Номер 209, страница 337 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Авторы: Колмогоров А. Н., Абрамов А. М., Дудницын Ю. П.
Тип: Учебник
Издательство: Просвещение
Год издания: 2008 - 2025
Цвет обложки: зелёный, чёрный
ISBN: 978-5-09-019513-3
Рекомендовано Министерством образования и науки Российской Федерации
Алгебра и начала математического анализа
Популярные ГДЗ в 10 классе
Параграф 4. Начала математического анализа. Глава 6. Задачи повышенной трудности - номер 209, страница 337.
№209 (с. 337)
Условие. №209 (с. 337)
скриншот условия

209. Пользуясь определением производной, докажите, что функция $f$ дифференцируема в точке $x_0$, если:
а) $f(x) = x |x|, x_0 = 0;$
б) $f(x) = |x^2 - 1| (x + 1), x_0 = -1;$
в) $f(x)=\begin{cases} x^2 - 1 & \text{при } x \le 1, \\ x^3 - x & \text{при } x > 1 \end{cases}, x_0 = 1;$
г) $f(x)=\begin{cases} x^2 & \text{при } x \ge 0, \\ x^3 & \text{при } x < 0 \end{cases}, x_0 = 0.$
Решение 5. №209 (с. 337)
а) $f(x) = x|x|$, $x_0 = 0$
Для доказательства дифференцируемости функции в точке по определению, необходимо доказать существование конечного предела $f'(x_0) = \lim_{x \to x_0} \frac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0}$.
Сначала найдем значение функции в точке $x_0 = 0$: $f(0) = 0 \cdot |0| = 0$.
Для функций, содержащих модуль, необходимо найти и сравнить левостороннюю и правостороннюю производные.
Левосторонняя производная:
$f'_{-}(0) = \lim_{x \to 0^{-}} \frac{f(x) - f(0)}{x - 0} = \lim_{x \to 0^{-}} \frac{x|x| - 0}{x} = \lim_{x \to 0^{-}} |x|$.
Поскольку $x \to 0^{-}$, то $x < 0$, и $|x| = -x$.
$f'_{-}(0) = \lim_{x \to 0^{-}} \frac{x(-x)}{x} = \lim_{x \to 0^{-}} (-x) = 0$.
Правосторонняя производная:
$f'_{+}(0) = \lim_{x \to 0^{+}} \frac{f(x) - f(0)}{x - 0} = \lim_{x \to 0^{+}} \frac{x|x| - 0}{x} = \lim_{x \to 0^{+}} |x|$.
Поскольку $x \to 0^{+}$, то $x > 0$, и $|x| = x$.
$f'_{+}(0) = \lim_{x \to 0^{+}} \frac{x(x)}{x} = \lim_{x \to 0^{+}} x = 0$.
Так как левосторонняя и правосторонняя производные в точке $x_0 = 0$ существуют, конечны и равны ($f'_{-}(0) = f'_{+}(0) = 0$), функция $f(x)$ дифференцируема в этой точке.
Ответ: Функция дифференцируема в точке $x_0=0$, и $f'(0) = 0$.
б) $f(x) = |x² - 1|(x + 1)$, $x_0 = -1$
Проверим дифференцируемость функции в точке $x_0 = -1$ по определению. Найдем значение функции в этой точке:
$f(-1) = |(-1)² - 1|(-1 + 1) = |1 - 1| \cdot 0 = 0$.
Найдем односторонние производные в точке $x_0=-1$.
Левосторонняя производная:
$f'_{-}(-1) = \lim_{x \to -1^{-}} \frac{f(x) - f(-1)}{x - (-1)} = \lim_{x \to -1^{-}} \frac{|x^2 - 1|(x + 1) - 0}{x + 1}$.
При $x \to -1^{-}$ (т.е. $x < -1$), выражение $x^2-1$ положительно. Следовательно, $|x^2-1| = x^2-1$.
$f'_{-}(-1) = \lim_{x \to -1^{-}} \frac{(x^2 - 1)(x + 1)}{x + 1} = \lim_{x \to -1^{-}} (x^2 - 1) = (-1)^2 - 1 = 0$.
Правосторонняя производная:
$f'_{+}(-1) = \lim_{x \to -1^{+}} \frac{f(x) - f(-1)}{x - (-1)} = \lim_{x \to -1^{+}} \frac{|x^2 - 1|(x + 1) - 0}{x + 1}$.
При $x \to -1^{+}$ (т.е. $-1 < x < 1$), выражение $x^2-1$ отрицательно. Следовательно, $|x^2-1| = -(x^2-1)$.
