Номер 202, страница 336 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Параграф 3. Уравнения, неравенства и системы. Глава 6. Задачи повышенной трудности - номер 202, страница 336.

Условие.

202. a) $\log_2 (2^x - 1) \log_{\frac{1}{2}} (2^{x+1} - 2) > 2;$

б) $3^{(\log_3 x)^2} + x^{\log_3 x} < 6;$

в) $3^{\lg x + 2} < 3^{\lg 2x + 5} - 2;$

г) $5^{(\log_5 x)^2} + x^{\log_5 x} < 10.$

Решение 5.

а)

Решим неравенство $\log_2 (2^x - 1) \log_{\frac{1}{2}} (2^{x+1} - 2) > 2$.

Сначала найдем область допустимых значений (ОДЗ). Аргументы логарифмов должны быть строго положительными:

1. $2^x - 1 > 0 \implies 2^x > 1 \implies 2^x > 2^0 \implies x > 0$.

2. $2^{x+1} - 2 > 0 \implies 2 \cdot 2^x - 2 > 0 \implies 2 \cdot 2^x > 2 \implies 2^x > 1 \implies x > 0$.

Таким образом, ОДЗ: $x > 0$.

Преобразуем второй логарифм, используя формулу перехода к новому основанию $\log_a b = \frac{\log_c b}{\log_c a}$ и свойство $\log_a b^n = n \log_a b$:

$\log_{\frac{1}{2}} (2^{x+1} - 2) = \log_{2^{-1}} (2(2^x - 1)) = -1 \cdot \log_2 (2(2^x - 1))$.

Используя свойство логарифма произведения $\log_a(bc) = \log_a b + \log_a c$, получаем:

$-\log_2 (2(2^x - 1)) = -(\log_2 2 + \log_2(2^x - 1)) = -(1 + \log_2(2^x - 1))$.

Подставим преобразованное выражение в исходное неравенство:

$\log_2 (2^x - 1) \cdot (-(1 + \log_2(2^x - 1))) > 2$.

Сделаем замену переменной. Пусть $t = \log_2(2^x - 1)$. Неравенство принимает вид:

$t \cdot (-(1 + t)) > 2$

$-t(1+t) > 2$

$-t - t^2 > 2$

$t^2 + t + 2 < 0$.

Решим полученное квадратное неравенство. Найдем дискриминант квадратного трехчлена $t^2 + t + 2$:

$D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot 2 = 1 - 8 = -7$.

Поскольку дискриминант $D < 0$ и старший коэффициент $a = 1 > 0$, парабола $y = t^2 + t + 2$ полностью лежит выше оси абсцисс, то есть выражение $t^2 + t + 2$ положительно при любых значениях $t$.

Следовательно, неравенство $t^2 + t + 2 < 0$ не имеет решений.

Ответ: нет решений.

б)

Решим неравенство $3^{\log_3^2 x} + x^{\log_3 x} < 6$.

ОДЗ: $x > 0$.

Преобразуем второе слагаемое $x^{\log_3 x}$, используя основное логарифмическое тождество $a = b^{\log_b a}$ и свойство степени $(a^m)^n = a^{mn}$:

$x^{\log_3 x} = (3^{\log_3 x})^{\log_3 x} = 3^{(\log_3 x) \cdot (\log_3 x)} = 3^{(\log_3 x)^2} = 3^{\log_3^2 x}$.

Таким образом, оба слагаемых в левой части неравенства равны. Подставим это в исходное неравенство:

$3^{\log_3^2 x} + 3^{\log_3^2 x} < 6$

$2 \cdot 3^{\log_3^2 x} < 6$

$3^{\log_3^2 x} < 3$.

Так как основание степени $3 > 1$, неравенство для показателей будет иметь тот же знак:

$\log_3^2 x < 1$.

Сделаем замену $t = \log_3 x$:

$t^2 < 1$

$t^2 - 1 < 0$

$(t-1)(t+1) < 0$.

Решением этого неравенства является интервал $-1 < t < 1$.

