Номер 242, страница 340 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Глава 6. Задачи повышенной трудности. Параграф 4. Начала математического анализа - номер 242, страница 340.

Условие.

242. Под каким углом пересекаются графики функций $y = 8 - x$ и $y = 4 \sqrt{x+4}$?

Решение 3.

Решение 5.

Чтобы найти угол, под которым пересекаются графики функций, необходимо найти угол между касательными к этим графикам в точке их пересечения.

1. Нахождение точки пересечения графиков

Для нахождения точки пересечения приравняем выражения для $y$:
$8 - x = 4\sqrt{x+4}$

Определим область допустимых значений (ОДЗ). Выражение под корнем должно быть неотрицательным: $x+4 \ge 0$, что дает $x \ge -4$. Также, правая часть уравнения $4\sqrt{x+4}$ всегда неотрицательна, следовательно, левая часть также должна быть неотрицательной: $8 - x \ge 0$, что дает $x \le 8$. Таким образом, искомый корень должен лежать в промежутке $[-4, 8]$.

Теперь решим уравнение, возведя обе части в квадрат:
$(8 - x)^2 = (4\sqrt{x+4})^2$
$64 - 16x + x^2 = 16(x+4)$
$64 - 16x + x^2 = 16x + 64$
$x^2 - 32x = 0$
$x(x - 32) = 0$

Это уравнение имеет два корня: $x_1 = 0$ и $x_2 = 32$.

Проверим корни на соответствие ОДЗ $[-4, 8]$:
$x_1 = 0$ удовлетворяет условию, так как $-4 \le 0 \le 8$.
$x_2 = 32$ не удовлетворяет условию, так как $32 > 8$, и является посторонним корнем.

Следовательно, графики пересекаются в одной точке. Найдем ее ординату, подставив $x=0$ в любое из уравнений:
$y = 8 - 0 = 8$
Точка пересечения имеет координаты $(0, 8)$.

2. Нахождение угловых коэффициентов касательных

Угловой коэффициент касательной к графику функции в точке равен значению производной этой функции в данной точке.

Для первой функции $y_1 = 8 - x$ найдем производную:
$y_1' = (8 - x)' = -1$
Угловой коэффициент первой касательной $k_1$ в точке $x=0$ постоянен и равен:
$k_1 = y_1'(0) = -1$

Для второй функции $y_2 = 4\sqrt{x+4}$ найдем производную:
$y_2' = (4\sqrt{x+4})' = 4 \cdot \frac{1}{2\sqrt{x+4}} \cdot (x+4)' = \frac{2}{\sqrt{x+4}}$
Вычислим угловой коэффициент второй касательной $k_2$ в точке $x=0$:
$k_2 = y_2'(0) = \frac{2}{\sqrt{0+4}} = \frac{2}{2} = 1$

3. Вычисление угла между касательными

Угол $\alpha$ между двумя прямыми с угловыми коэффициентами $k_1$ и $k_2$ определяется из условия перпендикулярности или по формуле для тангенса угла.

Две прямые перпендикулярны, если произведение их угловых коэффициентов равно -1, то есть $k_1 \cdot k_2 = -1$. Проверим это условие для наших касательных:
$k_1 \cdot k_2 = (-1) \cdot 1 = -1$

Поскольку условие перпендикулярности выполняется, касательные к графикам в точке их пересечения перпендикулярны. Следовательно, угол между ними составляет $90^\circ$.

Ответ: $90^\circ$