Номер 257, страница 342 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Глава 6. Задачи повышенной трудности. Параграф 4. Начала математического анализа - номер 257, страница 342.

Условие.

257. Два тела начали движение по прямой одновременно из одной точки. Скорость первого $v(t) = 3t^2 - 6t$, второго $v(t) = 10t + 20$. В какой момент и на каком расстоянии от начальной точки произойдет их встреча? (Скорость измеряется в метрах в секунду.)

Решение 5.

Для того чтобы найти, в какой момент и на каком расстоянии произойдет встреча тел, необходимо определить их законы движения, то есть функции зависимости координаты от времени $s(t)$. Координата является первообразной для скорости, поэтому для нахождения $s(t)$ нужно проинтегрировать функцию скорости $v(t)$.

Найдем закон движения для первого тела.

Скорость первого тела задана функцией $v_1(t) = 3t^2 - 6t$.

Найдем его координату $s_1(t)$ путем интегрирования:

$s_1(t) = \int v_1(t) dt = \int (3t^2 - 6t) dt = 3 \frac{t^3}{3} - 6 \frac{t^2}{2} + C_1 = t^3 - 3t^2 + C_1$

Поскольку тела начинают движение из одной точки, примем эту точку за начало отсчета ($s=0$ при $t=0$). Подставим это начальное условие в уравнение:

$s_1(0) = 0^3 - 3(0)^2 + C_1 = 0$, откуда константа интегрирования $C_1 = 0$.

Таким образом, закон движения первого тела: $s_1(t) = t^3 - 3t^2$.

Найдем закон движения для второго тела.

Скорость второго тела задана функцией $v_2(t) = 10t + 20$.

Аналогично найдем его координату $s_2(t)$:

$s_2(t) = \int v_2(t) dt = \int (10t + 20) dt = 10 \frac{t^2}{2} + 20t + C_2 = 5t^2 + 20t + C_2$

По условию, второе тело также начинает движение из той же точки, поэтому $s_2(0)=0$:

$s_2(0) = 5(0)^2 + 20(0) + C_2 = 0$, откуда константа интегрирования $C_2 = 0$.

Таким образом, закон движения второго тела: $s_2(t) = 5t^2 + 20t$.

В какой момент произойдет их встреча?

Встреча тел произойдет в тот момент времени $t$, когда их координаты будут равны: $s_1(t) = s_2(t)$.

Составим и решим уравнение:

$t^3 - 3t^2 = 5t^2 + 20t$

Перенесем все члены в одну сторону:

$t^3 - 3t^2 - 5t^2 - 20t = 0$

$t^3 - 8t^2 - 20t = 0$

Вынесем общий множитель $t$ за скобки:

$t(t^2 - 8t - 20) = 0$

Это уравнение имеет решения, когда $t=0$ или когда $t^2 - 8t - 20 = 0$.

Решение $t=0$ соответствует начальному моменту времени, когда тела находились вместе в исходной точке. Нас интересует следующий момент встречи.

Решим квадратное уравнение $t^2 - 8t - 20 = 0$ с помощью дискриминанта:

$D = b^2 - 4ac = (-8)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-20) = 64 + 80 = 144$

$t = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{8 \pm \sqrt{144}}{2} = \frac{8 \pm 12}{2}$

Получаем два корня:

$t_1 = \frac{8 + 12}{2} = \frac{20}{2} = 10$

$t_2 = \frac{8 - 12}{2} = \frac{-4}{2} = -2$

Так как время не может быть отрицательным ($t \ge 0$), корень $t = -2$ не имеет физического смысла. Следовательно, встреча произойдет через 10 секунд после начала движения.

Ответ: встреча произойдет в момент времени $t = 10$ секунд.

На каком расстоянии от начальной точки произойдет их встреча?

Чтобы найти расстояние, нужно подставить найденное время $t=10$ с в уравнение для координаты любого из тел.

Для первого тела:

$s_1(10) = 10^3 - 3 \cdot 10^2 = 1000 - 3 \cdot 100 = 1000 - 300 = 700$ метров.

Для проверки подставим во второе уравнение:

$s_2(10) = 5 \cdot 10^2 + 20 \cdot 10 = 5 \cdot 100 + 200 = 500 + 200 = 700$ метров.

Результаты совпадают.

Ответ: встреча произойдет на расстоянии 700 метров от начальной точки.