Номер 219, страница 338 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Параграф 4. Начала математического анализа. Глава 6. Задачи повышенной трудности - номер 219, страница 338.

Условие.

Исследуйте функции на возрастание (убывание) и экстремумы (219–220).

219. a) $f(x) = x^2(\sqrt{x-1});$

б) $f(x) = x^2 \sqrt{1-2x};$

в) $f(x) = 6 \sin x - \cos 2x;$

г) $f(x) = 2 \sin x + 3 \cos x.$

Решение 5.

а) $f(x) = x^2(\sqrt{x} - 1)$

1. Область определения функции.

Подкоренное выражение должно быть неотрицательным: $x \ge 0$. Таким образом, область определения функции $D(f) = [0, +\infty)$.

Преобразуем функцию: $f(x) = x^2 \cdot x^{1/2} - x^2 = x^{5/2} - x^2$.

2. Находим производную функции.

$f'(x) = (x^{5/2} - x^2)' = \frac{5}{2}x^{3/2} - 2x = x(\frac{5}{2}\sqrt{x} - 2)$.

3. Находим критические точки.

Приравняем производную к нулю: $f'(x) = 0$.

$x(\frac{5}{2}\sqrt{x} - 2) = 0$.

Отсюда либо $x=0$, либо $\frac{5}{2}\sqrt{x} - 2 = 0$.

Решаем второе уравнение: $\frac{5}{2}\sqrt{x} = 2 \implies \sqrt{x} = \frac{4}{5} \implies x = \frac{16}{25}$.

Обе точки, $x=0$ и $x=16/25$, принадлежат области определения.

4. Определяем знаки производной на интервалах.

Критические точки $x=0$ и $x=16/25$ делят область определения на интервалы $(0, 16/25)$ и $(16/25, +\infty)$.

На интервале $(0, 16/25)$, например, при $x=1/25$: $f'(1/25) = \frac{1}{25}(\frac{5}{2}\sqrt{\frac{1}{25}} - 2) = \frac{1}{25}(\frac{5}{2} \cdot \frac{1}{5} - 2) = \frac{1}{25}(\frac{1}{2} - 2) < 0$. Функция убывает.

На интервале $(16/25, +\infty)$, например, при $x=1$: $f'(1) = 1(\frac{5}{2}\sqrt{1} - 2) = \frac{5}{2} - 2 > 0$. Функция возрастает.

5. Определяем точки экстремума.

В точке $x = 16/25$ производная меняет знак с «−» на «+», следовательно, это точка минимума.

$y_{min} = f(16/25) = (\frac{16}{25})^2(\sqrt{\frac{16}{25}} - 1) = \frac{256}{625}(\frac{4}{5} - 1) = \frac{256}{625}(-\frac{1}{5}) = -\frac{256}{3125}$.

Точка $x=0$ является граничной точкой области определения. Так как на интервале $(0, 16/25)$ функция убывает, то $x=0$ является точкой локального максимума.

$y_{max} = f(0) = 0^2(\sqrt{0}-1) = 0$.

Ответ: функция возрастает на промежутке $[\frac{16}{25}, +\infty)$, убывает на промежутке $[0, \frac{16}{25}]$; $x_{min} = \frac{16}{25}$, $y_{min} = -\frac{256}{3125}$; $x_{max} = 0$, $y_{max} = 0$.

б) $f(x) = x^2\sqrt{1-2x}$

1. Область определения функции.

Подкоренное выражение должно быть неотрицательным: $1-2x \ge 0 \implies 2x \le 1 \implies x \le 1/2$. Область определения $D(f) = (-\infty, 1/2]$.

2. Находим производную функции.

Используем правило производной произведения: $f'(x) = (x^2)'\sqrt{1-2x} + x^2(\sqrt{1-2x})'$.

$f'(x) = 2x\sqrt{1-2x} + x^2 \cdot \frac{-2}{2\sqrt{1-2x}} = 2x\sqrt{1-2x} - \frac{x^2}{\sqrt{1-2x}}$.

$f'(x) = \frac{2x(1-2x) - x^2}{\sqrt{1-2x}} = \frac{2x - 4x^2 - x^2}{\sqrt{1-2x}} = \frac{2x - 5x^2}{\sqrt{1-2x}} = \frac{x(2-5x)}{\sqrt{1-2x}}$.

