Номер 184, страница 334 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Глава 6. Задачи повышенной трудности. Параграф 3. Уравнения, неравенства и системы - номер 184, страница 334.

Условие.

Решите системы уравнений (184—186).

184. а) $ \begin{cases} \sin x - \frac{1}{\sin x} = \sin y, \\ \cos x - \frac{1}{\cos x} = \cos y; \end{cases} $ б) $ \begin{cases} \sin (y - 3x) = 2 \sin^3 x, \\ \cos (y - 3x) = 2 \cos^3 x. \end{cases} $

Решение 5.

а)

Дана система уравнений:

$$\begin{cases}\sin x - \frac{1}{\sin x} = \sin y, \\\cos x - \frac{1}{\cos x} = \cos y.\end{cases}$$

Область допустимых значений (ОДЗ) для этой системы определяется условиями $\sin x \neq 0$ и $\cos x \neq 0$. Это означает, что $x \neq \frac{\pi k}{2}$ для любого целого $k$.

Приведем левые части уравнений к общему знаменателю:

$$\begin{cases}\frac{\sin^2 x - 1}{\sin x} = \sin y, \\\frac{\cos^2 x - 1}{\cos x} = \cos y.\end{cases}$$

Используя основное тригонометрическое тождество $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$, заменим $\sin^2 x - 1 = -\cos^2 x$ и $\cos^2 x - 1 = -\sin^2 x$. Система примет вид:

$$\begin{cases}\frac{-\cos^2 x}{\sin x} = \sin y, \\\frac{-\sin^2 x}{\cos x} = \cos y.\end{cases}$$

Перепишем систему без дробей:

$$\begin{cases}-\cos^2 x = \sin x \sin y, \\-\sin^2 x = \cos x \cos y.\end{cases}$$

Сложим два уравнения этой системы:

$-\cos^2 x - \sin^2 x = \sin x \sin y + \cos x \cos y$

$-(\cos^2 x + \sin^2 x) = \cos(x-y)$

$-1 = \cos(x-y)$

Из этого уравнения следует, что $x-y = \pi + 2\pi m$ для любого целого $m$. Отсюда $y = x - \pi - 2\pi m$. Так как синус и косинус являются $2\pi$-периодическими функциями, мы можем записать $y = x - \pi$.

Тогда $\sin y = \sin(x-\pi) = -\sin x$ и $\cos y = \cos(x-\pi) = -\cos x$.

Подставим эти выражения в исходную систему:

1) $\sin x - \frac{1}{\sin x} = -\sin x \implies 2\sin x = \frac{1}{\sin x} \implies 2\sin^2 x = 1 \implies \sin^2 x = \frac{1}{2}$.

2) $\cos x - \frac{1}{\cos x} = -\cos x \implies 2\cos x = \frac{1}{\cos x} \implies 2\cos^2 x = 1 \implies \cos^2 x = \frac{1}{2}$.

Оба уравнения приводят к одному и тому же условию, так как $\sin^2 x + \cos^2 x = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 1$.

Из $\sin^2 x = \frac{1}{2}$ и $\cos^2 x = \frac{1}{2}$ следует, что $|\sin x| = |\cos x| = \frac{\sqrt{2}}{2}$.

Это условие выполняется для углов $x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi n}{2}$, где $n$ — любое целое число. Эти значения $x$ удовлетворяют ОДЗ.

Итак, мы нашли решения для $x$ и связь между $x$ и $y$. Запишем общее решение системы.

Ответ: $(x,y) = (\frac{\pi}{4} + \frac{\pi n}{2}, \frac{\pi}{4} + \frac{\pi n}{2} - \pi + 2\pi m)$, где $n, m \in \mathbb{Z}$. Это можно упростить до $(x,y) = (\frac{\pi}{4} + \frac{\pi n}{2}, -\frac{3\pi}{4} + \frac{\pi n}{2} + 2\pi m)$, где $n, m \in \mathbb{Z}$.

