Номер 241, страница 340 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Авторы: Колмогоров А. Н., Абрамов А. М., Дудницын Ю. П.
Тип: Учебник
Издательство: Просвещение
Год издания: 2008 - 2025
Цвет обложки: зелёный, чёрный
ISBN: 978-5-09-019513-3
Рекомендовано Министерством образования и науки Российской Федерации
Алгебра и начала математического анализа
Популярные ГДЗ в 10 классе
Параграф 4. Начала математического анализа. Глава 6. Задачи повышенной трудности - номер 241, страница 340.
№241 (с. 340)
Условие. №241 (с. 340)
скриншот условия

241. Лампа подвешена на высоте 12 м над прямой горизонтальной дорожкой, по которой идет человек ростом 1,8 м. С какой скоростью удлиняется его тень, если он удаляется от лампы со скоростью 50 м/мин?
Решение 5. №241 (с. 340)
Для решения этой задачи рассмотрим геометрическую модель ситуации. Пусть $H$ — высота, на которой висит лампа, а $h$ — рост человека. По условию, $H = 12$ м, $h = 1.8$ м.
Пусть $x$ — это расстояние от человека до точки на земле, находящейся прямо под лампой. Человек удаляется от этой точки со скоростью $v_x = \frac{dx}{dt} = 50$ м/мин. Пусть $y$ — это длина тени человека. Мы ищем скорость, с которой удлиняется тень, то есть $\frac{dy}{dt}$.
Свет от лампы, проходя над головой человека, образует на земле тень. При этом возникают два подобных прямоугольных треугольника. Первый, большой треугольник, образован лампой, точкой под ней и концом тени. Его катеты: высота лампы $H$ и расстояние от точки под лампой до конца тени, равное $x+y$. Второй, малый треугольник, вложен в первый. Его катеты — это рост человека $h$ и длина его тени $y$.
Из подобия этих треугольников следует, что отношение их соответствующих сторон равно:
$\frac{H}{h} = \frac{x+y}{y}$
Подставим известные значения высот:
$\frac{12}{1.8} = \frac{x+y}{y}$
Упростим отношение высот: $\frac{12}{1.8} = \frac{120}{18} = \frac{20}{3}$. Теперь равенство имеет вид:
$\frac{20}{3} = \frac{x+y}{y}$
Теперь выразим длину тени $y$ через расстояние $x$:
$20y = 3(x+y)$
$20y = 3x + 3y$
$20y - 3y = 3x$
$17y = 3x$
$y = \frac{3}{17}x$
Мы получили зависимость длины тени от положения человека. Чтобы найти скорость изменения длины тени, продифференцируем обе части этого уравнения по времени $t$:
$\frac{dy}{dt} = \frac{d}{dt}\left(\frac{3}{17}x\right)$
$\frac{dy}{dt} = \frac{3}{17} \frac{dx}{dt}$
Нам известна скорость человека $\frac{dx}{dt} = 50$ м/мин. Подставим это значение:
$\frac{dy}{dt} = \frac{3}{17} \times 50 = \frac{150}{17}$
Скорость удлинения тени составляет $\frac{150}{17}$ м/мин. Для удобства можно перевести это в смешанную дробь:
$\frac{150}{17} = 8 \frac{14}{17}$ м/мин.
Ответ: $8 \frac{14}{17}$ м/мин.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz
ПрисоединитьсяМы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 10-11 класс, для упражнения номер 241 расположенного на странице 340 к учебнику 2008 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №241 (с. 340), авторов: Колмогоров (Андрей Николаевич), Абрамов (Александр Михайлович), Дудницын (Юрий Павлович), учебного пособия издательства Просвещение.