Номер 197, страница 336 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Глава 6. Задачи повышенной трудности. Параграф 3. Уравнения, неравенства и системы - номер 197, страница 336.

Условие.

197. a) $ \lg (\operatorname{arctg} x) + \lg (\operatorname{arcctg} x) = a; $

б) $ \log_{x+1} (x^2 - 9x + 8) \cdot \log_{x-1} (x + 1) = 3; $

в) $ \arcsin (\lg x^2) + \arcsin (\lg x) = \frac{\pi}{3}; $

г) $ \log_{3-4x^2} (9 - 16x^4) = 2 + \frac{1}{\log_2 (3-4x^2)}. $

Решение 3.

Решение 5.

а)

Исходное уравнение: $ \lg(\arctan x) + \lg(\text{arccotg } x) = a $.

Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Аргумент логарифма должен быть строго положительным:

$ \arctan x > 0 \implies x > 0 $.

$ \text{arccotg } x > 0 $ выполняется для любого действительного $ x $, так как область значений арккотангенса $ (0, \pi) $.

Таким образом, ОДЗ: $ x > 0 $.

Используя свойство логарифмов $ \log_c a + \log_c b = \log_c(ab) $, преобразуем уравнение:

$ \lg(\arctan x \cdot \text{arccotg } x) = a $.

По определению десятичного логарифма:

$ \arctan x \cdot \text{arccotg } x = 10^a $.

Воспользуемся тождеством $ \arctan x + \text{arccotg } x = \frac{\pi}{2} $, откуда $ \text{arccotg } x = \frac{\pi}{2} - \arctan x $.

Подставим это в уравнение:

$ \arctan x \cdot (\frac{\pi}{2} - \arctan x) = 10^a $.

Сделаем замену $ t = \arctan x $. Так как $ x > 0 $, то $ t \in (0, \frac{\pi}{2}) $.

$ t(\frac{\pi}{2} - t) = 10^a $

$ \frac{\pi}{2}t - t^2 = 10^a $

$ t^2 - \frac{\pi}{2}t + 10^a = 0 $.

Это квадратное уравнение относительно $ t $. Найдем его дискриминант:

$ D = (-\frac{\pi}{2})^2 - 4 \cdot 1 \cdot 10^a = \frac{\pi^2}{4} - 4 \cdot 10^a $.

Для существования действительных корней необходимо, чтобы $ D \ge 0 $:

$ \frac{\pi^2}{4} - 4 \cdot 10^a \ge 0 \implies \frac{\pi^2}{16} \ge 10^a \implies a \le \lg(\frac{\pi^2}{16}) $ или $ a \le 2\lg(\frac{\pi}{4}) $.

При выполнении этого условия корни уравнения для $ t $ равны:

$ t_{1,2} = \frac{\frac{\pi}{2} \pm \sqrt{\frac{\pi^2}{4} - 4 \cdot 10^a}}{2} = \frac{\pi}{4} \pm \frac{1}{2}\sqrt{\frac{\pi^2}{4} - 4 \cdot 10^a} $.

Оба корня принадлежат интервалу $ (0, \frac{\pi}{2}) $.

Выполним обратную замену $ x = \tan(t) $.

Если $ a > 2\lg(\frac{\pi}{4}) $, решений нет.

Если $ a = 2\lg(\frac{\pi}{4}) $, то $ D=0 $, $ t = \frac{\pi}{4} $, и $ x = \tan(\frac{\pi}{4}) = 1 $.

Если $ a < 2\lg(\frac{\pi}{4}) $, уравнение имеет два решения.

Ответ: если $ a > 2\lg(\frac{\pi}{4}) $, решений нет; если $ a = 2\lg(\frac{\pi}{4}) $, $ x=1 $; если $ a < 2\lg(\frac{\pi}{4}) $, то $ x = \tan(\frac{\pi}{4} \pm \frac{1}{2}\sqrt{\frac{\pi^2}{4} - 4 \cdot 10^a}) $.

б)

Исходное уравнение: $ \log_{x+1}(x^2 - 9x + 8) \cdot \log_{x-1}(x+1) = 3 $.

