Номер 256, страница 342 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Глава 6. Задачи повышенной трудности. Параграф 4. Начала математического анализа - номер 256, страница 342.

Условие.

256. Докажите, что четная непрерывная функция, определенная на $[-a; a]$, имеет по крайней мере одну нечетную первообразную.

Решение 5.

Пусть $f(x)$ — четная непрерывная функция, определенная на отрезке $[-a; a]$. По определению четной функции, $f(-x) = f(x)$ для всех $x \in [-a; a]$. Нам нужно доказать, что существует хотя бы одна нечетная первообразная для $f(x)$.

Поскольку функция $f(x)$ непрерывна на отрезке $[-a; a]$, согласно основной теореме анализа (теореме Ньютона-Лейбница), функция с переменным верхним пределом интегрирования является ее первообразной. Рассмотрим одну из таких первообразных, а именно функцию $F(x)$, определенную следующим образом:

$F(x) = \int_0^x f(t) dt$

Из основной теоремы анализа следует, что $F'(x) = f(x)$, так что $F(x)$ действительно является первообразной для $f(x)$ на отрезке $[-a; a]$. Нам осталось доказать, что эта функция $F(x)$ является нечетной.

Чтобы доказать, что $F(x)$ — нечетная функция, мы должны показать, что $F(-x) = -F(x)$ для всех $x \in [-a; a]$.

Рассмотрим $F(-x)$:

$F(-x) = \int_0^{-x} f(t) dt$

Сделаем в интеграле замену переменной. Пусть $u = -t$. Тогда $du = -dt$, или $dt = -du$. Также необходимо изменить пределы интегрирования:

• нижний предел: если $t = 0$, то $u = 0$;
• верхний предел: если $t = -x$, то $u = -(-x) = x$.

Подставляя новую переменную и новые пределы в интеграл, получаем:

$F(-x) = \int_0^x f(-u) (-du) = -\int_0^x f(-u) du$

По условию, функция $f(x)$ является четной, следовательно, $f(-u) = f(u)$. Используем это свойство:

$F(-x) = -\int_0^x f(u) du$

Интеграл $\int_0^x f(u) du$ по определению равен $F(x)$ (переменная интегрирования не влияет на значение интеграла). Таким образом, мы получаем:

$F(-x) = -F(x)$

Это равенство означает, что функция $F(x)$ является нечетной. Мы построили первообразную для $f(x)$ и показали, что она нечетная. Следовательно, утверждение доказано.

Ответ: Утверждение доказано. Для четной непрерывной функции $f(x)$ на отрезке $[-a; a]$ функция $F(x) = \int_0^x f(t) dt$ является ее нечетной первообразной.