Номер 241, страница 340 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Алгебра, 10-11 класс Учебник, авторы: Колмогоров Андрей Николаевич, Абрамов Александр Михайлович, Дудницын Юрий Павлович, издательство Просвещение, Москва, 2008, зелёного цвета

Авторы: Колмогоров А. Н., Абрамов А. М., Дудницын Ю. П.

Тип: Учебник

Издательство: Просвещение

Год издания: 2008 - 2025

Цвет обложки: зелёный, чёрный

ISBN: 978-5-09-019513-3

Рекомендовано Министерством образования и науки Российской Федерации

Алгебра и начала математического анализа

Популярные ГДЗ в 10 классе

Параграф 4. Начала математического анализа. Глава 6. Задачи повышенной трудности - номер 241, страница 340.

№241 (с. 340)
Условие. №241 (с. 340)
скриншот условия
Алгебра, 10-11 класс Учебник, авторы: Колмогоров Андрей Николаевич, Абрамов Александр Михайлович, Дудницын Юрий Павлович, издательство Просвещение, Москва, 2008, зелёного цвета, страница 340, номер 241, Условие

241. Лампа подвешена на высоте 12 м над прямой горизонтальной дорожкой, по которой идет человек ростом 1,8 м. С какой скоростью удлиняется его тень, если он удаляется от лампы со скоростью 50 м/мин?

Решение 5. №241 (с. 340)

Для решения этой задачи рассмотрим геометрическую модель ситуации. Пусть $H$ — высота, на которой висит лампа, а $h$ — рост человека. По условию, $H = 12$ м, $h = 1.8$ м.

Пусть $x$ — это расстояние от человека до точки на земле, находящейся прямо под лампой. Человек удаляется от этой точки со скоростью $v_x = \frac{dx}{dt} = 50$ м/мин. Пусть $y$ — это длина тени человека. Мы ищем скорость, с которой удлиняется тень, то есть $\frac{dy}{dt}$.

Свет от лампы, проходя над головой человека, образует на земле тень. При этом возникают два подобных прямоугольных треугольника. Первый, большой треугольник, образован лампой, точкой под ней и концом тени. Его катеты: высота лампы $H$ и расстояние от точки под лампой до конца тени, равное $x+y$. Второй, малый треугольник, вложен в первый. Его катеты — это рост человека $h$ и длина его тени $y$.

Из подобия этих треугольников следует, что отношение их соответствующих сторон равно:

$\frac{H}{h} = \frac{x+y}{y}$

Подставим известные значения высот:

$\frac{12}{1.8} = \frac{x+y}{y}$

Упростим отношение высот: $\frac{12}{1.8} = \frac{120}{18} = \frac{20}{3}$. Теперь равенство имеет вид:

$\frac{20}{3} = \frac{x+y}{y}$

Теперь выразим длину тени $y$ через расстояние $x$:

$20y = 3(x+y)$

$20y = 3x + 3y$

$20y - 3y = 3x$

$17y = 3x$

$y = \frac{3}{17}x$

Мы получили зависимость длины тени от положения человека. Чтобы найти скорость изменения длины тени, продифференцируем обе части этого уравнения по времени $t$:

$\frac{dy}{dt} = \frac{d}{dt}\left(\frac{3}{17}x\right)$

$\frac{dy}{dt} = \frac{3}{17} \frac{dx}{dt}$

Нам известна скорость человека $\frac{dx}{dt} = 50$ м/мин. Подставим это значение:

$\frac{dy}{dt} = \frac{3}{17} \times 50 = \frac{150}{17}$

Скорость удлинения тени составляет $\frac{150}{17}$ м/мин. Для удобства можно перевести это в смешанную дробь:

$\frac{150}{17} = 8 \frac{14}{17}$ м/мин.

Ответ: $8 \frac{14}{17}$ м/мин.

Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.

Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz

Присоединиться

Мы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 10-11 класс, для упражнения номер 241 расположенного на странице 340 к учебнику 2008 года издания для учащихся школ и гимназий.

Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №241 (с. 340), авторов: Колмогоров (Андрей Николаевич), Абрамов (Александр Михайлович), Дудницын (Юрий Павлович), учебного пособия издательства Просвещение.