$f'_{+}(-1) = \lim_{x \to -1^{+}} \frac{-(x^2 - 1)(x + 1)}{x + 1} = \lim_{x \to -1^{+}} -(x^2 - 1) = -((-1)^2 - 1) = 0$.
Поскольку левосторонняя и правосторонняя производные равны ($f'_{-}(-1) = f'_{+}(-1) = 0$), функция дифференцируема в точке $x_0 = -1$.
Ответ: Функция дифференцируема в точке $x_0=-1$, и $f'(-1) = 0$.
в) $f(x) = \begin{cases} x² - 1 & \text{при } x \le 1 \\ x³ - x & \text{при } x > 1 \end{cases}, x_0 = 1$
Для кусочно-заданной функции необходимо проверить равенство односторонних производных в точке "стыка" $x_0=1$. Сначала убедимся, что функция непрерывна в этой точке.
Значение функции в точке: $f(1) = 1^2 - 1 = 0$.
Предел слева: $\lim_{x \to 1^{-}} f(x) = \lim_{x \to 1^{-}} (x^2 - 1) = 0$.
Предел справа: $\lim_{x \to 1^{+}} f(x) = \lim_{x \to 1^{+}} (x^3 - x) = 1^3 - 1 = 0$.
Функция непрерывна в точке $x_0=1$, так как предел слева, предел справа и значение функции в точке равны.
Теперь найдем односторонние производные.
Левосторонняя производная:
$f'_{-}(1) = \lim_{x \to 1^{-}} \frac{f(x) - f(1)}{x - 1} = \lim_{x \to 1^{-}} \frac{(x^2 - 1) - 0}{x - 1} = \lim_{x \to 1^{-}} \frac{(x-1)(x+1)}{x-1} = \lim_{x \to 1^{-}} (x+1) = 2$.
Правосторонняя производная:
$f'_{+}(1) = \lim_{x \to 1^{+}} \frac{f(x) - f(1)}{x - 1} = \lim_{x \to 1^{+}} \frac{(x^3 - x) - 0}{x - 1} = \lim_{x \to 1^{+}} \frac{x(x^2 - 1)}{x - 1} = \lim_{x \to 1^{+}} \frac{x(x-1)(x+1)}{x - 1} = \lim_{x \to 1^{+}} x(x+1) = 1 \cdot (1+1) = 2$.
Так как $f'_{-}(1) = f'_{+}(1) = 2$, производная в точке $x_0 = 1$ существует.
Ответ: Функция дифференцируема в точке $x_0=1$, и $f'(1) = 2$.
г) $f(x) = \begin{cases} x² & \text{при } x > 0 \\ x³ & \text{при } x < 0 \end{cases}, x_0 = 0$
В условии задачи функция не определена в точке $x_0 = 0$. Для дифференцируемости функции в точке необходимо, чтобы она была в этой точке определена и непрерывна. Найдем односторонние пределы:
$\lim_{x \to 0^{-}} f(x) = \lim_{x \to 0^{-}} x^3 = 0$.
$\lim_{x \to 0^{+}} f(x) = \lim_{x \to 0^{+}} x^2 = 0$.
Поскольку односторонние пределы равны 0, для непрерывности функции в точке $x_0=0$ необходимо доопределить ее, положив $f(0)=0$. Будем считать, что в условии имеется в виду функция $f(x) = \begin{cases} x² & \text{при } x \ge 0 \\ x³ & \text{при } x < 0 \end{cases}$.
При $f(0)=0$ найдем односторонние производные в точке $x_0=0$.
Левосторонняя производная:
$f'_{-}(0) = \lim_{x \to 0^{-}} \frac{f(x) - f(0)}{x - 0} = \lim_{x \to 0^{-}} \frac{x^3 - 0}{x} = \lim_{x \to 0^{-}} x^2 = 0$.
Правосторонняя производная:
$f'_{+}(0) = \lim_{x \to 0^{+}} \frac{f(x) - f(0)}{x - 0} = \lim_{x \to 0^{+}} \frac{x^2 - 0}{x} = \lim_{x \to 0^{+}} x = 0$.
Так как $f'_{-}(0) = f'_{+}(0) = 0$, производная в точке $x_0 = 0$ существует (при условии $f(0)=0$).
Ответ: При доопределении $f(0)=0$ функция дифференцируема в точке $x_0=0$, и $f'(0) = 0$.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz
ПрисоединитьсяМы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 10-11 класс, для упражнения номер 209 расположенного на странице 337 к учебнику 2008 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №209 (с. 337), авторов: Колмогоров (Андрей Николаевич), Абрамов (Александр Михайлович), Дудницын (Юрий Павлович), учебного пособия издательства Просвещение.