Номер 243, страница 340 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Параграф 4. Начала математического анализа. Глава 6. Задачи повышенной трудности - номер 243, страница 340.

Условие.

243. Запишите уравнение касательной к графику функции f, проходящей через точку M, если:

а) $f (x) = \frac{1}{x}, M (0; 3);$

б) $f (x) = x^2 - 4x + 1, M (-1; -3);$

в) $f (x) = \sqrt{2x - 1}, M (-1; 0);$

г) $f (x) = \sqrt{9 - x^2}, M (0; 6).$

Решение 3.

Решение 5.

Общий вид уравнения касательной к графику функции $y = f(x)$ в точке с абсциссой $x_0$ следующий: $y = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0)$.

Поскольку касательная должна проходить через точку $M(x_M; y_M)$, ее координаты должны удовлетворять уравнению касательной. Это позволяет нам составить уравнение для нахождения абсциссы точки касания $x_0$: $y_M = f(x_0) + f'(x_0)(x_M - x_0)$.

а) Дана функция $f(x) = \frac{1}{x}$ и точка $M(0; 3)$.

1. Находим производную функции: $f'(x) = -\frac{1}{x^2}$.

2. Подставляем $x_M = 0$, $y_M = 3$, $f(x_0) = \frac{1}{x_0}$ и $f'(x_0) = -\frac{1}{x_0^2}$ в уравнение для нахождения $x_0$: $3 = \frac{1}{x_0} + (-\frac{1}{x_0^2})(0 - x_0)$ $3 = \frac{1}{x_0} + \frac{x_0}{x_0^2}$ $3 = \frac{2}{x_0}$ Отсюда $x_0 = \frac{2}{3}$.

3. Находим значения $f(x_0)$ и $f'(x_0)$ в точке касания $x_0 = \frac{2}{3}$: $f(\frac{2}{3}) = \frac{1}{2/3} = \frac{3}{2}$ $f'(\frac{2}{3}) = -\frac{1}{(2/3)^2} = -\frac{1}{4/9} = -\frac{9}{4}$.

4. Записываем уравнение касательной: $y = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0)$ $y = \frac{3}{2} - \frac{9}{4}(x - \frac{2}{3})$ $y = \frac{3}{2} - \frac{9}{4}x + \frac{9 \cdot 2}{4 \cdot 3}$ $y = \frac{3}{2} - \frac{9}{4}x + \frac{3}{2}$ $y = 3 - \frac{9}{4}x$.

Ответ: $y = -\frac{9}{4}x + 3$.

б) Дана функция $f(x) = x^2 - 4x + 1$ и точка $M(-1; -3)$.

1. Находим производную функции: $f'(x) = 2x - 4$.

2. Подставляем $x_M = -1$, $y_M = -3$, $f(x_0) = x_0^2 - 4x_0 + 1$ и $f'(x_0) = 2x_0 - 4$ в уравнение для нахождения $x_0$: $-3 = (x_0^2 - 4x_0 + 1) + (2x_0 - 4)(-1 - x_0)$ $-3 = x_0^2 - 4x_0 + 1 - 2x_0 - 2x_0^2 + 4 + 4x_0$ $-3 = -x_0^2 - 2x_0 + 5$ $x_0^2 + 2x_0 - 8 = 0$.

3. Решаем квадратное уравнение. По теореме Виета корни $x_{0_1} = 2$ и $x_{0_2} = -4$. Это означает, что из точки $M$ можно провести две касательные к графику функции.

4. Находим уравнения обеих касательных.
Случай 1: $x_0 = 2$. $f(2) = 2^2 - 4(2) + 1 = 4 - 8 + 1 = -3$. $f'(2) = 2(2) - 4 = 0$. Уравнение касательной: $y = -3 + 0(x - 2) \implies y = -3$.
Случай 2: $x_0 = -4$. $f(-4) = (-4)^2 - 4(-4) + 1 = 16 + 16 + 1 = 33$. $f'(-4) = 2(-4) - 4 = -12$. Уравнение касательной: $y = 33 - 12(x - (-4)) = 33 - 12(x + 4) = 33 - 12x - 48 \implies y = -12x - 15$.

Ответ: $y = -3$ и $y = -12x - 15$.

в) Дана функция $f(x) = \sqrt{2x - 1}$ и точка $M(-1; 0)$. Область определения функции: $2x-1 \ge 0 \implies x \ge \frac{1}{2}$.

1. Находим производную функции: $f'(x) = (\sqrt{2x - 1})' = \frac{1}{2\sqrt{2x - 1}} \cdot 2 = \frac{1}{\sqrt{2x - 1}}$.

