Номер 184, страница 334 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Авторы: Колмогоров А. Н., Абрамов А. М., Дудницын Ю. П.
Тип: Учебник
Издательство: Просвещение
Год издания: 2008 - 2025
Цвет обложки: зелёный, чёрный
ISBN: 978-5-09-019513-3
Рекомендовано Министерством образования и науки Российской Федерации
Алгебра и начала математического анализа
Популярные ГДЗ в 10 классе
Параграф 3. Уравнения, неравенства и системы. Глава 6. Задачи повышенной трудности - номер 184, страница 334.
№184 (с. 334)
Условие. №184 (с. 334)
скриншот условия

Решите системы уравнений (184—186).
184. а) $ \begin{cases} \sin x - \frac{1}{\sin x} = \sin y, \\ \cos x - \frac{1}{\cos x} = \cos y; \end{cases} $ б) $ \begin{cases} \sin (y - 3x) = 2 \sin^3 x, \\ \cos (y - 3x) = 2 \cos^3 x. \end{cases} $
Решение 5. №184 (с. 334)
а)
Дана система уравнений:
$$\begin{cases}\sin x - \frac{1}{\sin x} = \sin y, \\\cos x - \frac{1}{\cos x} = \cos y.\end{cases}$$
Область допустимых значений (ОДЗ) для этой системы определяется условиями $\sin x \neq 0$ и $\cos x \neq 0$. Это означает, что $x \neq \frac{\pi k}{2}$ для любого целого $k$.
Приведем левые части уравнений к общему знаменателю:
$$\begin{cases}\frac{\sin^2 x - 1}{\sin x} = \sin y, \\\frac{\cos^2 x - 1}{\cos x} = \cos y.\end{cases}$$
Используя основное тригонометрическое тождество $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$, заменим $\sin^2 x - 1 = -\cos^2 x$ и $\cos^2 x - 1 = -\sin^2 x$. Система примет вид:
$$\begin{cases}\frac{-\cos^2 x}{\sin x} = \sin y, \\\frac{-\sin^2 x}{\cos x} = \cos y.\end{cases}$$
Перепишем систему без дробей:
$$\begin{cases}-\cos^2 x = \sin x \sin y, \\-\sin^2 x = \cos x \cos y.\end{cases}$$
Сложим два уравнения этой системы:
$-\cos^2 x - \sin^2 x = \sin x \sin y + \cos x \cos y$
$-(\cos^2 x + \sin^2 x) = \cos(x-y)$
$-1 = \cos(x-y)$
Из этого уравнения следует, что $x-y = \pi + 2\pi m$ для любого целого $m$. Отсюда $y = x - \pi - 2\pi m$. Так как синус и косинус являются $2\pi$-периодическими функциями, мы можем записать $y = x - \pi$.
Тогда $\sin y = \sin(x-\pi) = -\sin x$ и $\cos y = \cos(x-\pi) = -\cos x$.
Подставим эти выражения в исходную систему:
1) $\sin x - \frac{1}{\sin x} = -\sin x \implies 2\sin x = \frac{1}{\sin x} \implies 2\sin^2 x = 1 \implies \sin^2 x = \frac{1}{2}$.
2) $\cos x - \frac{1}{\cos x} = -\cos x \implies 2\cos x = \frac{1}{\cos x} \implies 2\cos^2 x = 1 \implies \cos^2 x = \frac{1}{2}$.
Оба уравнения приводят к одному и тому же условию, так как $\sin^2 x + \cos^2 x = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 1$.
Из $\sin^2 x = \frac{1}{2}$ и $\cos^2 x = \frac{1}{2}$ следует, что $|\sin x| = |\cos x| = \frac{\sqrt{2}}{2}$.
Это условие выполняется для углов $x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi n}{2}$, где $n$ — любое целое число. Эти значения $x$ удовлетворяют ОДЗ.
Итак, мы нашли решения для $x$ и связь между $x$ и $y$. Запишем общее решение системы.
Ответ: $(x,y) = (\frac{\pi}{4} + \frac{\pi n}{2}, \frac{\pi}{4} + \frac{\pi n}{2} - \pi + 2\pi m)$, где $n, m \in \mathbb{Z}$. Это можно упростить до $(x,y) = (\frac{\pi}{4} + \frac{\pi n}{2}, -\frac{3\pi}{4} + \frac{\pi n}{2} + 2\pi m)$, где $n, m \in \mathbb{Z}$.
