Номер 190, страница 335 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Глава 6. Задачи повышенной трудности. Параграф 3. Уравнения, неравенства и системы - номер 190, страница 335.

Условие.

190. При каких значениях $a$ уравнение $a (2^x + 2^{-x}) = 5$ имеет единственное решение?

Решение 5.

Рассмотрим данное уравнение $a(2^x + 2^{-x}) = 5$. Чтобы найти значения параметра $a$, при которых это уравнение имеет единственное решение, исследуем функцию, стоящую в левой части в скобках.

Пусть $f(x) = 2^x + 2^{-x}$. Эта функция является четной, так как для любого значения $x$ выполняется равенство: $f(-x) = 2^{-x} + 2^{-(-x)} = 2^{-x} + 2^x = f(x)$.

График четной функции симметричен относительно оси ординат. Исходное уравнение можно записать как $a \cdot f(x) = 5$. Если $x_0 \neq 0$ является корнем этого уравнения, то и $-x_0$ также является его корнем, поскольку $f(x_0) = f(-x_0)$. В таком случае уравнение будет иметь как минимум два решения ($x_0$ и $-x_0$).

Следовательно, для того чтобы исходное уравнение имело единственное решение, необходимо, чтобы это решение удовлетворяло условию $x = -x$, что возможно только при $x=0$.

Найдем значение параметра $a$, при котором $x=0$ является решением. Для этого подставим $x=0$ в исходное уравнение: $a(2^0 + 2^{-0}) = 5$
$a(1 + 1) = 5$
$2a = 5$
$a = 2.5$

Теперь необходимо убедиться, что при найденном значении $a=2.5$ уравнение действительно имеет только одно решение. Подставим это значение $a$ в исходное уравнение: $2.5(2^x + 2^{-x}) = 5$

Разделим обе части уравнения на 2.5: $2^x + 2^{-x} = 2$

Для решения этого уравнения введем замену переменной. Пусть $t = 2^x$. Поскольку показательная функция $y=2^x$ всегда принимает положительные значения, то $t > 0$. Уравнение примет вид: $t + \frac{1}{t} = 2$

Умножим обе части на $t$ (так как $t>0$, это является равносильным преобразованием): $t^2 + 1 = 2t$
$t^2 - 2t + 1 = 0$
$(t-1)^2 = 0$

Данное квадратное уравнение имеет единственный корень $t=1$.

Выполним обратную замену: $2^x = 1$
$2^x = 2^0$
$x=0$

Таким образом, мы показали, что при $a=2.5$ исходное уравнение имеет ровно одно решение $x=0$. При других значениях $a$ уравнение либо не будет иметь решений (например, при $a \le 0$ или $a > 2.5$), либо будет иметь два решения (при $0 < a < 2.5$).

Ответ: $a = 2.5$.