2. Подставляем $x_M = -1$, $y_M = 0$, $f(x_0) = \sqrt{2x_0 - 1}$ и $f'(x_0) = \frac{1}{\sqrt{2x_0 - 1}}$ в уравнение для нахождения $x_0$: $0 = \sqrt{2x_0 - 1} + \frac{1}{\sqrt{2x_0 - 1}}(-1 - x_0)$ Умножим обе части на $\sqrt{2x_0 - 1}$ (при условии $x_0 > \frac{1}{2}$): $0 = (2x_0 - 1) + (-1 - x_0)$ $0 = 2x_0 - 1 - 1 - x_0$ $x_0 = 2$. Это значение удовлетворяет условию $x_0 > \frac{1}{2}$.

3. Находим значения $f(x_0)$ и $f'(x_0)$ в точке касания $x_0 = 2$: $f(2) = \sqrt{2(2) - 1} = \sqrt{3}$. $f'(2) = \frac{1}{\sqrt{2(2) - 1}} = \frac{1}{\sqrt{3}}$.

4. Записываем уравнение касательной: $y = \sqrt{3} + \frac{1}{\sqrt{3}}(x - 2)$ $y = \sqrt{3} + \frac{x}{\sqrt{3}} - \frac{2}{\sqrt{3}}$ $y = \frac{x}{\sqrt{3}} + \frac{3 - 2}{\sqrt{3}}$ $y = \frac{x+1}{\sqrt{3}}$ или $y = \frac{\sqrt{3}}{3}(x+1)$.

Ответ: $y = \frac{\sqrt{3}}{3}(x+1)$.

г) Дана функция $f(x) = \sqrt{9 - x^2}$ и точка $M(0; 6)$. Область определения функции: $9-x^2 \ge 0 \implies -3 \le x \le 3$.

1. Находим производную функции: $f'(x) = (\sqrt{9 - x^2})' = \frac{-2x}{2\sqrt{9 - x^2}} = -\frac{x}{\sqrt{9 - x^2}}$.

2. Подставляем $x_M = 0$, $y_M = 6$, $f(x_0) = \sqrt{9 - x_0^2}$ и $f'(x_0) = -\frac{x_0}{\sqrt{9 - x_0^2}}$ в уравнение для нахождения $x_0$: $6 = \sqrt{9 - x_0^2} + (-\frac{x_0}{\sqrt{9 - x_0^2}})(0 - x_0)$ $6 = \sqrt{9 - x_0^2} + \frac{x_0^2}{\sqrt{9 - x_0^2}}$ Умножим обе части на $\sqrt{9 - x_0^2}$ (при условии $-3 < x_0 < 3$): $6\sqrt{9 - x_0^2} = (9 - x_0^2) + x_0^2$ $6\sqrt{9 - x_0^2} = 9$ $\sqrt{9 - x_0^2} = \frac{9}{6} = \frac{3}{2}$.

3. Возводим обе части в квадрат: $9 - x_0^2 = (\frac{3}{2})^2 = \frac{9}{4}$ $x_0^2 = 9 - \frac{9}{4} = \frac{36 - 9}{4} = \frac{27}{4}$ $x_0 = \pm\sqrt{\frac{27}{4}} = \pm\frac{3\sqrt{3}}{2}$. Оба значения входят в интервал $(-3, 3)$, значит, существует две касательные.

4. Находим уравнения обеих касательных. Для обоих значений $x_0$ имеем $f(x_0) = \sqrt{9 - x_0^2} = \frac{3}{2}$.
Случай 1: $x_0 = \frac{3\sqrt{3}}{2}$. $f'(\frac{3\sqrt{3}}{2}) = -\frac{3\sqrt{3}/2}{\sqrt{9 - (27/4)}} = -\frac{3\sqrt{3}/2}{3/2} = -\sqrt{3}$. Уравнение касательной: $y = \frac{3}{2} - \sqrt{3}(x - \frac{3\sqrt{3}}{2}) = \frac{3}{2} - \sqrt{3}x + \frac{9}{2} \implies y = -\sqrt{3}x + 6$.
Случай 2: $x_0 = -\frac{3\sqrt{3}}{2}$. $f'(-\frac{3\sqrt{3}}{2}) = -\frac{-3\sqrt{3}/2}{3/2} = \sqrt{3}$. Уравнение касательной: $y = \frac{3}{2} + \sqrt{3}(x + \frac{3\sqrt{3}}{2}) = \frac{3}{2} + \sqrt{3}x + \frac{9}{2} \implies y = \sqrt{3}x + 6$.

Ответ: $y = -\sqrt{3}x + 6$ и $y = \sqrt{3}x + 6$.