Номер 209, страница 337 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Глава 6. Задачи повышенной трудности. Параграф 4. Начала математического анализа - номер 209, страница 337.

Условие.

209. Пользуясь определением производной, докажите, что функция $f$ дифференцируема в точке $x_0$, если:

а) $f(x) = x |x|, x_0 = 0;$

б) $f(x) = |x^2 - 1| (x + 1), x_0 = -1;$

в) $f(x)=\begin{cases} x^2 - 1 & \text{при } x \le 1, \\ x^3 - x & \text{при } x > 1 \end{cases}, x_0 = 1;$

г) $f(x)=\begin{cases} x^2 & \text{при } x \ge 0, \\ x^3 & \text{при } x < 0 \end{cases}, x_0 = 0.$

Решение 5.

а) $f(x) = x|x|$, $x_0 = 0$

Для доказательства дифференцируемости функции в точке по определению, необходимо доказать существование конечного предела $f'(x_0) = \lim_{x \to x_0} \frac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0}$.

Сначала найдем значение функции в точке $x_0 = 0$: $f(0) = 0 \cdot |0| = 0$.

Для функций, содержащих модуль, необходимо найти и сравнить левостороннюю и правостороннюю производные.

Левосторонняя производная:

$f'_{-}(0) = \lim_{x \to 0^{-}} \frac{f(x) - f(0)}{x - 0} = \lim_{x \to 0^{-}} \frac{x|x| - 0}{x} = \lim_{x \to 0^{-}} |x|$.

Поскольку $x \to 0^{-}$, то $x < 0$, и $|x| = -x$.

$f'_{-}(0) = \lim_{x \to 0^{-}} \frac{x(-x)}{x} = \lim_{x \to 0^{-}} (-x) = 0$.

Правосторонняя производная:

$f'_{+}(0) = \lim_{x \to 0^{+}} \frac{f(x) - f(0)}{x - 0} = \lim_{x \to 0^{+}} \frac{x|x| - 0}{x} = \lim_{x \to 0^{+}} |x|$.

Поскольку $x \to 0^{+}$, то $x > 0$, и $|x| = x$.

$f'_{+}(0) = \lim_{x \to 0^{+}} \frac{x(x)}{x} = \lim_{x \to 0^{+}} x = 0$.

Так как левосторонняя и правосторонняя производные в точке $x_0 = 0$ существуют, конечны и равны ($f'_{-}(0) = f'_{+}(0) = 0$), функция $f(x)$ дифференцируема в этой точке.

Ответ: Функция дифференцируема в точке $x_0=0$, и $f'(0) = 0$.

б) $f(x) = |x² - 1|(x + 1)$, $x_0 = -1$

Проверим дифференцируемость функции в точке $x_0 = -1$ по определению. Найдем значение функции в этой точке:

$f(-1) = |(-1)² - 1|(-1 + 1) = |1 - 1| \cdot 0 = 0$.

Найдем односторонние производные в точке $x_0=-1$.

Левосторонняя производная:

$f'_{-}(-1) = \lim_{x \to -1^{-}} \frac{f(x) - f(-1)}{x - (-1)} = \lim_{x \to -1^{-}} \frac{|x^2 - 1|(x + 1) - 0}{x + 1}$.

При $x \to -1^{-}$ (т.е. $x < -1$), выражение $x^2-1$ положительно. Следовательно, $|x^2-1| = x^2-1$.

$f'_{-}(-1) = \lim_{x \to -1^{-}} \frac{(x^2 - 1)(x + 1)}{x + 1} = \lim_{x \to -1^{-}} (x^2 - 1) = (-1)^2 - 1 = 0$.

Правосторонняя производная:

$f'_{+}(-1) = \lim_{x \to -1^{+}} \frac{f(x) - f(-1)}{x - (-1)} = \lim_{x \to -1^{+}} \frac{|x^2 - 1|(x + 1) - 0}{x + 1}$.

При $x \to -1^{+}$ (т.е. $-1 < x < 1$), выражение $x^2-1$ отрицательно. Следовательно, $|x^2-1| = -(x^2-1)$.

$f'_{+}(-1) = \lim_{x \to -1^{+}} \frac{-(x^2 - 1)(x + 1)}{x + 1} = \lim_{x \to -1^{+}} -(x^2 - 1) = -((-1)^2 - 1) = 0$.

