Номер 262, страница 342 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Параграф 4. Начала математического анализа. Глава 6. Задачи повышенной трудности - номер 262, страница 342.

Условие.

262. Пользуясь результатами задач 260–261, докажите, что любое решение дифференциального уравнения $x''(t) = -\omega^2x(t)$ может быть записано в виде $x = A \cos (\omega t + \varphi)$.

Решение 5.

Данное дифференциальное уравнение $x''(t) = -\omega^2 x(t)$, или $x''(t) + \omega^2 x(t) = 0$, является линейным однородным дифференциальным уравнением второго порядка с постоянными коэффициентами.

Согласно результатам общей теории таких уравнений (и, предположительно, результатам задачи 260), его общее решение имеет вид:$x(t) = C_1 \cos(\omega t) + C_2 \sin(\omega t)$где $C_1$ и $C_2$ — произвольные постоянные, которые определяются начальными условиями (например, положением $x(0)$ и скоростью $x'(0)$ в начальный момент времени $t=0$).

Наша цель — доказать, что любое такое решение можно представить в виде $x(t) = A \cos(\omega t + \varphi)$, где $A$ — амплитуда, а $\varphi$ — начальная фаза колебаний. Для этого воспользуемся тригонометрической формулой косинуса суммы, которая, вероятно, была предметом рассмотрения в задаче 261:$\cos(\alpha + \beta) = \cos\alpha \cos\beta - \sin\alpha \sin\beta$

Применим эту формулу к искомому виду решения:$x(t) = A \cos(\omega t + \varphi) = A (\cos(\omega t) \cos(\varphi) - \sin(\omega t) \sin(\varphi))$Раскроем скобки:$x(t) = (A \cos\varphi) \cos(\omega t) - (A \sin\varphi) \sin(\omega t)$

Теперь сравним это выражение с общим решением $x(t) = C_1 \cos(\omega t) + C_2 \sin(\omega t)$. Поскольку функции $\cos(\omega t)$ и $\sin(\omega t)$ линейно независимы, равенство этих двух выражений для всех $t$ возможно только тогда, когда коэффициенты при них равны:

$C_1 = A \cos\varphi$
$C_2 = -A \sin\varphi$

Мы получили систему двух уравнений относительно неизвестных $A$ и $\varphi$. Покажем, что для любых заданных констант $C_1$ и $C_2$ (которые определяют конкретное решение) всегда можно найти соответствующие $A$ и $\varphi$.

Чтобы найти амплитуду $A$, возведем оба уравнения в квадрат и сложим их:$C_1^2 + C_2^2 = (A \cos\varphi)^2 + (-A \sin\varphi)^2 = A^2 \cos^2\varphi + A^2 \sin^2\varphi = A^2 (\cos^2\varphi + \sin^2\varphi)$

Используя основное тригонометрическое тождество $\cos^2\varphi + \sin^2\varphi = 1$, получаем:$C_1^2 + C_2^2 = A^2$

Поскольку амплитуда $A$ по физическому смыслу является величиной неотрицательной ($A \ge 0$), то:$A = \sqrt{C_1^2 + C_2^2}$

Для нахождения фазы $\varphi$ вернемся к системе уравнений. Если $A \ne 0$ (т.е. хотя бы одна из констант $C_1$ или $C_2$ не равна нулю), мы можем записать:$\cos\varphi = \frac{C_1}{A} = \frac{C_1}{\sqrt{C_1^2 + C_2^2}}$
$\sin\varphi = -\frac{C_2}{A} = -\frac{C_2}{\sqrt{C_1^2 + C_2^2}}$

Для любой пары $(C_1, C_2)$, не равной $(0,0)$, эта система однозначно определяет угол $\varphi$ (с точностью до $2\pi k$, где $k$ — целое число). Если же $C_1=0$ и $C_2=0$, то $A=0$, и решение является тривиальным: $x(t)=0$. В этом случае фаза $\varphi$ не определена, но это не имеет значения.

Таким образом, мы показали, что произвольные константы $C_1$ и $C_2$ из общего решения однозначно определяют константы $A$ и $\varphi$. Это означает, что любое решение дифференциального уравнения $x''(t) = -\omega^2 x(t)$ может быть записано в виде $x(t) = A \cos(\omega t + \varphi)$. Что и требовалось доказать.

Ответ: Доказательство основано на том, что общее решение уравнения, имеющее вид $x(t) = C_1 \cos(\omega t) + C_2 \sin(\omega t)$, с помощью тригонометрического преобразования (метода вспомогательного угла) всегда может быть представлено в эквивалентной форме $x(t) = A \cos(\omega t + \varphi)$, где амплитуда $A = \sqrt{C_1^2+C_2^2}$ и фаза $\varphi$ определяются из системы уравнений $\cos\varphi = C_1/A$ и $\sin\varphi = -C_2/A$.