Найдем ОДЗ:

1. Аргументы логарифмов должны быть положительны: $ x^2 - 9x + 8 > 0 \implies (x-1)(x-8) > 0 \implies x \in (-\infty, 1) \cup (8, +\infty) $. Также $ x+1 > 0 \implies x > -1 $.

2. Основания логарифмов должны быть положительны и не равны 1: $ x+1 > 0 $, $ x+1 \ne 1 \implies x \ne 0 $. Также $ x-1 > 0 \implies x > 1 $, $ x-1 \ne 1 \implies x \ne 2 $.

Пересекая все условия ($ x \in (-\infty, 1) \cup (8, +\infty) $, $ x > -1 $, $ x > 1 $, $ x \ne 2 $), получаем ОДЗ: $ x \in (8, +\infty) $.

Воспользуемся формулой перехода к новому основанию: $ \log_a b = \frac{\log_c b}{\log_c a} $ и $ \log_b a = \frac{1}{\log_a b} $.

Преобразуем второй множитель: $ \log_{x-1}(x+1) = \frac{1}{\log_{x+1}(x-1)} $.

Уравнение принимает вид:

$ \frac{\log_{x+1}(x^2 - 9x + 8)}{\log_{x+1}(x-1)} = 3 $.

Используя свойство $ \frac{\log_c b}{\log_c a} = \log_a b $, получаем:

$ \log_{x-1}(x^2 - 9x + 8) = 3 $.

Разложим на множители выражение под логарифмом: $ x^2 - 9x + 8 = (x-1)(x-8) $.

$ \log_{x-1}((x-1)(x-8)) = 3 $.

Используя свойство логарифма произведения, получаем:

$ \log_{x-1}(x-1) + \log_{x-1}(x-8) = 3 $.

$ 1 + \log_{x-1}(x-8) = 3 $.

$ \log_{x-1}(x-8) = 2 $.

По определению логарифма:

$ x-8 = (x-1)^2 $.

$ x-8 = x^2 - 2x + 1 $.

$ x^2 - 3x + 9 = 0 $.

Найдем дискриминант этого квадратного уравнения:

$ D = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 9 = 9 - 36 = -27 $.

Так как $ D < 0 $, действительных корней нет.

Ответ: решений нет.

в)

Исходное уравнение: $ \arcsin(\lg x^2) + \arcsin(\lg x) = \frac{\pi}{3} $.

Найдем ОДЗ. Для существования $ \lg x $, необходимо $ x > 0 $.

Используем свойство логарифма $ \lg x^2 = 2\lg x $ (это возможно, так как $ x>0 $).

Уравнение становится: $ \arcsin(2\lg x) + \arcsin(\lg x) = \frac{\pi}{3} $.

Аргумент арксинуса должен лежать в отрезке $ [-1, 1] $:

$ -1 \le 2\lg x \le 1 \implies -1/2 \le \lg x \le 1/2 $.

$ -1 \le \lg x \le 1 $.

Пересечение этих условий дает $ -1/2 \le \lg x \le 1/2 $.

Сделаем замену $ t = \lg x $. Тогда $ t \in [-1/2, 1/2] $.

Уравнение в новых переменных: $ \arcsin(2t) + \arcsin(t) = \frac{\pi}{3} $.

Выразим один из арксинусов:

$ \arcsin(2t) = \frac{\pi}{3} - \arcsin(t) $.

Возьмем синус от обеих частей уравнения:

$ \sin(\arcsin(2t)) = \sin(\frac{\pi}{3} - \arcsin(t)) $.

$ 2t = \sin(\frac{\pi}{3})\cos(\arcsin(t)) - \cos(\frac{\pi}{3})\sin(\arcsin(t)) $.

Зная, что $ \sin(\arcsin t) = t $ и $ \cos(\arcsin t) = \sqrt{1-t^2} $ (косинус неотрицателен, т.к. $ \arcsin t \in [-\pi/2, \pi/2] $), а также $ \sin(\frac{\pi}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{2} $ и $ \cos(\frac{\pi}{3}) = \frac{1}{2} $, получаем:

$ 2t = \frac{\sqrt{3}}{2}\sqrt{1-t^2} - \frac{1}{2}t $.