Поскольку левосторонняя и правосторонняя производные равны ($f'_{-}(-1) = f'_{+}(-1) = 0$), функция дифференцируема в точке $x_0 = -1$.

Ответ: Функция дифференцируема в точке $x_0=-1$, и $f'(-1) = 0$.

в) $f(x) = \begin{cases} x² - 1 & \text{при } x \le 1 \\ x³ - x & \text{при } x > 1 \end{cases}, x_0 = 1$

Для кусочно-заданной функции необходимо проверить равенство односторонних производных в точке "стыка" $x_0=1$. Сначала убедимся, что функция непрерывна в этой точке.

Значение функции в точке: $f(1) = 1^2 - 1 = 0$.

Предел слева: $\lim_{x \to 1^{-}} f(x) = \lim_{x \to 1^{-}} (x^2 - 1) = 0$.

Предел справа: $\lim_{x \to 1^{+}} f(x) = \lim_{x \to 1^{+}} (x^3 - x) = 1^3 - 1 = 0$.

Функция непрерывна в точке $x_0=1$, так как предел слева, предел справа и значение функции в точке равны.

Теперь найдем односторонние производные.

Левосторонняя производная:

$f'_{-}(1) = \lim_{x \to 1^{-}} \frac{f(x) - f(1)}{x - 1} = \lim_{x \to 1^{-}} \frac{(x^2 - 1) - 0}{x - 1} = \lim_{x \to 1^{-}} \frac{(x-1)(x+1)}{x-1} = \lim_{x \to 1^{-}} (x+1) = 2$.

Правосторонняя производная:

$f'_{+}(1) = \lim_{x \to 1^{+}} \frac{f(x) - f(1)}{x - 1} = \lim_{x \to 1^{+}} \frac{(x^3 - x) - 0}{x - 1} = \lim_{x \to 1^{+}} \frac{x(x^2 - 1)}{x - 1} = \lim_{x \to 1^{+}} \frac{x(x-1)(x+1)}{x - 1} = \lim_{x \to 1^{+}} x(x+1) = 1 \cdot (1+1) = 2$.

Так как $f'_{-}(1) = f'_{+}(1) = 2$, производная в точке $x_0 = 1$ существует.

Ответ: Функция дифференцируема в точке $x_0=1$, и $f'(1) = 2$.

г) $f(x) = \begin{cases} x² & \text{при } x > 0 \\ x³ & \text{при } x < 0 \end{cases}, x_0 = 0$

В условии задачи функция не определена в точке $x_0 = 0$. Для дифференцируемости функции в точке необходимо, чтобы она была в этой точке определена и непрерывна. Найдем односторонние пределы:

$\lim_{x \to 0^{-}} f(x) = \lim_{x \to 0^{-}} x^3 = 0$.

$\lim_{x \to 0^{+}} f(x) = \lim_{x \to 0^{+}} x^2 = 0$.

Поскольку односторонние пределы равны 0, для непрерывности функции в точке $x_0=0$ необходимо доопределить ее, положив $f(0)=0$. Будем считать, что в условии имеется в виду функция $f(x) = \begin{cases} x² & \text{при } x \ge 0 \\ x³ & \text{при } x < 0 \end{cases}$.

При $f(0)=0$ найдем односторонние производные в точке $x_0=0$.

Левосторонняя производная:

$f'_{-}(0) = \lim_{x \to 0^{-}} \frac{f(x) - f(0)}{x - 0} = \lim_{x \to 0^{-}} \frac{x^3 - 0}{x} = \lim_{x \to 0^{-}} x^2 = 0$.

Правосторонняя производная:

$f'_{+}(0) = \lim_{x \to 0^{+}} \frac{f(x) - f(0)}{x - 0} = \lim_{x \to 0^{+}} \frac{x^2 - 0}{x} = \lim_{x \to 0^{+}} x = 0$.

Так как $f'_{-}(0) = f'_{+}(0) = 0$, производная в точке $x_0 = 0$ существует (при условии $f(0)=0$).

Ответ: При доопределении $f(0)=0$ функция дифференцируема в точке $x_0=0$, и $f'(0) = 0$.