б)
Дана система уравнений:
$$\begin{cases}\sin(y-3x) = 2\sin^3 x, \\\cos(y-3x) = 2\cos^3 x.\end{cases}$$
Возведем оба уравнения в квадрат и сложим их. Так как $\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$, левая часть будет равна 1:
$\sin^2(y-3x) + \cos^2(y-3x) = (2\sin^3 x)^2 + (2\cos^3 x)^2$
$1 = 4\sin^6 x + 4\cos^6 x$
$1 = 4(\sin^6 x + \cos^6 x)$
Используем формулу для суммы кубов, представив $\sin^6 x = (\sin^2 x)^3$ и $\cos^6 x = (\cos^2 x)^3$:
$\sin^6 x + \cos^6 x = (\sin^2 x + \cos^2 x)(\sin^4 x - \sin^2 x \cos^2 x + \cos^4 x)$
$\sin^6 x + \cos^6 x = 1 \cdot ((\sin^2 x + \cos^2 x)^2 - 3\sin^2 x \cos^2 x) = 1 - 3\sin^2 x \cos^2 x$
Подставим это обратно в уравнение:
$1 = 4(1 - 3\sin^2 x \cos^2 x)$
$1 = 4 - 12\sin^2 x \cos^2 x$
$12\sin^2 x \cos^2 x = 3$
$\sin^2 x \cos^2 x = \frac{3}{12} = \frac{1}{4}$
$(\sin x \cos x)^2 = \frac{1}{4}$
Используя формулу синуса двойного угла $\sin(2x) = 2\sin x \cos x$:
$(\frac{\sin(2x)}{2})^2 = \frac{1}{4}$
$\frac{\sin^2(2x)}{4} = \frac{1}{4}$
$\sin^2(2x) = 1$
Это означает, что $\sin(2x) = 1$ или $\sin(2x) = -1$. Это эквивалентно $\cos(2x)=0$.
Решение этого уравнения: $2x = \frac{\pi}{2} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
$x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi k}{2}$, где $k \in \mathbb{Z}$.
Теперь найдем $y$. Разделим первое уравнение системы на второе (при условии $\cos x \neq 0$, что выполняется для найденных $x$):
$\tan(y-3x) = \frac{2\sin^3 x}{2\cos^3 x} = \tan^3 x$
Рассмотрим два случая для $x$ в зависимости от четности $k$.
1. Если $k=2n$ (четное), то $x = \frac{\pi}{4} + n\pi$. В этом случае $\tan x = 1$. Тогда $\tan(y-3x) = 1^3 = 1$.
2. Если $k=2n+1$ (нечетное), то $x = \frac{\pi}{4} + \frac{(2n+1)\pi}{2} = \frac{3\pi}{4} + n\pi$. В этом случае $\tan x = -1$. Тогда $\tan(y-3x) = (-1)^3 = -1$.
Вместо рассмотрения случаев можно найти $y$ более общим способом. Воспользуемся формулами тройного угла:
$2\sin^3 x = \frac{1}{2}(3\sin x - \sin(3x))$
$2\cos^3 x = \frac{1}{2}(3\cos x + \cos(3x))$
Система принимает вид:
$$\begin{cases}\sin(y-3x) = \frac{1}{2}(3\sin x - \sin(3x)), \\\cos(y-3x) = \frac{1}{2}(3\cos x + \cos(3x)).\end{cases}$$
С помощью формул для синуса и косинуса суммы углов, можно выразить $\sin y$ и $\cos y$:
$\sin y = \sin((y-3x)+3x) = \sin(y-3x)\cos(3x) + \cos(y-3x)\sin(3x)$
$\cos y = \cos((y-3x)+3x) = \cos(y-3x)\cos(3x) - \sin(y-3x)\sin(3x)$
Подставив правые части системы, получим:
$\sin y = \frac{3}{2}\sin(4x)$
$\cos y = \frac{3}{2}\cos(4x) + \frac{1}{2}$
Мы нашли, что $2x = \frac{\pi}{2} + \pi k$, следовательно, $4x = \pi + 2\pi k$.
Тогда $\sin(4x) = \sin(\pi + 2\pi k) = 0$ и $\cos(4x) = \cos(\pi + 2\pi k) = -1$.
Подставим эти значения в выражения для $\sin y$ и $\cos y$:
$\sin y = \frac{3}{2}(0) = 0$
$\cos y = \frac{3}{2}(-1) + \frac{1}{2} = -\frac{3}{2} + \frac{1}{2} = -1$
Система $\sin y = 0$ и $\cos y = -1$ имеет решение $y = \pi + 2\pi m$, где $m \in \mathbb{Z}$.
Таким образом, для любого $x$ из найденной серии решений, $y$ принадлежит своей серии решений, независимо от параметра $k$.
Ответ: $x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi k}{2}$, $y = \pi + 2\pi m$, где $k, m \in \mathbb{Z}$.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz
ПрисоединитьсяМы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 10-11 класс, для упражнения номер 184 расположенного на странице 334 к учебнику 2008 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №184 (с. 334), авторов: Колмогоров (Андрей Николаевич), Абрамов (Александр Михайлович), Дудницын (Юрий Павлович), учебного пособия издательства Просвещение.