Номер 257, страница 342 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Алгебра, 10-11 класс Учебник, авторы: Колмогоров Андрей Николаевич, Абрамов Александр Михайлович, Дудницын Юрий Павлович, издательство Просвещение, Москва, 2008, зелёного цвета

Авторы: Колмогоров А. Н., Абрамов А. М., Дудницын Ю. П.

Тип: Учебник

Издательство: Просвещение

Год издания: 2008 - 2025

Цвет обложки: зелёный, чёрный

ISBN: 978-5-09-019513-3

Рекомендовано Министерством образования и науки Российской Федерации

Алгебра и начала математического анализа

Популярные ГДЗ в 10 классе

Параграф 4. Начала математического анализа. Глава 6. Задачи повышенной трудности - номер 257, страница 342.

№257 (с. 342)
Условие. №257 (с. 342)
скриншот условия
Алгебра, 10-11 класс Учебник, авторы: Колмогоров Андрей Николаевич, Абрамов Александр Михайлович, Дудницын Юрий Павлович, издательство Просвещение, Москва, 2008, зелёного цвета, страница 342, номер 257, Условие

257. Два тела начали движение по прямой одновременно из одной точки. Скорость первого $v(t) = 3t^2 - 6t$, второго $v(t) = 10t + 20$. В какой момент и на каком расстоянии от начальной точки произойдет их встреча? (Скорость измеряется в метрах в секунду.)

Решение 5. №257 (с. 342)

Для того чтобы найти, в какой момент и на каком расстоянии произойдет встреча тел, необходимо определить их законы движения, то есть функции зависимости координаты от времени $s(t)$. Координата является первообразной для скорости, поэтому для нахождения $s(t)$ нужно проинтегрировать функцию скорости $v(t)$.

Найдем закон движения для первого тела.

Скорость первого тела задана функцией $v_1(t) = 3t^2 - 6t$.

Найдем его координату $s_1(t)$ путем интегрирования:

$s_1(t) = \int v_1(t) dt = \int (3t^2 - 6t) dt = 3 \frac{t^3}{3} - 6 \frac{t^2}{2} + C_1 = t^3 - 3t^2 + C_1$

Поскольку тела начинают движение из одной точки, примем эту точку за начало отсчета ($s=0$ при $t=0$). Подставим это начальное условие в уравнение:

$s_1(0) = 0^3 - 3(0)^2 + C_1 = 0$, откуда константа интегрирования $C_1 = 0$.

Таким образом, закон движения первого тела: $s_1(t) = t^3 - 3t^2$.

Найдем закон движения для второго тела.

Скорость второго тела задана функцией $v_2(t) = 10t + 20$.

Аналогично найдем его координату $s_2(t)$:

$s_2(t) = \int v_2(t) dt = \int (10t + 20) dt = 10 \frac{t^2}{2} + 20t + C_2 = 5t^2 + 20t + C_2$

По условию, второе тело также начинает движение из той же точки, поэтому $s_2(0)=0$:

$s_2(0) = 5(0)^2 + 20(0) + C_2 = 0$, откуда константа интегрирования $C_2 = 0$.

Таким образом, закон движения второго тела: $s_2(t) = 5t^2 + 20t$.

В какой момент произойдет их встреча?

Встреча тел произойдет в тот момент времени $t$, когда их координаты будут равны: $s_1(t) = s_2(t)$.

Составим и решим уравнение:

$t^3 - 3t^2 = 5t^2 + 20t$

Перенесем все члены в одну сторону:

$t^3 - 3t^2 - 5t^2 - 20t = 0$

$t^3 - 8t^2 - 20t = 0$

Вынесем общий множитель $t$ за скобки:

$t(t^2 - 8t - 20) = 0$

Это уравнение имеет решения, когда $t=0$ или когда $t^2 - 8t - 20 = 0$.

Решение $t=0$ соответствует начальному моменту времени, когда тела находились вместе в исходной точке. Нас интересует следующий момент встречи.

Решим квадратное уравнение $t^2 - 8t - 20 = 0$ с помощью дискриминанта:

$D = b^2 - 4ac = (-8)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-20) = 64 + 80 = 144$

$t = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{8 \pm \sqrt{144}}{2} = \frac{8 \pm 12}{2}$

Получаем два корня:

$t_1 = \frac{8 + 12}{2} = \frac{20}{2} = 10$

$t_2 = \frac{8 - 12}{2} = \frac{-4}{2} = -2$

Так как время не может быть отрицательным ($t \ge 0$), корень $t = -2$ не имеет физического смысла. Следовательно, встреча произойдет через 10 секунд после начала движения.

Ответ: встреча произойдет в момент времени $t = 10$ секунд.

На каком расстоянии от начальной точки произойдет их встреча?

Чтобы найти расстояние, нужно подставить найденное время $t=10$ с в уравнение для координаты любого из тел.

Для первого тела:

$s_1(10) = 10^3 - 3 \cdot 10^2 = 1000 - 3 \cdot 100 = 1000 - 300 = 700$ метров.

Для проверки подставим во второе уравнение:

$s_2(10) = 5 \cdot 10^2 + 20 \cdot 10 = 5 \cdot 100 + 200 = 500 + 200 = 700$ метров.

Результаты совпадают.

Ответ: встреча произойдет на расстоянии 700 метров от начальной точки.

Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.

Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz

Присоединиться

Мы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 10-11 класс, для упражнения номер 257 расположенного на странице 342 к учебнику 2008 года издания для учащихся школ и гимназий.

Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №257 (с. 342), авторов: Колмогоров (Андрей Николаевич), Абрамов (Александр Михайлович), Дудницын (Юрий Павлович), учебного пособия издательства Просвещение.