$ 2t + \frac{1}{2}t = \frac{\sqrt{3}}{2}\sqrt{1-t^2} $.

$ \frac{5t}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2}\sqrt{1-t^2} $.

$ 5t = \sqrt{3}\sqrt{1-t^2} $.

Так как правая часть неотрицательна, то и левая должна быть неотрицательной: $ 5t \ge 0 \implies t \ge 0 $. С учетом ОДЗ для $t$, получаем $ t \in [0, 1/2] $.

Возведем обе части в квадрат:

$ 25t^2 = 3(1-t^2) $.

$ 25t^2 = 3 - 3t^2 $.

$ 28t^2 = 3 \implies t^2 = \frac{3}{28} $.

Так как $ t \ge 0 $, то $ t = \sqrt{\frac{3}{28}} = \frac{\sqrt{3}}{2\sqrt{7}} = \frac{\sqrt{21}}{14} $.

Проверим, удовлетворяет ли найденный корень условию $ t \in [0, 1/2] $. $ t^2 = 3/28 $. $ (1/2)^2 = 1/4 = 7/28 $. Так как $ 3/28 < 7/28 $, то $ t < 1/2 $. Условие выполняется.

Выполним обратную замену:

$ \lg x = \sqrt{\frac{3}{28}} $.

$ x = 10^{\sqrt{3/28}} $.

Ответ: $ x = 10^{\sqrt{3/28}} $.

г)

Исходное уравнение: $ \log_{3-4x^2}(9-16x^4) = 2 + \frac{1}{\log_2(3-4x^2)} $.

Найдем ОДЗ:

1. Аргумент логарифма: $ 9 - 16x^4 > 0 \implies 16x^4 < 9 \implies x^4 < \frac{9}{16} \implies x^2 < \frac{3}{4} \implies -\frac{\sqrt{3}}{2} < x < \frac{\sqrt{3}}{2} $.

2. Основание логарифма: $ 3 - 4x^2 > 0 \implies 4x^2 < 3 \implies x^2 < \frac{3}{4} $ (то же самое условие). И $ 3 - 4x^2 \ne 1 \implies 4x^2 \ne 2 \implies x^2 \ne \frac{1}{2} \implies x \ne \pm\frac{1}{\sqrt{2}} $.

ОДЗ: $ x \in (-\frac{\sqrt{3}}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}) $, $ x \ne \pm\frac{1}{\sqrt{2}} $.

Преобразуем левую часть, используя формулу разности квадратов: $ 9 - 16x^4 = (3-4x^2)(3+4x^2) $.

$ \log_{3-4x^2}((3-4x^2)(3+4x^2)) = \log_{3-4x^2}(3-4x^2) + \log_{3-4x^2}(3+4x^2) = 1 + \log_{3-4x^2}(3+4x^2) $.

Преобразуем правую часть, используя формулу $ \frac{1}{\log_b a} = \log_a b $:

$ 2 + \frac{1}{\log_2(3-4x^2)} = 2 + \log_{3-4x^2}(2) $.

Теперь уравнение имеет вид:

$ 1 + \log_{3-4x^2}(3+4x^2) = 2 + \log_{3-4x^2}(2) $.

Соберем логарифмы в одной части:

$ \log_{3-4x^2}(3+4x^2) - \log_{3-4x^2}(2) = 2 - 1 $.

$ \log_{3-4x^2}\left(\frac{3+4x^2}{2}\right) = 1 $.

По определению логарифма:

$ \frac{3+4x^2}{2} = 3-4x^2 $.

$ 3+4x^2 = 2(3-4x^2) $.

$ 3+4x^2 = 6 - 8x^2 $.

$ 12x^2 = 3 $.

$ x^2 = \frac{3}{12} = \frac{1}{4} $.

$ x = \pm\frac{1}{2} $.

Проверим, входят ли корни в ОДЗ. $ x^2 = 1/4 $. Это удовлетворяет условиям $ x^2 < 3/4 $ и $ x^2 \ne 1/2 $. Следовательно, оба корня $ x = 1/2 $ и $ x = -1/2 $ являются решениями.

Ответ: $ x = \pm\frac{1}{2} $.