Вернемся к исходной переменной:

$-1 < \log_3 x < 1$.

Потенцируя по основанию 3, получаем:

$3^{-1} < x < 3^1$

$\frac{1}{3} < x < 3$.

Данное решение удовлетворяет ОДЗ ($x > 0$).

Ответ: $(\frac{1}{3}; 3)$.

в)

Решим неравенство $3^{\lg x + 2} < 3^{\lg 2x + 5} - 2$.

В данном виде выражение в правой части не позволяет выполнить простое логарифмирование. Зачастую в задачах такого типа встречаются опечатки. Предположим, что в условии имелось в виду $3^{\lg(x^2)+5}$ вместо $3^{\lg 2x + 5}$, так как это приводит к неравенству, решаемому стандартными методами. Решим неравенство в предположении, что оно имеет вид:

$3^{\lg x + 2} < 3^{\lg(x^2) + 5} - 2$.

ОДЗ: $x > 0$.

Используя свойства степеней и логарифмов, преобразуем неравенство:

$3^{\lg x} \cdot 3^2 < 3^{2\lg x} \cdot 3^5 - 2$

$9 \cdot 3^{\lg x} < 243 \cdot (3^{\lg x})^2 - 2$.

Сделаем замену $t = 3^{\lg x}$. Так как $\lg x$ может принимать любые действительные значения, то $t > 0$.

$9t < 243t^2 - 2$

$243t^2 - 9t - 2 > 0$.

Найдем корни квадратного уравнения $243t^2 - 9t - 2 = 0$:

$D = (-9)^2 - 4 \cdot 243 \cdot (-2) = 81 + 1944 = 2025 = 45^2$.

$t_{1,2} = \frac{9 \pm 45}{2 \cdot 243} = \frac{9 \pm 45}{486}$.

$t_1 = \frac{9+45}{486} = \frac{54}{486} = \frac{1}{9}$.

$t_2 = \frac{9-45}{486} = \frac{-36}{486} = -\frac{2}{27}$.

Парабола $y = 243t^2 - 9t - 2$ направлена ветвями вверх, поэтому неравенство выполняется при $t < -\frac{2}{27}$ или $t > \frac{1}{9}$.

Учитывая условие $t > 0$, получаем $t > \frac{1}{9}$.

Вернемся к исходной переменной:

$3^{\lg x} > \frac{1}{9}$

$3^{\lg x} > 3^{-2}$.

Так как основание $3 > 1$, то:

$\lg x > -2$

$x > 10^{-2}$

$x > \frac{1}{100}$.

Решение удовлетворяет ОДЗ ($x>0$).

Ответ: $(\frac{1}{100}; +\infty)$.

г)

Решим неравенство $5^{\log_5^2 x} + x^{\log_5 x} < 10$.

ОДЗ: $x > 0$.

Данное неравенство аналогично неравенству из пункта б). Преобразуем второе слагаемое $x^{\log_5 x}$:

$x^{\log_5 x} = (5^{\log_5 x})^{\log_5 x} = 5^{(\log_5 x) \cdot (\log_5 x)} = 5^{(\log_5 x)^2} = 5^{\log_5^2 x}$.

Подставим полученное выражение в неравенство:

$5^{\log_5^2 x} + 5^{\log_5^2 x} < 10$

$2 \cdot 5^{\log_5^2 x} < 10$

$5^{\log_5^2 x} < 5$.

Так как основание степени $5 > 1$, получаем:

$\log_5^2 x < 1$.

Сделаем замену $t = \log_5 x$:

$t^2 < 1 \implies t^2 - 1 < 0 \implies (t-1)(t+1) < 0$.

Решением является интервал $-1 < t < 1$.

Вернемся к переменной $x$:

$-1 < \log_5 x < 1$.

Пропотенцируем по основанию 5:

$5^{-1} < x < 5^1$

$\frac{1}{5} < x < 5$.

Решение удовлетворяет ОДЗ ($x>0$).

Ответ: $(\frac{1}{5}; 5)$.