б)

Дана система уравнений:

$$\begin{cases}\sin(y-3x) = 2\sin^3 x, \\\cos(y-3x) = 2\cos^3 x.\end{cases}$$

Возведем оба уравнения в квадрат и сложим их. Так как $\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$, левая часть будет равна 1:

$\sin^2(y-3x) + \cos^2(y-3x) = (2\sin^3 x)^2 + (2\cos^3 x)^2$

$1 = 4\sin^6 x + 4\cos^6 x$

$1 = 4(\sin^6 x + \cos^6 x)$

Используем формулу для суммы кубов, представив $\sin^6 x = (\sin^2 x)^3$ и $\cos^6 x = (\cos^2 x)^3$:

$\sin^6 x + \cos^6 x = (\sin^2 x + \cos^2 x)(\sin^4 x - \sin^2 x \cos^2 x + \cos^4 x)$

$\sin^6 x + \cos^6 x = 1 \cdot ((\sin^2 x + \cos^2 x)^2 - 3\sin^2 x \cos^2 x) = 1 - 3\sin^2 x \cos^2 x$

Подставим это обратно в уравнение:

$1 = 4(1 - 3\sin^2 x \cos^2 x)$

$1 = 4 - 12\sin^2 x \cos^2 x$

$12\sin^2 x \cos^2 x = 3$

$\sin^2 x \cos^2 x = \frac{3}{12} = \frac{1}{4}$

$(\sin x \cos x)^2 = \frac{1}{4}$

Используя формулу синуса двойного угла $\sin(2x) = 2\sin x \cos x$:

$(\frac{\sin(2x)}{2})^2 = \frac{1}{4}$

$\frac{\sin^2(2x)}{4} = \frac{1}{4}$

$\sin^2(2x) = 1$

Это означает, что $\sin(2x) = 1$ или $\sin(2x) = -1$. Это эквивалентно $\cos(2x)=0$.

Решение этого уравнения: $2x = \frac{\pi}{2} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

$x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi k}{2}$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Теперь найдем $y$. Разделим первое уравнение системы на второе (при условии $\cos x \neq 0$, что выполняется для найденных $x$):

$\tan(y-3x) = \frac{2\sin^3 x}{2\cos^3 x} = \tan^3 x$

Рассмотрим два случая для $x$ в зависимости от четности $k$.

1. Если $k=2n$ (четное), то $x = \frac{\pi}{4} + n\pi$. В этом случае $\tan x = 1$. Тогда $\tan(y-3x) = 1^3 = 1$.

2. Если $k=2n+1$ (нечетное), то $x = \frac{\pi}{4} + \frac{(2n+1)\pi}{2} = \frac{3\pi}{4} + n\pi$. В этом случае $\tan x = -1$. Тогда $\tan(y-3x) = (-1)^3 = -1$.

Вместо рассмотрения случаев можно найти $y$ более общим способом. Воспользуемся формулами тройного угла:

$2\sin^3 x = \frac{1}{2}(3\sin x - \sin(3x))$

$2\cos^3 x = \frac{1}{2}(3\cos x + \cos(3x))$

Система принимает вид:

$$\begin{cases}\sin(y-3x) = \frac{1}{2}(3\sin x - \sin(3x)), \\\cos(y-3x) = \frac{1}{2}(3\cos x + \cos(3x)).\end{cases}$$

С помощью формул для синуса и косинуса суммы углов, можно выразить $\sin y$ и $\cos y$:

$\sin y = \sin((y-3x)+3x) = \sin(y-3x)\cos(3x) + \cos(y-3x)\sin(3x)$

$\cos y = \cos((y-3x)+3x) = \cos(y-3x)\cos(3x) - \sin(y-3x)\sin(3x)$

Подставив правые части системы, получим:

$\sin y = \frac{3}{2}\sin(4x)$

$\cos y = \frac{3}{2}\cos(4x) + \frac{1}{2}$

Мы нашли, что $2x = \frac{\pi}{2} + \pi k$, следовательно, $4x = \pi + 2\pi k$.

Тогда $\sin(4x) = \sin(\pi + 2\pi k) = 0$ и $\cos(4x) = \cos(\pi + 2\pi k) = -1$.

Подставим эти значения в выражения для $\sin y$ и $\cos y$:

$\sin y = \frac{3}{2}(0) = 0$

$\cos y = \frac{3}{2}(-1) + \frac{1}{2} = -\frac{3}{2} + \frac{1}{2} = -1$

Система $\sin y = 0$ и $\cos y = -1$ имеет решение $y = \pi + 2\pi m$, где $m \in \mathbb{Z}$.

Таким образом, для любого $x$ из найденной серии решений, $y$ принадлежит своей серии решений, независимо от параметра $k$.

Ответ: $x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi k}{2}$, $y = \pi + 2\pi m$, где $k, m \in \mathbb{Z}$.