3. Находим критические точки.

Приравняем производную к нулю: $x(2-5x)=0$. Отсюда $x=0$ или $x=2/5$. Обе точки принадлежат $D(f)$.

Производная не определена при $x=1/2$. Это граничная точка области определения.

4. Определяем знаки производной на интервалах.

Критические точки $0, 2/5, 1/2$ делят область определения на интервалы $(-\infty, 0)$, $(0, 2/5)$, $(2/5, 1/2)$.

Знак $f'(x)$ совпадает со знаком числителя $x(2-5x)$, так как знаменатель $\sqrt{1-2x} > 0$ внутри области определения.

На интервале $(-\infty, 0)$: $x(2-5x) < 0$, $f'(x) < 0$. Функция убывает.

На интервале $(0, 2/5)$: $x(2-5x) > 0$, $f'(x) > 0$. Функция возрастает.

На интервале $(2/5, 1/2)$: $x(2-5x) < 0$, $f'(x) < 0$. Функция убывает.

5. Определяем точки экстремума.

В точке $x=0$ производная меняет знак с «−» на «+», это точка минимума. $y_{min} = f(0) = 0$.

В точке $x=2/5$ производная меняет знак с «+» на «−», это точка максимума. $y_{max} = f(2/5) = (\frac{2}{5})^2 \sqrt{1 - 2 \cdot \frac{2}{5}} = \frac{4}{25}\sqrt{\frac{1}{5}} = \frac{4\sqrt{5}}{125}$.

Ответ: функция возрастает на промежутке $[0, \frac{2}{5}]$, убывает на промежутках $(-\infty, 0]$ и $[\frac{2}{5}, \frac{1}{2}]$; $x_{min} = 0$, $y_{min} = 0$; $x_{max} = \frac{2}{5}$, $y_{max} = \frac{4\sqrt{5}}{125}$.

в) $f(x) = 6\sin x - \cos 2x$

1. Область определения и периодичность.

Область определения $D(f) = (-\infty, +\infty)$. Функция является периодической с основным периодом $2\pi$. Исследуем ее на промежутке $[0, 2\pi]$.

2. Находим производную функции.

$f'(x) = (6\sin x - \cos 2x)' = 6\cos x - (-\sin 2x) \cdot 2 = 6\cos x + 2\sin 2x$.

Используя формулу двойного угла $\sin 2x = 2\sin x \cos x$, получаем:

$f'(x) = 6\cos x + 4\sin x \cos x = 2\cos x (3 + 2\sin x)$.

3. Находим критические точки.

Приравняем производную к нулю: $2\cos x (3 + 2\sin x) = 0$.

Так как $-1 \le \sin x \le 1$, то $1 \le 3+2\sin x \le 5$, то есть множитель $(3+2\sin x)$ всегда положителен. Следовательно, $f'(x) = 0$ тогда и только тогда, когда $\cos x = 0$.

На промежутке $[0, 2\pi]$ решениями являются $x = \pi/2$ и $x = 3\pi/2$.

В общем виде, критические точки: $x = \pi/2 + k\pi$, где $k \in \mathbb{Z}$.

4. Определяем знаки производной на интервалах.

Знак $f'(x)$ совпадает со знаком $\cos x$.

На интервалах $(0, \pi/2)$ и $(3\pi/2, 2\pi)$: $\cos x > 0 \implies f'(x) > 0$. Функция возрастает.

На интервале $(\pi/2, 3\pi/2)$: $\cos x < 0 \implies f'(x) < 0$. Функция убывает.

5. Определяем точки экстремума.

В точке $x = \pi/2$ производная меняет знак с «+» на «−», это точка максимума. $y_{max} = f(\pi/2) = 6\sin(\pi/2) - \cos(\pi) = 6(1) - (-1) = 7$.

В точке $x = 3\pi/2$ производная меняет знак с «−» на «+», это точка минимума. $y_{min} = f(3\pi/2) = 6\sin(3\pi/2) - \cos(3\pi) = 6(-1) - (-1) = -5$.

