Номер 190, страница 335 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Авторы: Колмогоров А. Н., Абрамов А. М., Дудницын Ю. П.
Тип: Учебник
Издательство: Просвещение
Год издания: 2008 - 2025
Цвет обложки: зелёный, чёрный
ISBN: 978-5-09-019513-3
Рекомендовано Министерством образования и науки Российской Федерации
Алгебра и начала математического анализа
Популярные ГДЗ в 10 классе
Параграф 3. Уравнения, неравенства и системы. Глава 6. Задачи повышенной трудности - номер 190, страница 335.
№190 (с. 335)
Условие. №190 (с. 335)
скриншот условия

190. При каких значениях $a$ уравнение $a (2^x + 2^{-x}) = 5$ имеет единственное решение?
Решение 5. №190 (с. 335)
Рассмотрим данное уравнение $a(2^x + 2^{-x}) = 5$. Чтобы найти значения параметра $a$, при которых это уравнение имеет единственное решение, исследуем функцию, стоящую в левой части в скобках.
Пусть $f(x) = 2^x + 2^{-x}$. Эта функция является четной, так как для любого значения $x$ выполняется равенство: $f(-x) = 2^{-x} + 2^{-(-x)} = 2^{-x} + 2^x = f(x)$.
График четной функции симметричен относительно оси ординат. Исходное уравнение можно записать как $a \cdot f(x) = 5$. Если $x_0 \neq 0$ является корнем этого уравнения, то и $-x_0$ также является его корнем, поскольку $f(x_0) = f(-x_0)$. В таком случае уравнение будет иметь как минимум два решения ($x_0$ и $-x_0$).
Следовательно, для того чтобы исходное уравнение имело единственное решение, необходимо, чтобы это решение удовлетворяло условию $x = -x$, что возможно только при $x=0$.
Найдем значение параметра $a$, при котором $x=0$ является решением. Для этого подставим $x=0$ в исходное уравнение: $a(2^0 + 2^{-0}) = 5$
$a(1 + 1) = 5$
$2a = 5$
$a = 2.5$
Теперь необходимо убедиться, что при найденном значении $a=2.5$ уравнение действительно имеет только одно решение. Подставим это значение $a$ в исходное уравнение: $2.5(2^x + 2^{-x}) = 5$
Разделим обе части уравнения на 2.5: $2^x + 2^{-x} = 2$
Для решения этого уравнения введем замену переменной. Пусть $t = 2^x$. Поскольку показательная функция $y=2^x$ всегда принимает положительные значения, то $t > 0$. Уравнение примет вид: $t + \frac{1}{t} = 2$
Умножим обе части на $t$ (так как $t>0$, это является равносильным преобразованием): $t^2 + 1 = 2t$
$t^2 - 2t + 1 = 0$
$(t-1)^2 = 0$
Данное квадратное уравнение имеет единственный корень $t=1$.
Выполним обратную замену: $2^x = 1$
$2^x = 2^0$
$x=0$
Таким образом, мы показали, что при $a=2.5$ исходное уравнение имеет ровно одно решение $x=0$. При других значениях $a$ уравнение либо не будет иметь решений (например, при $a \le 0$ или $a > 2.5$), либо будет иметь два решения (при $0 < a < 2.5$).
Ответ: $a = 2.5$.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz
ПрисоединитьсяМы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 10-11 класс, для упражнения номер 190 расположенного на странице 335 к учебнику 2008 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №190 (с. 335), авторов: Колмогоров (Андрей Николаевич), Абрамов (Александр Михайлович), Дудницын (Юрий Павлович), учебного пособия издательства Просвещение.