Номер 193, страница 335 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Глава 6. Задачи повышенной трудности. Параграф 3. Уравнения, неравенства и системы - номер 193, страница 335.

Условие.

193. Найдите все значения $a$, для которых неравенство $4^x - a \cdot 2^x - a + 3 \leq 0$ имеет хотя бы одно решение.

Решение 5.

Исходное неравенство: $4^x - a \cdot 2^x - a + 3 \le 0$.

Данное неравенство является показательным. Чтобы его решить, сделаем замену переменной. Пусть $t = 2^x$. Так как показательная функция $y = 2^x$ принимает только положительные значения, то для новой переменной $t$ должно выполняться условие $t > 0$.

Заметив, что $4^x = (2^x)^2 = t^2$, перепишем исходное неравенство в виде квадратного неравенства относительно переменной $t$:

$t^2 - a \cdot t - a + 3 \le 0$

Теперь задача сводится к тому, чтобы найти все значения параметра $a$, при которых это квадратное неравенство имеет хотя бы одно решение, удовлетворяющее условию $t > 0$.

Рассмотрим функцию $f(t) = t^2 - at - a + 3$. Ее график — это парабола с ветвями, направленными вверх. Неравенство $f(t) \le 0$ будет иметь решения в том и только в том случае, если парабола пересекает ось абсцисс или касается ее. Это равносильно тому, что дискриминант $D$ квадратного трехчлена $t^2 - at - a + 3$ неотрицателен.

Найдем дискриминант:$D = (-a)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-a + 3) = a^2 + 4a - 12$.

Решим неравенство $D \ge 0$:$a^2 + 4a - 12 \ge 0$.Найдем корни уравнения $a^2 + 4a - 12 = 0$. По теореме Виета или через дискриминант находим корни $a_1 = -6$ и $a_2 = 2$.Так как это парабола с ветвями вверх, неравенство выполняется при $a \in (-\infty, -6] \cup [2, \infty)$.

При этих значениях $a$ квадратное уравнение $t^2 - at - a + 3 = 0$ имеет два корня $t_1$ и $t_2$ (при $D=0$ они совпадают), и решением неравенства $f(t) \le 0$ является отрезок $[t_1, t_2]$ (где $t_1 \le t_2$).

Нам необходимо, чтобы существовало хотя бы одно решение $t > 0$. Это означает, что промежуток $[t_1, t_2]$ должен иметь непустое пересечение с промежутком $(0, \infty)$. Это условие будет выполнено, если больший корень $t_2$ будет строго больше нуля: $t_2 > 0$.

Корни квадратного уравнения находятся по формуле $t = \frac{a \pm \sqrt{D}}{2}$. Больший корень равен:$t_2 = \frac{a + \sqrt{a^2 + 4a - 12}}{2}$.

Решим неравенство $t_2 > 0$:$\frac{a + \sqrt{a^2 + 4a - 12}}{2} > 0$$a + \sqrt{a^2 + 4a - 12} > 0$

Рассмотрим это неравенство для двух множеств значений $a$, определенных условием $D \ge 0$.

Сначала рассмотрим случай, когда $a \in [2, \infty)$. В этом случае $a$ является положительным числом. Корень $\sqrt{a^2 + 4a - 12}$ является вещественным и неотрицательным числом. Сумма положительного и неотрицательного числа всегда положительна. Следовательно, неравенство $a + \sqrt{a^2 + 4a - 12} > 0$ выполняется для всех $a \in [2, \infty)$.

Теперь рассмотрим случай, когда $a \in (-\infty, -6]$. В этом случае $a$ является отрицательным числом. Перепишем неравенство в виде:$\sqrt{a^2 + 4a - 12} > -a$.Так как $a \le -6$, то $-a \ge 6$, то есть обе части неравенства положительны. Можем возвести обе части в квадрат:$a^2 + 4a - 12 > (-a)^2$$a^2 + 4a - 12 > a^2$$4a - 12 > 0$$4a > 12$$a > 3$.Нам нужно найти пересечение множеств $a \in (-\infty, -6]$ и $a > 3$. Это пересечение пусто. Таким образом, в этом случае решений нет.

Объединяя результаты, получаем, что исходное неравенство имеет хотя бы одно решение при $a \in [2, \infty)$.

Ответ: $a \in [2, \infty)$.