Ответ: функция возрастает на промежутках $[-\frac{\pi}{2} + 2\pi k, \frac{\pi}{2} + 2\pi k]$, убывает на промежутках $[\frac{\pi}{2} + 2\pi k, \frac{3\pi}{2} + 2\pi k]$, $k \in \mathbb{Z}$; точки максимума $x_{max} = \frac{\pi}{2} + 2\pi k$, $y_{max}=7$; точки минимума $x_{min} = \frac{3\pi}{2} + 2\pi k$, $y_{min}=-5$, $k \in \mathbb{Z}$.

г) $f(x) = 2\sin x + 3\cos x$

1. Область определения и периодичность.

Область определения $D(f) = (-\infty, +\infty)$. Функция является периодической с основным периодом $2\pi$. Исследуем ее на промежутке $[0, 2\pi]$.

2. Находим производную функции.

$f'(x) = (2\sin x + 3\cos x)' = 2\cos x - 3\sin x$.

3. Находим критические точки.

Приравняем производную к нулю: $2\cos x - 3\sin x = 0 \implies 2\cos x = 3\sin x$.

Разделим на $\cos x$ (он не равен нулю, иначе $\sin x = 0$, что невозможно одновременно): $\tan x = 2/3$.

Решения уравнения: $x = \arctan(2/3) + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

4. Определяем знаки производной на интервалах.

Рассмотрим интервал $[-\pi + \arctan(2/3), \pi + \arctan(2/3)]$ длиной $2\pi$. Критические точки: $x_1 = \arctan(2/3)$ и $x_2 = \arctan(2/3) - \pi$.

Возьмем точку $x=0$, которая лежит в интервале $(\arctan(2/3)-\pi, \arctan(2/3))$. $f'(0) = 2\cos(0) - 3\sin(0) = 2 > 0$. Функция возрастает.

Возьмем точку $x=\pi/2$, которая лежит в интервале $(\arctan(2/3), \arctan(2/3)+\pi)$. $f'(\pi/2) = 2\cos(\pi/2) - 3\sin(\pi/2) = -3 < 0$. Функция убывает.

5. Определяем точки экстремума.

Точки вида $x = \arctan(2/3) + 2\pi k$: производная меняет знак с «+» на «−», это точки максимума.

Точки вида $x = \arctan(2/3) + \pi + 2\pi k$: производная меняет знак с «−» на «+», это точки минимума.

Для нахождения значений в точках экстремума воспользуемся тем, что если $\tan x = 2/3$, то $\sin x = \pm \frac{2}{\sqrt{2^2+3^2}} = \pm \frac{2}{\sqrt{13}}$ и $\cos x = \pm \frac{3}{\sqrt{13}}$.

В точках максимума ($x = \arctan(2/3) + 2\pi k$, I четверть) $\sin x = \frac{2}{\sqrt{13}}$, $\cos x = \frac{3}{\sqrt{13}}$.
$y_{max} = 2(\frac{2}{\sqrt{13}}) + 3(\frac{3}{\sqrt{13}}) = \frac{4+9}{\sqrt{13}} = \frac{13}{\sqrt{13}} = \sqrt{13}$.

В точках минимума ($x = \arctan(2/3) + \pi + 2\pi k$, III четверть) $\sin x = -\frac{2}{\sqrt{13}}$, $\cos x = -\frac{3}{\sqrt{13}}$.
$y_{min} = 2(-\frac{2}{\sqrt{13}}) + 3(-\frac{3}{\sqrt{13}}) = \frac{-4-9}{\sqrt{13}} = -\frac{13}{\sqrt{13}} = -\sqrt{13}$.

Ответ: функция возрастает на промежутках $[\arctan(2/3) - \pi + 2\pi k, \arctan(2/3) + 2\pi k]$, убывает на промежутках $[\arctan(2/3) + 2\pi k, \arctan(2/3) + \pi + 2\pi k]$, $k \in \mathbb{Z}$; точки максимума $x_{max} = \arctan(2/3) + 2\pi k$, $y_{max}=\sqrt{13}$; точки минимума $x_{min} = \arctan(2/3) + \pi + 2\pi k$, $y_{min}=-\sqrt{13}$, $k \in \mathbb{Z}$.