ должно быть положительным.

2) Если $a = 9$, то $b = 2(9) - 15 = 18 - 15 = 3$. Этот корень подходит, так как $b=3>0$.

Таким образом, у нас есть единственное решение в переменных $a$ и $b$: $a=9, b=3$.
Вернемся к исходным переменным $x$ и $y$:

$\log_2 x = a = 9 \Rightarrow x = 2^9 = 512$

$3^y = b = 3 \Rightarrow 3^y = 3^1 \Rightarrow y=1$

Проверим ОДЗ: $x=512>0$. Условие выполнено.

Ответ: (512, 1)