Номер 256, страница 342 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Авторы: Колмогоров А. Н., Абрамов А. М., Дудницын Ю. П.
Тип: Учебник
Издательство: Просвещение
Год издания: 2008 - 2025
Цвет обложки: зелёный, чёрный
ISBN: 978-5-09-019513-3
Рекомендовано Министерством образования и науки Российской Федерации
Алгебра и начала математического анализа
Популярные ГДЗ в 10 классе
Параграф 4. Начала математического анализа. Глава 6. Задачи повышенной трудности - номер 256, страница 342.
№256 (с. 342)
Условие. №256 (с. 342)
скриншот условия

256. Докажите, что четная непрерывная функция, определенная на $[-a; a]$, имеет по крайней мере одну нечетную первообразную.
Решение 5. №256 (с. 342)
Пусть $f(x)$ — четная непрерывная функция, определенная на отрезке $[-a; a]$. По определению четной функции, $f(-x) = f(x)$ для всех $x \in [-a; a]$. Нам нужно доказать, что существует хотя бы одна нечетная первообразная для $f(x)$.
Поскольку функция $f(x)$ непрерывна на отрезке $[-a; a]$, согласно основной теореме анализа (теореме Ньютона-Лейбница), функция с переменным верхним пределом интегрирования является ее первообразной. Рассмотрим одну из таких первообразных, а именно функцию $F(x)$, определенную следующим образом:
$F(x) = \int_0^x f(t) dt$
Из основной теоремы анализа следует, что $F'(x) = f(x)$, так что $F(x)$ действительно является первообразной для $f(x)$ на отрезке $[-a; a]$. Нам осталось доказать, что эта функция $F(x)$ является нечетной.
Чтобы доказать, что $F(x)$ — нечетная функция, мы должны показать, что $F(-x) = -F(x)$ для всех $x \in [-a; a]$.
Рассмотрим $F(-x)$:
$F(-x) = \int_0^{-x} f(t) dt$
Сделаем в интеграле замену переменной. Пусть $u = -t$. Тогда $du = -dt$, или $dt = -du$. Также необходимо изменить пределы интегрирования:
- нижний предел: если $t = 0$, то $u = 0$;
- верхний предел: если $t = -x$, то $u = -(-x) = x$.
Подставляя новую переменную и новые пределы в интеграл, получаем:
$F(-x) = \int_0^x f(-u) (-du) = -\int_0^x f(-u) du$
По условию, функция $f(x)$ является четной, следовательно, $f(-u) = f(u)$. Используем это свойство:
$F(-x) = -\int_0^x f(u) du$
Интеграл $\int_0^x f(u) du$ по определению равен $F(x)$ (переменная интегрирования не влияет на значение интеграла). Таким образом, мы получаем:
$F(-x) = -F(x)$
Это равенство означает, что функция $F(x)$ является нечетной. Мы построили первообразную для $f(x)$ и показали, что она нечетная. Следовательно, утверждение доказано.
Ответ: Утверждение доказано. Для четной непрерывной функции $f(x)$ на отрезке $[-a; a]$ функция $F(x) = \int_0^x f(t) dt$ является ее нечетной первообразной.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz
ПрисоединитьсяМы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 10-11 класс, для упражнения номер 256 расположенного на странице 342 к учебнику 2008 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №256 (с. 342), авторов: Колмогоров (Андрей Николаевич), Абрамов (Александр Михайлович), Дудницын (Юрий Павлович), учебного пособия издательства Просвещение.