Номер 241, страница 340 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Глава 6. Задачи повышенной трудности. Параграф 4. Начала математического анализа - номер 241, страница 340.

Условие.

241. Лампа подвешена на высоте 12 м над прямой горизонтальной дорожкой, по которой идет человек ростом 1,8 м. С какой скоростью удлиняется его тень, если он удаляется от лампы со скоростью 50 м/мин?

Решение 5.

Для решения этой задачи рассмотрим геометрическую модель ситуации. Пусть $H$ — высота, на которой висит лампа, а $h$ — рост человека. По условию, $H = 12$ м, $h = 1.8$ м.

Пусть $x$ — это расстояние от человека до точки на земле, находящейся прямо под лампой. Человек удаляется от этой точки со скоростью $v_x = \frac{dx}{dt} = 50$ м/мин. Пусть $y$ — это длина тени человека. Мы ищем скорость, с которой удлиняется тень, то есть $\frac{dy}{dt}$.

Свет от лампы, проходя над головой человека, образует на земле тень. При этом возникают два подобных прямоугольных треугольника. Первый, большой треугольник, образован лампой, точкой под ней и концом тени. Его катеты: высота лампы $H$ и расстояние от точки под лампой до конца тени, равное $x+y$. Второй, малый треугольник, вложен в первый. Его катеты — это рост человека $h$ и длина его тени $y$.

Из подобия этих треугольников следует, что отношение их соответствующих сторон равно:

$\frac{H}{h} = \frac{x+y}{y}$

Подставим известные значения высот:

$\frac{12}{1.8} = \frac{x+y}{y}$

Упростим отношение высот: $\frac{12}{1.8} = \frac{120}{18} = \frac{20}{3}$. Теперь равенство имеет вид:

$\frac{20}{3} = \frac{x+y}{y}$

Теперь выразим длину тени $y$ через расстояние $x$:

$20y = 3(x+y)$

$20y = 3x + 3y$

$20y - 3y = 3x$

$17y = 3x$

$y = \frac{3}{17}x$

Мы получили зависимость длины тени от положения человека. Чтобы найти скорость изменения длины тени, продифференцируем обе части этого уравнения по времени $t$:

$\frac{dy}{dt} = \frac{d}{dt}\left(\frac{3}{17}x\right)$

$\frac{dy}{dt} = \frac{3}{17} \frac{dx}{dt}$

Нам известна скорость человека $\frac{dx}{dt} = 50$ м/мин. Подставим это значение:

$\frac{dy}{dt} = \frac{3}{17} \times 50 = \frac{150}{17}$

Скорость удлинения тени составляет $\frac{150}{17}$ м/мин. Для удобства можно перевести это в смешанную дробь:

$\frac{150}{17} = 8 \frac{14}{17}$ м/мин.

Ответ: $8 \frac{14}{17}$ м/мин.